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热点专题 1 新定义型问题
综观 2019 年中考“新定义”问题的解答，效果并不是很理想，普遍出现“题没看清、没看懂”、“理解错
了”等状况，究其原因是阅读理解能力太弱.这就要求我们在平时关注理解能力的培养，从而使学生综合分
析解决问题的能力得到提升.
1.“新定义”问题的概念及特征
“新定义”问题其主要特征是以初中生已学过的知识为出发点，通过类比、引申、拓展给出新的数学概念
（数学公式）；或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们
将这些“新知识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、
迁移来运用新知识解决实际问题，通过分析近年来中考试卷中出现的这类“新定义”型试题大致分为三种
类型：（1）定义“新规则，新运算”型；（2）定义数学新概念型；（3）定义新函数、新知识型.
2.“新定义”问题类型和常用解题方法
（1）定义“新规则，新运算”型 “新规则，新运算”型一般是先通过阅读示例的解题过程，理解方
法要点，并体会蕴含其中的数学思想；再由特殊到一般对新方法加以应用，特别是在解决一般情况时要注
意题目中看似不经意的限制条件.
（2）定义数学新概念型 定义数学新概念型在中考试题中一般以中档题出现，能较好的考查学生领悟
定义的性质与判定的功能，认真审题、缜密思维的习惯以及对数学知识的综合运用能力、迁移能力和发现
探究能力.
（3）定义新函数，新知识型 定义新函数，新知识型主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新
能力.解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概
念和基本的性质.
3. “新定义”问题类型应对策略 数学教学也就是数学语言的教学，这是因为数学语言是数学知识和数
学思想的载体，数学知识与数学思想最终要通过数学语言表达出来并获得理解、掌握、交流和应用.因此，
在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法. 在中考复习
中，要关注初、高中内容的衔接，对与初中数学知识密切相关，或简单的高中数学问题要尽量关注,适当进行“一题多变”、“一题多解”、“一法多用”的教学活动.
考向 1 定义新概念
1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点．如
果二次函数 y=x2+2x+c 有两个相异的不动点 x1、x2，且 x1＜1＜x2，则 c 的取值范围是（ ）
A．c＜－3 B．c＜－2 C． D．c＜1
【答案】B
【解析】 当y=x时，x=x2+2x+c，即为x 2+x+c=0，由题意可知：x1，x2是该方程的两个实数根，所以 ，
∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（x2－1）＜0，即 x1x2－(x1＋x2) ＋1＜0，
∴c－(－1)＋1＜0，∴c＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故 Δ＞0，
即 12－4c＞0，解得：c＜ ∴c 的取值范围为 c＜－2 .
2．（2019•山东临沂）一般地，如果 x4=a（a≥0），则称 x 为 a 的四次方根，一个正数 a 的四次方根有两
个．它们互为相反数，记为± ，若 =10，则 m=__________．
【答案】±10
【解析】∵ =10，∴m4=104，∴m=±10．故答案为：±10．
3．（2019•湖北十堰）对于实数 a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=（a+b） 2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎
（m﹣3）=24，则 m=__________．
【答案】﹣3 或 4
【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2=24，
（2m﹣1）2﹣49=0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）=0，
2m﹣1+7=0 或 2m﹣1﹣7=0，
所以 m1=﹣3，m2=4．
故答案为：﹣3 或 4．
4.（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据
1
4c <
1 2
1 2
1x x
x x c
+ = −
⋅ =
1
4
4 a 44 m
44 m规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，
且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若 M、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数 y= x2
的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 y=－1 于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形．其中正确的
是 ．（填序号）
【答案】①④
【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然
满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边
分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形 PMNQ
满足 MN∥PQ，设 P(m，0)（m＞0），∵PM= = ＋1，PQ= －(－1)= ＋1，∴
PM=PQ，故四边形 PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．
5．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形的“特征
值”．若等腰△ABC 中，∠A=80°，则它的特征值 k= ．
【答案】 或 ．
【解析】当∠A 是顶角时，底角是 50°，则 k= ；当∠A 是底角时，则底角是 20°，k= ，
故答案为： 或 ．
6. （2019·重庆 A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在
数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶
数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．
定义：对于自然数 n，在计算 n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 n 为“纯数”，
例如：32 是”纯数”，因为计算 32＋33＋34 时，各数位都不产生进位；23 不是“纯数”，因为计算 23＋24
＋25 时，个位产生了进位．
（1）判断 2019 和 2020 是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于 100 的“纯数”的个数．
【答案】（1）2019 不是“纯数”，2020 是“纯数”，理由如下：∵在计算 2019＋2020＋2021 时，个位产
生了进位，而计算 2020＋2021＋2022 时，各数位都不产生进位，∴2019 不是“纯数”，2020 是“纯
数”．
1
4
2 2 21( 1)4m m+ − 21
4 m 21
4 m 21
4 m
8
5
1
4
80 8
50 5
=
20 1
80 4
=
8
5
1
4（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为 0、1、2 时，
不会产生进位；其他位的数字为 0、1、2、3 时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：
①当这个数为一位自然数时，只能是 0、1、2，共 3 个；②当这个数为二位自然数时，十位只能为 1、2、
3，个位只能为 0、1、2，即 10、11、12、20、21、22、30、31、32 共 9 个；③当这个数为 100 时，易知 100
是“纯数”．综上，不大于 100 的“纯数”的个数为 3＋9＋1=13．
7.(2019·宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.
