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1 第 2 课时 正方形的判定 教学目标: 1、 知道正方形的判定方法,会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算. 2、 经历探究正方形判定条件的过程,发展学生初步的综合推理能力,主 动探究的学习习惯,逐步掌握说 理的基本方法. 3、 理解特殊的平行四边形之间的内在联系,培养学生辩证看问题的观点. 教学重点:掌握正方形的判定条件. 教学难点:合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算. 教学过程: 一、创设问题情景,引入新课 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、 正方形,那么思考一下,它们之间有怎样的包含关系?请填入 下图中. 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,还是特殊的平行四边形;而正 方形 、矩形、菱形都是平行四边形;矩形、菱形都是特殊的平行四边形. 1、怎样判断一个四边形是矩形? 2、怎样判断一个四边形是菱形? 3、怎样判断一个四边形是平行四边形? 4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形? 议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形? 二、讲授新课 1.探索正方形的判定条件: 学生活动:四人一组进行讨论研究,老师巡回其间,进行引导、质疑、解惑,通过分析与讨论,师 生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.2 (1)直接用正方形的定义判定,即先判定一个四边形是平行四边形,若这个平行四边形有一个角是直 角,并且有一组邻边相等,那么就可以判定这个平行四边形是正方形; (2)先判定一个四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形,那么这个四边形是正方形; (3)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形,那么这个四边形是正方形. 后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方 法还可写成:有一个角是直角,且有一组邻边相等的四边形是正方形;有一组邻边相等的矩形是正方形; 有一个角是直角的菱形是正方形. 上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法,可当作判定定理用,但由于判定平行四边形、 矩形、菱形的方法各异,所给出的条件各不相同,所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可 作变化,在应用时要仔细辨别后才可以作出判断 2.正方形判定条件的应用 【例 1】判 断下列命题是真命题还是假命题?并说明理由. (1) 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形; (2) 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形; (3) 对角线互相垂直平分的四边形是正方形; (4) 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (5) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 师生共析: (1) 是真命题,.因为四条边相等的四边形是菱形,又四个角相等,根据四边形内角和定理知每 个角为 90°,所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题. (2) 真命题,由.四个角相等可知每个角都是直角,是矩形,由对角线互相垂直可判定这个矩形 是菱形,所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形,可判定其为真. (3) 假命题,对角线 平分的四边形是平行四边形,对角线垂直的四边形是菱形,所以它不一定 是正方形.如下图,满足 A O=CO,BO=D O 且 AC⊥BD 但四边形 ABCD 不是正方形. (4) 假命题,它可能是任意四边形.如上图,AC⊥BD 且 AC=BD,但四边形 ABCD 不是正方形. (5) 真命题。 方法一:对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,对角 线垂直的平行四边形是菱形,所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真. 方法二:对角线平分 平行四边形 对角线垂直 平行四边形 对角线相等 方法三:由对 角线互 相 垂直平分可知是菱 形,由对角线平分且相等可知是矩形,而既是菱形 又是矩形的四边形就是正方形. 总结:通过辨析,掌握判定正方形的各种方法和思路,从题中所给各种不同条件出发,寻找命题成 立的判定依据,以便灵活应用. 【补充例题】如下图,E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,且∠ EAF=45°,试说明 EF=BE+DF. 师生共析:要证 EF=BE+DF,如果能将 DF 移到 EB 延长线或将 BE 移到 FD 菱 形 矩 形 正方形3 延长线上,然后就能证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决. 像这种在 EB 上补上 DF 或在 FD 补上 BE 的方法叫做补短法. 解:将△ADF 旋转到△ABC,则△ADF≌△ABG ∴AF=AG,∠ADF=∠BAG,DF=BG ∵∠EAF=45°且四边形是正方形, ∴∠ADF﹢∠BAE=45°, ∴∠GAB﹢∠BAE=45°, 即∠GAE=45°, ∴△A EF≌△AEG(SAS), ∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF。 讨论:你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗?说出你的做法. 你怎么检验它是一个正方形呢?小组讨论一下. 三、随堂练习 教材 P24 通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用. 四、课时小结 师生共同总结,归纳得出正方形的判定方法,同时展示下图 ,通过直观感受进一步加深理解正方形 判定方法的应用. 五、课后作业 习题 1.8 的 1-3 题. 六、板书设计: (课题) 复习: 判定方法: 讨论: 例 1. 正方形与矩形 例 2. 补例. 正方形与菱形 查看更多

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