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九年级数学上册第4章一元二次方程4-5一元二次方程根的判别式教案2（青岛版）.doc

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青岛版九年级数学上册全册教学案（共57份）
- 青岛版九年级数学上册全册教学案（共57份）

资料简介

1 一元二次方程根的判别式一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”从定理的推导到应用都比较简单，教材中都没有很明显的涉及，但是在中考中年年都要用到，在整个中学数学中占有重要的地位。既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。二、学情分析学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。三、教学目标依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：知识和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；过程和方法： 1、培养学生的探索、创新精神； 2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。情感态度价值观： 1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美； 2、加深师生间的交流，增进师生的情感； 3、培养学生的协作精神。四、教学策略：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生 2 4b ac− 2 4b ac−2 的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践” 的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下：序号教师学生 1 设置悬念引发兴趣争先恐后，欲解疑团 2 设计练习，创设情境动手解题，亲身感知 3 启发引导，发现结论观察分析、得出结论 4 引导学生，理论验证阅读理解，自学教材 5 揭示定理内涵加深认识理解 6 应用定理，解决问题巩固应用，形成技能 7 归纳小结整体把握 8 布置作业巩固提高五、教学流程：、设置悬念，引发兴趣：【教师】：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。【学生】会争先恐后地编题考老师。【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。设置练习，创设情境。【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。用公式法解一元二次方程（多媒体展示） (注：找三名学生板演，其余学生在位上做) 【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教” ( ) ( ) ( )2 2 21 3 2 0 2 9 6 1 0 3 2 3 0x x x x x x+ + = − + = − + =3 为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。启发引导，发现结论：【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了 A.B.c 的值，然后求出它的值—— ，为什么要这样做呢？【学生】会初步说出的作用是：它能决定方程是否可解。【教师】（1）由此可见：在解起着重要的作用，显然我们可以根据的值的符号来判断的根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△= 。我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。【说明】：这样设计（1）是为了让学生明白：的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。引导学生，理论验证：【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？请同学们认真阅读课本的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释。【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。揭示定理：【教师】（1）由此我们就得出了关于若△＞0 则方程有两个不相等的实数根若△ =0 则方程有两个相等的实数根 2 4b ac− 2 4b ac− ( )2 20 0 4ax bx c a b ac+ + = ≠ −一元二次方程时，代数式 2 4b ac− ( )2 0 0ax bx c a+ + = ≠一元二次方程 2 4b ac− 2 4b ac− ( ) 2 24 4b ac b ac≠ − −2 注意：△ 而应为：△＝ 2 4b ac− ( )2 0 0ax bx c a+ + = ≠一元二次方程的根的判别式定理： ( )2 20 0 4ax bx c a b ac+ + = ≠ −在一元二次方程中，△＝4 若△＜0 则方程没有实数根（2）我们说：这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0 若方程没有实数根，则△＜0 （3）定理与逆定理的用途不同定理的用途是：在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。应用定理，解决问题：【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。例 1：不解方程判别下列方程根的情况分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，（4）补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：使学生进一步地掌握此类题中△值的符号的判断方法，也为今后解综合性问题打好基础。在练习中作了相应地补充。例 2：求证关于 x 的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0 没有实数根。分析：我先提出两个问题：（1）是谁决定了方程有无实数根？（2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？例 2 是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与例 1 的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。注意；例 1，例 2 之后我设计了一个小结：（1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤以及关于△变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。小结： ( )2 20 0 4ax bx c a b ac+ + = ≠ −在一元二次方程中，△＝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 4 0 2 16 9 24 3 5 1 7 0 4 2 2 0 x x y y x x x kx k + − = + = + − = + + =5 （1）关于运用根的判别式定理来判断：含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是： ①把方程化为一般形式，确定 A.B.c 的值，计算△； ②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。 ③根据根的判别式定理，写出结论。（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变形成等形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其符号。学生练习：不解方程，判别下列方程根的情况注意：做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。从而调动学生的参与意识。【说明】以上例题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。归纳小结【教师】（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。判别式的情况根的情况定理与逆定理 △＞0 △＝0 △＜0 ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 2 2 2a a a a a a− + − + + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 16 8 -3 2 9 6 1 0 3 2 9 8 0 4 7 18 0 x x x x x x x x + = + + = − + = − − = ( ) ( )2 25 2 1 2 1 0m x mx+ − + = ( ) ( )( )2 20 0 4ax bx c a b ac+ + = ≠ −3 一元二次方程 △＝ 2 1 2 4 2 b b acx a − ± − 、＝ ⇔△＞0 方程有两个不相等的实数根 1 2 0 2 2 b bx a a − ± − 、＝＝ ⇔△＝0 方程有两个相等的实数根 2 1 24b ac x x− 无意义、、不存在 ⇔△＜0 方程没有实数根6 【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材中的地位，能起到提纲挈领的作用。布置作业： 1、P145 习题 4.5 第 1、2、3 题； 2、不解方程判定下列方程根的情况： 3、已知方程没有实数根，求证一定有两个不相等的实数根。注（第 3 题供学有余力的学生做）【说明】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 31 10 26 0 3 3 6 5 0 4 4 04 1 15 - 3 0 6 4 6 - 0 7 ( 4) 5 84 16 x x x x x x x x x x x x x + + = + − = − + = − = − = − = − 2 2 1 0x x n+ - + = 2 1 2x bnx n+ = - 查看更多

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