(1)如图 1,在△ABC 中,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,E,F 分别是 BD,AD 上的点.求证:四边形 ABEF 是邻余四
边形;(2)如图 2,在 5×4 的方格纸中,A,B 在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF,使 AB 是邻余
线,E,F 在格点上;(3)如图 3,在(1)的条件下,取 EF 中点 M,连接 DM 并延长交 AB 于点 Q,延长 EF 交 AC 于点 N.
若 N 为 AC 的中点,DE=2BE,求邻余线 AB 的长.
【答案】：(1)∵AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠FAB 与∠EBA 互余.∴四边形 ABEF 是邻余四边形;(2)如图所示,四边形 ABEF 即为所求.(答案不唯一)
(3)∵AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,∴BD=CD,∵DE=2BE,∴BD=CD=3BE,∴CE=CD+DE=5BE.∵∠EDF=90°,M
为 EF 的中点,∴DM=ME.∴∠MDE=∠MED.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△DBQ∽△ECN,∴ ,∵QB=3,∴
NC=5,∵AN=CN,∴AC=2CN=10,∴AB=AC=10.
8.（2019·达州）箭头四角形模型规律，如图 1，延长 CO 交 AB 于点 D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B.
因为凹四边形 ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠C+∠B”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭
头四角形”模型应用：
3
5
QB BD
NC CE
= =.
（1）直接应用：
①如图 2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________
②如图 3，∠ABE、∠ACE 的 2 等分线（即角平分线）BF、CF 交于点 F，已知∠BEC=120°∠BAC=50°，则∠
BFC=__________.
③如图 4，BO 、CO 分别为∠ABO、∠ACO 的 2019 等分线（i=1，2，3，…，2017，2018），它们的交点从
上到下依次为 O ，O ，O ，…，O . 已知∠BOC=m°，∠BAC=n°，则∠BO C=______度
（2）拓展应用：如图 5，在四边形 ABCD 中，BC=CD ，∠BCD=2∠BAD. O 是四边形 ABCD 内的一点，且
OA=OB=OD. 求证：四边形 OBCD 是菱形.
【答案】（1）①∵∠A+∠B+∠C= ，∠D+∠E+∠F= ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2
②∵∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB ∠BFC=∠A+ ∠ABC+ ∠ACB，∠BEC=120°∠BAC=50°
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ABC+ ∠ACB∴60°=25°+ ∠ABC+ ∠ACB
∴ ∠ABC+ ∠ACB=35°∴∠BFC=∠A+ ∠ABC+ ∠ACB=50°＋35°=85°∴∠BFC=85°
③
（2）证明：（1）如图，延长AO到E，
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO.
1 2
1 2 3 2018 1000
α∠ α∠ α∠
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
nm 2019
1019
2019
1000 +又∵∠BOE=∠ABO+∠BAO，∴∠BOE=2∠BAO，
同理∠DOE=2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO），即∠BOD=2∠BAD.又∵∠BCD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BCD.
（2）如图，连接OC，∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC.
