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广西贵港市2017届中考数学总复习 题型专项（八）二次函数与几何图形综合题 类型5 探究角度数量关系的存在性问题试题.doc

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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 类型5　探究角度数量关系的存在性问题 ‎1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝ax2(a>0)上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．‎ ‎(1)如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB＝90°，且AB＝2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；‎ ‎(2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A，B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；‎ ‎(3)在(2)的条件下，如图3，若直线y＝－2x－2分别交直线AB，y轴于点P，C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标．‎ 解：(1)设直线AB与y轴交于点E，‎ ‎∵AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE＝BE＝1.‎ ‎∵∠AOB＝90°，∴OE＝AB＝1.‎ ‎∴A(－1，1)，B(1，1)．‎ 把x＝1，y＝1代入y＝ax2，得a＝1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝x2，A，B两点的横坐标的乘积为xA·xB＝－1.‎ ‎(2)xA·xB＝－1为常数，过点A作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，‎ ‎∴∠AMO＝∠BNO＝90°.‎ ‎∴∠MAO＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°.‎ ‎∴∠MAO＝∠BON.∴△AMO∽△ONB.‎ ‎∴＝，即OM·ON＝AM·BN.‎ 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，‎ ‎∵A(xA，yA)，B(xB，yB)在y＝x2图象上，‎ ‎∴yA＝x，yB＝x.∴－xA·xB＝yA·yB＝x·x.‎ ‎∴xA·xB＝－1为常数．‎ ‎(3)设A(m，m2)，B(n，n2)，由(2)可知mn＝－1.‎ 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，联立得x2－kx－b＝0.‎ ‎∵m，n是方程的两个根，∴mn＝－b.∴b＝1.‎ ‎∵直线AB与y轴交于点D，则OD＝1.‎ 易知C(0，－2)，OC＝2，∴CD＝OC＋OD＝3.‎ ‎∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝3.‎ 设P(a，－2a－2)，过点P作PG⊥y轴于点G，则PG＝－a，GD＝OG－OD＝－2a－3.‎ 在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2＋GD2＝PD2，‎ 即(－a)2＋(－2a－3)2＝32，整理得5a2＋12a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.‎ 当a＝－时，－2a－2＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴P(－，)．‎ ‎2．(2016·河南)如图1，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)．抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)．点P为抛物线上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；‎ ‎(3)如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．‎ 解：(1)由直线y＝－x＋n过点C(0，4)，得n＝4，‎ ‎∴y＝－x＋4.‎ 当y＝0时，0＝－x＋4，解得x＝3，∴A(3，0)．‎ ‎∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－2)．‎ ‎∴∴ ‎∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.‎ ‎(2)∵点P的横坐标为m，‎ ‎∴P(m，m2－m－2)，D(m，－2)．‎ 若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD.‎ ‎①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.‎ ‎(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m0，BD＝m.‎ ‎∴m2－m＝m，∴m3＝0(舍去)，m4＝.‎ ‎②当点P在直线BD下方时，m>0，BD＝m，PD＝－m2＋m.‎ ‎∴－m2＋m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 综上，m＝或.‎ 即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.‎ ‎(3)P1(－，)，P2(，)，‎ P3(，)．‎ ‎【提示】∵∠PBP′＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，‎ ‎∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝，cos∠PBP′＝.‎ ‎①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 如图1，ND′－MD′＝2，即(m2－m)－(－m)＝2.‎ 如图2，ND′＋MD′＝2，即(m2－m)＋m＝2.‎ ‎∴P1(－，)，P2(，)；‎ ‎②当点P′落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于点M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.‎ ‎∵P′N＝BM，即(m2－m)＝m.‎ ‎∴P3(，)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 查看更多

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