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1 第一章 特殊平行四边形 中考考点综述: 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形,它们是历年中考的必考内容之一,主要出现的题型多样,注 重考查学生的基础证明和计算能力,以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括:矩形、 菱形、正方形的性质与判定,以及相关计算,了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系,掌握平 行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。 知识目标 掌握矩形、菱形、正方形等概念,掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定,通过定理的证明和应用的 教学,使学生逐步学会分别从题设和结论出发,寻找论证思路分析法和综合法。 重难点: 1.矩形、菱形性质及判定的应用 2. 相关知识的综合应用 教学过程 知识点归纳 矩形 菱形 正方形 边 对边平行且相等 对边平行,四边相等 对边平行,四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角性 质 对 角 线 互相平分且相等 互相垂直平分,且每条对 角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平 分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且 有一个角是直角; ·是平行四边形且 两条对角线相等. ·四边相等的四边形; ·是平行四边形且有一 组邻边相等; ·是平行四边形且两条 对角线互相垂直。 ·是矩形,且有一组邻边相等; ·是菱形,且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形 矩形,菱形和正方形之间的联系如下表所示:2 一.菱形 菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【强调】 菱形(1)是平行四边形;(2)一组邻边相等. 菱形的性质 性质 1 菱形的四条边都相等; 性质 2 菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角; 菱形的判定 菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直. 菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形. 例 1 已知:如图,四边形 ABCD 是菱形,F 是 AB 上一点,DF 交 AC 于 E.   求证:∠AFD=∠CBE. 3 例 2 已知:如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F. 求证:四边形 AFCE 是菱形. 例 3、如图,在 ABCD 中,O 是对角线 AC 的中点,过点 O 作 AC 的垂线与边 AD、BC 分别交于 E、 F,求证:四边形 AFCE 是菱形. 例 4、已知如图,菱形 ABCD 中,E 是 BC 上一点,AE 、BD 交于 M, 若 AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证:AM=BE。 例 5. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A=60°, =4,O 为对角线 BD 的中点,过 O 点作 OE⊥AB,垂足为 E. 求线段 的长. AB BE A B C DE F O 1 2 B M A D CE D A B C O E 604 例 6、如图,四边形 ABCD 是菱形,DE⊥AB 交 BA 的延长线于 E,DF⊥BC,交 BC 的延长线于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系?并证明你的猜想 例 7、如图,菱形 ABCD 的边长为 2,BD=2,E、F 分别是边 AD,CD 上的两个动点,且满足 AE+CF=2. (1)求证:△BDE≌△BCF; (2)判断△BEF 的形状,并说明理由; (3)设△BEF 的面积为 S,求 S 的取值范围. 二.矩形 矩形定义:有一角是直角的平行四边形叫做矩形. 【强调】 矩形(1)是平行四边形;(2)一一个角是直角. 矩形的性质 性质 1 矩形的四个角都是直角; 性质 2 矩形的对角线相等,具有平行四边形的所以性质。; 矩形的判定 矩形判定方法 1:对角线相等的平行四边形是矩形. 注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)对角线相等 矩形判定方法 2:四个角都是直角的四边形是矩形. 矩形判定方法 3:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 例 1:若矩形的对角线长为 8cm,两条对角线的一个交角为 600,则该矩形的面积为 例 2:菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A. 对角线互相平分; B.四条边都相等; C.对角相等; D.邻角互补 例 3: 已知:如图, □ABCD 各角的平分线分别相交于点 E,F,G,H,5 求证:四边形 EFGH 是矩形. 三.正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思: ①有一组邻边相等的平行四边形 (菱形) ②有一个角是直角的平行四边形 (矩形) 正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形. 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是 对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴; 因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如 下: 边:对边平行,四边相等; 角:四个角都是直角; 对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. 注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是 45°; 正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质. 正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质. 正方形的判定方法: • (1)有一个角是直角的菱形是正方形; • (2)有一组邻边相等的矩形是正方形. • 注意:1、正方形概念的三个要点: • (1)是平行四边形; • (2)有一个角是直角; • (3)有一组邻边相等. 2、要确定一个四边形是正方形,应先确定它是菱形或是矩形,然后再加上相应的条件,确定是正 方形. 例 1 已知:如图,正方形 ABCD 中,对角线的交点为 O,E 是 OB 上的一点,DG⊥AE 于 G,DG 交 OA 于 F. 