又∵∠BOD=∠BCD，∴四边形OBCD是平行四边形.
又∵OB=OD，∴四边形OBCD是菱形.
9.（2019 ·扬州）如图，平面内的两条直线 、 ，点 ， 在直线 上，点 、 在直线 上，过 、
两点分别作直线 的垂线，垂足分別为 ， ，我们把线段 叫做线段 在直线 上的正投影，其长度
可记作 或 ，特别地线段 在直线 上的正投影就是线段 ．请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图 1，在锐角 中， ， ，则 ；
（2）如图 2，在 中， ， ， ，求 的面积；
（3）如图 3，在钝角 中， ，点 在 边上， ， ， ，求
，
1l 2l A B 1l C D 2l A B
2l 1A 1B 1 1A B AB 2l
( , )AB ADT 2( , )AB lT AC 2l 1AC
ABC∆ 5AB = ( , ) 3AC ABT = ( , )BC ABT =
Rt ABC∆ 90ACB∠ = ° ( , ) 4AC ABT = ( , ) 9BC ABT == ABC∆
ABC∆ 60A∠ = ° D AB 90ACD∠ = ° ( , ) 2AD ACT = ( , ) 6BC ABT =
( , )BC CDT【答案】（1）如图 1 中，作 ．
， ， ，
， ，故答案为 2．
（2）如图 2 中，作 于 ．
， ， ， ，
，
， ， ，
， ， ，
，
．
（3）如图 3 中，作 于 ， 于 ．
CH AB⊥
( , ) 3AC ABT = 3AH∴ = 5AB =
5 3 2BH∴ = − = ( , ) 2BC ABT BH∴ = =
CH AB⊥ H
( , ) 4AC ABT = ( , ) 9BC ABT == 4AH∴ = 9BH =
90ACB CHA CHB∠ = ∠ = ∠ = °
90A ACH∴∠ + ∠ = ° 90ACH BCH∠ + ∠ = ° A BCH∴∠ = ∠
ACH CBH∴∆ ∆∽ ∴ CH AH
BH CH
= ∴ 4
9
CH
CH
=
6CH∴ =
1 1 13 6 392 2ABCS AB CH∆∴ = = × × =
CH AD⊥ H BK CD⊥ K， ， ，
， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
在 中， ， ， ，
， ，
.
考向 2 定义新运算
1.（2019·济宁）已知有理数 a≠1，我们把 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 =−1，－1 的差
倒数是 ．如果 a1=－2，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数，…，依此类推，
那么 a1＋a2＋…＋a100 的值是（）
A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5
【答案】A
【解析】由题意知：a2= = ；a3= = ，a4= =－2；a5= = ；…；可知经过 3 次
开始循环，所以 a1＋a2＋…＋a100=－2＋ ＋ －2＋ ＋ ＋…－2= =－7.5．
2. （2019·深圳）定义一种新运算： = ，例如： = =1－9=－8，若 =－2，
则 m=（ ）
A．－2 B． C．2 D．
90ACD∠ = ° ( , ) 2AD ACT = 2AC∴ =
60A∠ = ° 30ADC BDK∴∠ = ∠ = °
3 2 3CD AC∴ = = 2 4AD AC= = 1 12AH AC= = 3DH AD AH= − =
( , ) 6BC ABT = CH AB⊥ 6BH∴ = 3DB BH DH∴ = − =
Rt BDK∆ 90K∠ = ° 3BD = 30BDK∠ = °
3 3cos30 2DK BD∴ = ° =
3 3 7 32 3 2 2CK CD DK∴ = + = + =
( , )
7 3
2BC CDT CK∴ = =
1
1 a−
1
1 2−
1 1
1 ( 1) 2
=− −
1
1 ( 2)− −
1
3
1
11 3
−
3
2
1
31 2
−
1
1 ( 2)− −
1
3
1
3
3
2
1
3
3
2
1 33 26
− × −
a
b
nò n na b-
1
3
2ò 2 21 3- 5
1
m
m -ò
5
2−
5
2【答案】B
【解析】由题意得 － = － =－2，则 m= ，故选 B．
3. （2019·襄阳）定义：a*b=a
b，则方程 2*(x＋3)=1*(2x)的解为________．
【答案】x=1
【 解 析 】 本 题 考 查 了 可 化 为 一 元 一 次 的 分 式 方 程 的 解 法 . 按 新 定 义 可 知 ： ，
，可得方程 ，解得 x=1，经检验此解为方程的根．
4.(2019·枣庄)对于实数 a、b，定义关于的一种运算：a b=2a+b.例如 3 4=2×3+4=10.
