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1 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教 学 时 间 课 题 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课 型 新 授 教 学 媒 体 多 媒 体 知 识 技 能 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. 过 程 方 法 学生经历探索,尝试发现韦达定理,感受不完全归纳验证以及演绎证明. 教 学 目 标 情 感 态 度 培养学生观察,分析和综合,判断的能力,激发学生发现规律的积极性,激励学 生勇于探索的精神. 教 学 重 点 一元二次方程的根与系数关系 教 学 难 点 对根与系数关系的理解和推导 教 学 过 程 设 计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 设 计 意 图 一、复习引入 导语:一元二次方程的根与系数有着密切的关系,早在 16 世纪 法国的杰出数学家韦达发现了这一关系,你能发现吗? 二、探究新知 1.课本思考 分析:将(x- x1)(x-x2)=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x2+px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2), q= x1 x2. 即二次项系数 是 1 的一元二次方程如果有实数根,则一次项系数等于两根和 的相反数,常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. x2+3x+2=0; x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系 吗? 分析:这个方程的二次项系数等于 2,与上面情形有所不同,求 出方程两根,再通过计算两根的和、积,检验上面的结论是否 成立,若不成立,新的结论是什么? 4.一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中的 a 不一定是 1, 它的两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关系吗? 分析:利用求根公式,求出方程两根,再通过计算两根的和、 积,得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a,b,c 的关系,即韦达 定理,也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两 根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根之积 等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导 得到,根与系数的关系由求根公式得到,因此,任何一个一元 二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 教师出示问题,引 出课题学生初步了 解本课所要研究的 问题 学生通过去括号、 合并得到一般形 式的一元二次方 程,教师适时点拨, 分析总结得到结 论. 学生独自完成 巩固上诉知识 教师出示探究问题, 学生通过特殊例子 入手,再通过一般 形式推导证明,教 师引导学生根据求 根公式进行探究、 交流,尝试发现结 论 创设问题情境, 激发学生好奇 心,求知欲 通过思考问题, 让学生知道二 次项系数为 1 的一元二次方 程的根与系数 关系,为后面 继续研究做铺 垫 让学生通过 探究问题,体 会从特殊到 一般的认知 过程,体会数 学结论的确 定性2 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. ○1 3x2+7x+2=0;3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0;3x2-7x-2=0; ○2 5x-1=4x2;5x2-1=4x2+x 6.拓展练习 ○1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1,3,则 b= ,c= . ○2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则另一个根 是 ,k 的值是 . ○3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数, 则 p= ; 若两个根互为倒数,则 q= . 分析:方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另 一根和这个字母系数;方程中含有两个字母系数时利用方程的 两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是 1 时,若方程的 两根互为相反数或互为倒数,利用根与系数的关系可求得方程 的一次项系数和常数项. ○4 两个根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0 ○5 .两根异号,且正根的绝对值较大的方程是( ) A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+ x- =0 ○6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时方程有两个 正根;当 m 时方程有两个负根;当 m 时方程有一个正根 一个负根,且正根的绝对值较大. 分析:根据方程的根的正负情况,结合根与系数关系,确定方 程各项系数的符号,○6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的 限制. 三、课堂训练 1.完成教材随堂练习 2.补充练习: x1 ,x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根,利用根与系数的关系求下列 各式的值:○1 ; ○2 ○3 ; ○4 ;○5 四、小结归纳 本节课应掌握: 1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系 2. 运用韦达定理时,注意隐含条件:二次项系数不为 0,△≥0; 3.韦达定理的应用常见题型: ○1 不解方程,判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根; ○2 已知方程和方程的一根,求另一个根和字母系数的值; ○3 由给出的两根满足的条件,确定字母系数的值; ○4 判断两个根的符号;○5 不解方程求含有方程的两根的式子的 值. 五、作业设 计 教材习题 2.8 补充作业:已知一元二次方程 x2+3x+1=0 的两个根是 ,求 学生独立解决,并 交流 先观察,尝试选用 合适方法解题,之 后交流,比较解法 学生尝试归纳,师 生总结 学生独立完成,教 师巡回检查,师生 集体订正 学生归纳,总结阐 述,体会,反思. 并做出笔记. 加深对韦达定 理的理解,培 养学生的应用 意识和能力 通过学生亲自 解题的感受与 经验,感受数 学的严谨性和 数学结论的确 定性. 进一步加强 对所学知识 的理解和掌 握 通过归纳,进 一步理解韦 达定理及其 应用 加强教学反 思,帮助学生 养成系统整 理知识的学 习习惯,加深 认识,深化提 高,形成学生 自己的知识 体系. 53 6 21 11 xx + 2 21 2 12 xxxx + 2 2 2 1 xx + ( )2 21 xx − 2 1 1 2 x x x x + βα、3 的值. 教 学 反 思 α β β α + 查看更多

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