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1 第一章 特殊平行四边形 【知识考点】 一、菱形的性质与判定 1.菱形的性质: 菱形的判定: 温馨提示:为什么菱形的判定定理中没有两组对角的事? 二、矩形的性质与判定 1.矩形的性质: 2.矩形的判定: 温馨提示:为什么矩形的判定定理中没有两组对边的事? 三、正方形的性质与判定 ( ) ( )              轴是轴对称,有两条对称菱形既是中心对称,又 一组对角且每一条直线 ,角线相互对角线:菱形的两条对 边:菱形的四条边都 四边形的一切性质平行四边形:具有平行 2 __________ __________ .__________1              是矩形的且对角线 是矩形的对角线对角线 是矩形的有三个角是 是矩形的有一个角是角 ________________________________ _________________________ _________________________ ._________________________ ( ) ( )              轴是轴对称,有两条对称矩形既是中心对称,又 相等且相互平分对角线:矩形的对角线 直角角:矩形的四个角都是 行且相等边:矩形的两组对边平 四边形的一切性质平行四边形:具有平行 2 1              是矩形的且对角线 是矩形的对角线对角线 是矩形的有三个角是 是矩形的有一个角是角 ________________________________ _________________________ _________________________ ._________________________2 1.正方形的性质: 温馨提示:正方形是否具有矩形和菱形的一切性质? 2.正方形的判定: 温馨提示:正方形的判定中为什么关于对角线的判定会这么多,请思考? 四、平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系 温馨提示:请用画图的方法确定四者之间的关系,要有整体的观点来看待! 【重点难点】 几种特殊的平行四边形的特征及识别方法一览表: 边 角 对角线 对称性 识别方法 ( ) ( )              称轴又是轴对称,有四条对正方形既是中心对称, 一组对角每一条直线 ,且对角线相互对角线:正方形的两条 ,四条边都边:正方形的对边平行 四边形的一切性质平行四边形:具有平行 2 __________ ________________ .__________1                  是正方形且相等的对角线互相平分、垂直 是正方形的对角线互相垂直且相等 是正方形对角线相等的 是正方形对角线互相垂直的 对角线 是正方形的边:有一组 是正方形的角:有一个角是 是正方形形的定义:既是矩形又是菱 __________ ________________ __________________________ ______________________ _______________________ .___________________ ____________3 对边平行 且相等 四个角都 是直角 互相平分 且相等 中心对 称和轴 对称 ①三个角是直角的四边形 ②一个角是直角的平行四边形 ③对角线相等的平行四边形 对边平行 四边相等 对角相等 互相垂直 平分且平 分对角 中心对 称轴对 称 ①四条边相等的四边形 ②邻边相等的平行四边形 ③对角线垂直的平行四边形 对边平行 四边相等 四个角都 是直角 互相垂直 平分且相 等,平分 对角 中心对 称轴对 称 ①邻边相等的矩形是正方形 ②一个角是直角的菱形 ③平行四边形+直角+邻边相等 【讲一讲】 例 1.如图,BD 是△ABC 中∠ABC 的平分线,DE//BC 交 AB 于 E,DF//AB 交 BC 于 F.试判断四边形 BFDE 的形状并说明理由. 分析:此题条件中有角分线有平行线,一般会有等腰三角形存在. 解:由 DE//BC,DF//AB 得到 DE//BF,DF//EB,∠2=∠3. 因此四边形 EBFD 是平行四边形 又 BD 平分∠ABC 则∠1=∠2 可得∠1=∠3=∠2 因此 BE=ED 所以四边形 BFDE 是菱形. 例 2.已知如图,平行四边形 ABCD 的 对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F。试判断四 边形 AFCE 的形状并说明理由. 解:由于 EF 是 AC 的垂直平分线,得到 AE=EC,∠1=∠2 由平行四边形 ABCD 可得 AE//FC,因此∠1=∠3, F A B C DE O 1 234 所以∠3=∠2,在直角三角形 EOC 和 FOC 中, ∠OEC=∠OFC,得到 CE=CF,因此 AE=CF 由 AE=FC 且 AE//FC 得到四边形 AFCE 是平行四边形 由于一组邻边相等的平行四边形是菱形 因此四边形 AFCE 是菱形 例 3.如图,点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 中点,点 P 是 BC 边上一 动点,PE⊥ MC,PF⊥BM,垂足分别为 E、F。 (1) 当四边形 PEMF 为矩形时,矩形 ABCD 的长与宽 应满足什么条件? (2) 在(1)中,当点 P 运动到什么位置 时,四边 形 PEMF 变为正方形?为什么? 