(1)求 4 (－3)的值；
(2)若 x (－y)=2，(2y) x=－1，求 x+y 的值.
【答案】(1)根据题意得：4 (－3)=2×4+(－3)=5.(2)∵x (－y)=2，(2y) x=－1,
∴2x+(－y)=2,2×2y+x=－1,解这个二元一次方程组,得,x= ,y= ,∴x+y=
5.（2019·毕节）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些
材料摘录如下：对于三个实数 ， ， ，用 ， ， 表示这三个数的平均数，用 ， ， 表示
这三个数中最小的数．例如： ，2， ， ，2， ， ，1， ．请结
合上述材料，解决下列问题：
（1）① ， ， ； ② ， ， ；
（2）若 ， ， ，求 的值；
（3）若 ， ， ，求 的取值范围．
【答案】（1）① ；② ； （2） 或 3；（3）-2≤x≤4
【解析】解：（1）① ， ， ；
② ， ， ；
（2） ， ， ， ，解得 或 3；
（3） ， ， ，解得： -2≤x≤4.
6.（2019·随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为 ，易知
1m- ( )
15m - 1
m
1
5m 5
2−
3
2)3(2 +=+∗
xx
xx 2
1)2(1 =∗
xx 2
1
3
2 =+
⊗ ⊗
⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
7
9
4
9
− 1
3
a b c {M a b }c {min a b }c
{1M 1 2 99} 43
+ += = {1min 3} 3− = − {3min 1} 1=
2{( 2)M − 22 22 }− = {sin30min ° cos60° tan 45 }° =
{ 2M x− 2x 3} 2= x
{3 2min x− 1 3x+ 5} 5− = − x
4
3
1
2 1x = −
2{( 2)M − 22
2 2 2
2 ( 2) 2 2 42 } 3 3
− + −− = =
{sin30min ° cos60° 1tan 45 } 2
° =
) { 2M x− 2x 3} 2= ∴
22 3 23
x x− + + = 1x = −
{3 2min x− 1 3x+ 5} 5− = −
mn mn=10m+n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 =100a+10b+c．
（1）解方程填空：①若 ＋ =45，则x=；②若 － =26，则y=；③若 ＋ = ，则t= ；
（2）交换任意一个两位数 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 ，则 ＋ 一定能被整除，
－ 一定能被整除， · －mn一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都
逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，
把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最
小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532－235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再
相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” ．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；
②设任选的三位数为 （不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【答案】（1）t=7；（2） ＋一定被11整除； － 一定被9整除； · －mn一定能被10整除；
（3）①反复运算可得495；②证明过程见解析.
【解析】解：（1）∵ =10m+n，∴ ＋ =45=20+x+10x+3=11 x+23=45，得x=2，同理可得y=4，t=7；
（2） ＋ =10m+n+10n+m=11（m+n）故一定被11整除；同理 － 一定被9整除； · －mn一定
能被10整除；（3）①反复运算可得495；②∵a＞b＞c，∴第一次运算得到100a+10b+c－（100c+10b+a）=99
（a－c），可以看出结果必为99的倍数，∵a＞b＞c，∴a≥b＋1，b≥c＋1，即a≥b＋1≥c＋2，∴a－
c≥2，9≥a＞c，∴a－c≤9，则a－c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算得到99（a－c）可以是198，
297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的推算规则进行运算，分
别可以得到：981－198=792，972－279=693，963－369=594，954－459=495，954－459=495，以后均重复
运算，故可以得到该黑洞数为495．
考向 3 定义新函数
1.（2019 ·荆州）若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数 y=kx+t（k≠0）的图象上，则称
y=ax2+bx+c（a≠0）为 y=kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y=x2+1 是 y=x+1 的伴随函数．
（1）若 y=x2﹣4 是 y=﹣x+p 的伴随函数，求直线 y=﹣x+p 与两坐标轴围成的三角形的面积.