求证:OE=OF.6 例 2 已知:如图,四边形 ABCD 是正方形,分别过点 A、C 两点作 l1∥l2,作 BM⊥l1 于 M,DN⊥l1 于 N,直 线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点. 求证:四边形 PQMN 是正方形. 例 3、如图,P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点(P 与 A、C 不重合),点 E 在射线 BC 上,且 PE=PB. (1)求证:① PE=PD ; ② PE⊥PD; (2)设 AP=x, △PBE 的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; ② 当 x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值. 实战演练: 1.对角线互相垂直平分的四边形是( ) A.平行四边形、菱形 B.矩形、菱形 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( ) A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 3.如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,下列结论中不正确的是( ) A.当 AB=BC 时,它是菱形 B.当 AC⊥BD 时,它是菱形 C.当∠ABC=900 时,它是矩形 D.当 AC=BD 时,它是正方形 A B C P D E D CB A A F CDB E7 4.如图,在 中,点 分别在边 , , 上,且 , .下列四 个判断中,不正确的是(  ) A.四边形 是平行四边形 B.如果 ,那么四边形 是矩形 C.如果 平分 ,那么四边形 是菱形 D.如果 且 ,那么四边形 是菱形 5.如图,四边形 为矩形纸片.把纸片 折叠,使点 恰好落在 边的中点 处,折痕为 .若 ,则 等于(  ) A. B. C. D. 6.如图,矩形 的周长为 ,两条对角线相交于 点,过点 作 的垂线 ,分别交 于 点,连结 ,则 的周长为( ) A.5cm B.8cm C.9cm D.10cm 7.在右图的方格纸中有一个菱形 ABCD(A、B、C、D 四点均为格点), 若方格纸中每个最小正方形的边长为 1,则该菱形的面积为 8.如图,在矩形 中,对角线 交于点 ,已知 ,则 的长为 . 9.边长为5cm 的菱形,一条对角线长是 6cm,则另一条对角线的长是 . 10.如图所示,菱形 中,对角线 相交于点 ,若再补充一个条件能使菱形 成为正 方形,则这个条件是 (只填一个条件即可). 11.如图,已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,且 BP = BC,则∠ACP 度数是 . ABC△ E D F, , AB BC CA DE CA∥ DF BA∥ AEDF 90BAC∠ =  AEDF AD BAC∠ AEDF AD BC⊥ AB AC= AEDF ABCD ABCD B CD E AF 6CD = AF 4 3 3 3 4 2 8 ABCD 20cm O O AC EF AD BC, E F, CE CDE△ ABCD AC BD, O 120 2.5AOD AB∠ = =, AC ABCD AC BD, O ABCD B F C E DA A O B C DE F A B C D A B C D A D CB O B C DA P8 12.如图,矩形 中, 是 与 的交点,过 点的直线 与 的延长线分别交于 . (1)求证: ; (2)当 与 满足什么关系时,以 为顶点的四边形是菱形?证明你的结论. 13.将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1 摆放在一起,设较短直角边为 1. (1)四边形 ABCD 是平行四边形吗?说出你的结论和理由:________________________. (2)如图 2,将 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt△B1C1D1 的位置,四边形 ABC1D1 是平行四边形吗?说出 你的结论和理由:_________________________________________. ABCD O AC BD O EF AB CD, E F, BOE DOF△ ≌△ EF AC A E C F, , , 图 1 30° 30°B D A C 图 2 D1 C1 B1 C A DB 图 3 C A DB 图 4 C A DB F D O CB E A 第 12 题 图9 (3)在 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中,当点 B 的移动距离为______时,四边形 ABC1D1 为矩形,其 理由是_____________________________________;当点 B 的移动距离为______时,四边形 ABC1D1 为菱 形,其理由是_______________________________.(图 3、图 4 用于探究) 应用探究: 1. 如 图 , 将 矩 形 纸 片 沿 对 角 线 折 叠 , 使 点 落 在 处 , 交 于 , 若 ,则在不添加任何辅助线的情况下,图中 的角(虚线也视为角的边)有( ) A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 2.如图,正方形 的面积为 1, 是 的中点,则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 3.已知 为矩形 的对角线,则图中 与 一定不相等的是( ) A. B. C. D. 4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为 的红丝带交叉成 60°角重叠在一起(如图),则 重叠四边形的面积为_______ 5.如图,将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH,若 EH=3 厘米,EF =4 厘米,则边 AD 的长是___________厘米. ABCD BD C C′ BC′ AD E 22.5DBC∠ = ° 45° ABCD M AB 3 10 1 3 2 5 4 9 AC ABCD 1∠ 2∠ 1cm 2.cm AB E C′ DC 22.5 D A C BM BA 1 D C 2 1 1 2 BA D C BA C 1 2 D 1 2 BA D C B F C A H D E G10 6.如图,已知 ,点 在 边上,四边形 是矩形.请你只用无刻度的直尺在图 中画出 的平分线(请保留画图痕迹). 7.如图:矩形纸片 ABCD,AB=2,点 E 在 BC 上,且 AE=EC.若将纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好落在 AC 上,则 AC 的长是        . AOB OA OB∠ =, E OB AEBF AOB∠ A B F EO A B C D E 查看更多

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