分析:(1)四边形 PEMF 中已经有两个直角了,若为矩形,还需再有一个直角,即∠BMC=900 由于矩形是轴对称图形,因此∠AMB=∠DMC=450,即 AB=AM=MD (2)四边形 PEMF 为正方形,只需 PE=PF,因此 P 是 BC 中点。 解:(1)当 BC=2AB 时,四边形 PEMF 为矩形 由于 M 是 AD 中点,矩形 ABCD,得到三角形 ABM 和 DCM 都是等腰直角三角形,∠AMB=∠DMC=450 因此∠BMC=900,又 PE⊥MC,PF⊥BM,所以四边形 PEMF 为矩形 (2)当 P 为 BC 中点,BC=2AB 时,矩形是轴对称图形,BM=CM。又三角形 PBM 和 PCM 的面积相等,因 此得到 PE=PF,所以四边形 PEMF 为正方形 例 4.已知如图,菱形 ABCD 中,E 是 BC 上一点,AE 、BD 交于 M,若 AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证: AM=BE。 分析:菱形的四条边都相等,且对角线互相垂直且平分一组对角 因此在解决菱形的有关问题时,经常要用到菱形的这些特殊性质 P A B C D E F M 4 1 3 2 P A B C D E F M 4 1 3 25 解:设∠BAE 为 x 度,∠EAD 为 2x 度 由菱形 ABCD 可知 AD//BC 且 BD 平分∠ABC, 则∠AEB=∠EAD=(2x)0,∠ABD=∠DBC=(x)0 在三角形 ABE 中,x+2x+2x=180 x=36 △ABM 中,∠ABM=∠BAM=360 ,AM=BM △EBM 中,∠BME=∠BEM=720 ,BM=BE 所以 AM=BE 【练习】 (一) 选择题 1.对角线相等的四边形是( ) A. 矩形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D.矩形、正方形、等腰梯形作为结论都不对 2.下面几种说法:①正方形是有一组对边平行的四边形;② 矩形是菱形;③ 矩形是正方形 ④正方形是矩 形.那么( ) A. ①②③④都不正确;B. 只有②是错误的;C. 只有④是正确的;D.只有②③是错的 3.有三个角相等的四边形是 A.矩形 B. 菱形 C.正方形 D.矩形、菱形、正方形作为结论都不对 4.下面几种说法:①对角线互相垂直的四边形是菱形;②一组对边平行一组邻边相等的四边是菱形;③ 两条对角线相等的平行四边形是矩形;④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,那么正确的说法是 ( ) A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D.②④ 5. 下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是( ) A.平行四边形和矩形; B.矩形和菱形; C.正三角形和正方形; D.平行四边形和正方形 6.矩形两条对角线交点到小边距离比到大边距离多 4 厘米,若矩形周长为 56 厘米,则矩形两邻边长为( ) A.18 和 10 厘米 B.16 和 12 厘米 C.8 和 10 厘米 D.5 和 9 厘米 B M A D CE6 (二)解答题 1.菱形 ABCD 中,∠A=60°,对角线 BD=2,求菱形的周长。 2.如图,ABCD 是正方形,对角线 AC 与 BD 交于 O,MN//AB.且分别与 AO、BO 交于 M、N.猜测线段 BM 与 CN 之间的关系.并证明你的猜测. 3.如图,矩形 ABCD 中,AC、BD 交于 O 点,AE 平分∠BAD.若∠EAO=15°,求∠BOE 的度数. 4.如图,菱形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 上的点,若 AE=AF=EF=AB.求∠C 的度数。 5.如图,以△ABC 的三边为边在 BC 边的同侧作等边三角形△DBA,△EBC,△FAC.7 (1)试说明四边形 AFED 是平行四边形 (2)当△ABC 满足什么条件时,四边形 AFED 是矩形.说明理由. (3)当△ABC 满足什么条件时,四边形 AFED 是正方形? (4)当△ABC 满足什么条件时,四边形 AFED 不存在? 参考答案 (一)选择题 D C D C B A (二) 解答题 1.由菱形 ABCD 可知 AB=AD=DC=CB.在△ABD 中,∠A=60°,则△ABD 是等边三角形.得到 AB=BD=2,所以菱 形的周长为 8. 2.猜测①BM=CN,②BM⊥CN。将△MOB 绕 O 点逆时针旋转 90°得到△ONC 3.矩形 ABCD 中,∠BAD=∠ABC=90°, 且 AC=BD.则 OA=OB 又 AE 平分∠BAD,则∠BAE=45°,∠BEA=45° 所以 AB=BE 又∠EAO=15°, BDBOACAO 2 1,2 1 ==8 则∠BAO=60° 所以△ABO 是等边三角形 得到∠ABO=60°,OB=AB 因此∠OBE=30°,OB=BE 所以∠BOE=75°. 4.1000 5.提示(1)△ABC 绕 C 点顺时针方向旋转 60 度,得到△FEC;△ABC 绕 B 点逆时针方向旋转 60 度,得到△ DBE; (2)当△ABC 满足∠BAC=1500 时,四边形 AFED 是矩形。 (3)当△ABC 满足∠BAC=1500 且 AB=AC 时,四边形 AFED 是正方形。 (4)当△ABC 满足∠BAC=600 时,四边形 AFED 不存在。 查看更多

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