（2）若函数 y=mx﹣3（m≠0）的伴随函数 y=x2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离为 4，求 m，n 的值．
abc
2x 3x 7y 8y 93t 5 8t 13 1t
mn nm mn nm mn
nm mn nm
abc
mn mn nm mn nm
mn 2x 3x
mn nm mn nm mn nm【答案】（1）∵y=x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y=x2﹣4 是 y=﹣x+p 的伴随函数，∴（0，﹣4）
在一次函数 y=﹣x+p 的图象上，∴﹣4=0+p．∴p=﹣4，∴一次函数为：y=﹣x﹣4，∴一次函数与坐标轴的
交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线 y=﹣x+p 与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|=4，∴
直线 y=﹣x+p 与两坐标轴围成的三角形的面积为：1
2 × 4 × 4 = 8．
（2）设函数 y=x2+2x+n 与 x 轴两个交点的横坐标分别为 x1，x2，则 x1+x2=﹣2，x1x2=n，∴|x1 - x2| =
(x1 + x2)2 - 4x1x2 = 4 - 4n，∵函数 y=x2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离为 4，∴ 4 - 4n = 4，解
得，n=﹣3，∴函数 y=x2+2x+n 为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y=x2+2x+n
是 y=mx﹣3（m≠0）的伴随函数，∴﹣4=﹣m﹣3，∴m=1.
2.（2019·济宁）阅读下面材料：如果函数 y=f(x)满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2，（1）
若 x1＜x2，都有 f(x1) ＜f(x2)，则称 f(x)是增函数；（2）若 x1＜x2，都有 f(x1) ＞f(x2)，则称 f(x)是减
函数．例题：证明函数 f(x)= (x＞0)是减函数．
证明：设 0＜x1＜x2，f(x1) －f(x2)= =
∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1x2＞0．
∴ ＞0，即 f(x1) — f(x2)＞0．∴f(x1) ＞f(x2)，∴函数 f(x)= (x＞0)是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数 （x＜0），
（1）计算：f(－3)=________，f(－4)=________；
（2）猜想：函数 （x＜0）是________函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【答案】（1）
（2）增；
（3）证明：设 x1＜x2＜0，
f(x1) －f(x2)=
6
x
1 2
6 6
x x
− ( )2 12 1
1 2 1 2
66 6 .x xx x
x x x x
−− =
( )2 1
1 2
6 x x
x x
− 6
x
( ) 2
1f x xx
= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 71 1 0, 2 2 41 2
f f− = + − = − = + − = −
− −
( ) 2
1f x xx
= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 26 1 633 3 , 4 49 163 4
f f− = + − = − − = + − = −
− −
2 2
2 1
1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 x xx x x x x xx x x x x x
−+ − + = − + − = + −
．
∵x1＜x2＜0，∴x2—x1＞0，x12x22＞0，x2＋x1－1＜0，
∴ ＜0，即 f(x1)－f(x2)＜0．∴f(x1) ＜f(x2)，∴函数 是增函数．
3.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 4，边 OA，OC 分别在 x 轴，y 轴的正
半轴上，把正方形 OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点 P 为抛物线 y=－（x－2）2＋
m＋2 的顶点．
（1）当 m=0 时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数．
（2）当 m=3 时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8 个好点，求 m 的取值范围．
【答案】（1）当 m=0 时，二次函数的表达式为 y=－x2＋2，画出函数图象（图 1），
∵当 x=0 时，y=2；当 x=1 时，y=1；
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）．
∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共 5 个．
（2）当 m=3 时，二次函数的表达式为 y=－（x－3）2＋5，画出函数图象（图 2）.
∵当 x=1 时，y=1；当 x=4 时，y=4.
∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）.
（3）∵抛物线顶点 P 的坐标为（m，m＋2），∴点 P 在直线 y=x＋2 上．由于点 P 在正方形内，则 0＜m＜
( )( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1
2 12 2 2 2
1 2 1 2
1x x x x x x x xx xx x x x
+ − − + −= − − =
( )( )2 1 2 1
2 2
1 2
1x x x x
x x
− + − ( ) 2
1f x xx
= +2．
如图 3，点 E（2，1），F（2，2）．∴当顶点 P 在正方形 OABC 内，且好点恰好存在 8 个时，抛物线与线段
EF 有交点（点 F 除外）．当抛物线经过点 E（2，1）时，－（ 2－m）2＋m＋2=1，解得 m1= ，m2=
（舍去）．当抛物线经过点 F（2，2）时，－（ 2－m）2＋m＋2=2，解得 m1=1，m2=4（舍去）．
∴当 ＜m＜1 时，点 在正方形 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 个好点．
4. 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式
行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2），用
以下方式定义两点间距离：d（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
（1）①已知点 A（﹣2，1），则 d（O，A）= ．②函数 y=﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B
是图象上一点，d（O，B）=3，则点 B 的坐标是 ．
（2）函数 y = 4
x（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）=3．
（3）函数 y=x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D 是图象上一点，求 d（O，D）的最小值及对应的点 D
的坐标．
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以 M 为起点，先沿 MN 方向到某处，再在该处拐一
次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简
要说明理由）
【答案】解：（1）①由题意得：d（O，A）=|0+2|+|0﹣1|=2+1=3；
②设 B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|=3，
∵0≤x≤2，∴x+y=3，
∴{x + y = 3
y = -2x + 4，解得：{x = 1
y = 2，
∴B（1，2），故答案为：3，（1，2）；
（2）假设函数y = 4
x(x＞0)的图象上存在点 C（x，y）使 d（O，C）=3，
根据题意，得|x - 0| + |4
x -0| = 3，
5 13
2
− 5 13
2
+
5 13
2
−
P OABC 8∵x＞0，∴4
x＞0，|x - 0| + |4
x -0| = x + 4
x，
∴x + 4
x = 3，∴x2+4=3x，∴x2﹣3x+4=0，
∴△=b2﹣4ac=﹣7＜0，
∴方程 x2﹣3x+4=0 没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点 C，使 d（O，C）=3．
（3）设 D（x，y），
根据题意得，d（O，D）=|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|=|x|+|x2﹣5x+7|，
∵x2 -5x + 7 = (x - 5
2)2 + 3
4＞0，又 x≥0，
∴d（O，D）=|x|+|x2﹣5x+7|=x+x2﹣5x+7=x2﹣4x+7=（x﹣2）2+3，
∴当 x=2 时，d（O，D）有最小值 3，
此时点 D 的坐标是（2，1）．
（4）如图，以 M 为原点，MN 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，将函数 y=﹣x 的图象沿 y 轴正方
向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为 E，过点 E 作 EH⊥MN，垂足为 H，修建方案是：
先沿 MN 方向修建到 H 处，再沿 HE 方向修建到 E 处．理由：设过点 E 的直线 l1 与 x 轴相交于点 F．在景观
湖边界所在曲线上任取一点 P，过点 P 作直线 l2∥l1，
l2 与 x 轴相交于点 G．
∵∠EFH=45°，∴EH=HF，d（O，E）=OH+EH=OF，同理 d（O，P）=OG，
∵OG≥OF，∴d（O，P）≥d（O，E），∴上述方案修建的道路最短．
5.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满是
x= ，y= ，那么称点T是点A，B的融合点.例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x=
3
a c+
3
b d+=1，y= =2时.则点T（1，2）是点A，B的融合点.
（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）.请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
（2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点.
①试确定y与x的关系式.
②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.
【答案】（1）∵ =2， =4，∴点C（2，4）是点A.B的融合点。（2）①由融合点定义知x= ，
得t=3x-3....4分
又∵y= ，得t= ∴3x-3= ，化简得y=2x-1.
②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：
（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）.
由点T是点D，E的融合点，可得m= 或2m-1= 解得m= ，∴点E1（ ，6）.
x
y
l 1
1
O D
x
y
l H
T
E
1
1
O D
1 4
3
− + 8 ( 2)
3
+ −
1 7
3
− + 5 7
3
+ 3
3
t+
0 (2 3)
3
t+ + 3 3
2
y − 3 3
2
y −
3
3
m + (2 3) 0
3
m + + 3
2
3
2（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）.
由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）.（Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在.
综上所述，符合题意的点为E1（ ，6），E2（6，15）.
x
y
E
T
Hl O D
3
2
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