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1 专题 13 二次函数 考点总结 【思维导图】 2 【知识要点】 知识点一 二次函数的概念 概念:一般地,形如y = ax2 +bx + c(a , b , c是常数,a ≠ 0)的函数,叫做二次函数。 注意:二次项系数a ≠ 0,而b , c可以为零. 二次函数y = ax2 +bx + c的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2. ⑵ a ,b ,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. 1.(2017·甘肃中考模拟)下列函数中,是二次函数的有( ) ①y = 1 - 2x2②y = 1 x2③y = x(1 - x)④y = (1 - 2x)(1 + 2x) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 【详解】 ①y=1− 2x2=− 2x2+1,是二次函数; ②y= 1 x2,分母中含有自变量,不是二次函数; ③y=x(1−x)=−x2+x,是二次函数; ④y=(1−2x)(1+2x)=−4x2+1,是二次函数. 二次函数共三个,3 故答案选 C. 2.(2013·湖南中考真题)下列函数是二次函数的是( ) A.y = 2x +1 B.y = -2x +1 C.y = x2 +2 D.y = 1 2x -2 【答案】C 【详解】 根据二次函数的定义,形如y = ax2 + bx + c(其中 a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,所给函 数中是二次函数的是y = x2 +2。故选 C。 3.(2018·安徽中考模拟)下列函数不属于二次函数的是( ) A.y = (x - 1)(x + 2) B. C.y = 1 - 3x2 D. 【答案】D 【详解】 把每一个函数式整理为一般形式, A、y = (x - 1)(x + 2)=x2+x-2,是二次函数,正确; B、 =1 2x2+x+1 2,是二次函数,正确; C、y = 1 - 3x2,是二次函数,正确; D、 =2x2+12x+18-2x2=12x+18,这是一个一次函数,不是二次函数, 故选 D. 4.(2018·上海中考模拟)下列函数中是二次函数的是(  ) A.y=2(x﹣1) B.y=(x﹣1)2﹣x2 C.y=a(x﹣1)2 D.y=2x2﹣1 【答案】D 【详解】 A、y=2x﹣2,是一次函数, B、y=(x﹣1)2﹣x2=﹣2x+1,是一次函数, C、当 a=0 时,y=a(x﹣1)2 不是二次函数, D、y=2x2﹣1 是二次函数. 故选 D. ( )21y x 12 = + ( )2 2y 2 x 3 2x= + − ( )21y x 12 = + ( )2 2y 2 x 3 2x= + −4 考查题型一 待定系数法求二次函数解析式 1.(2018·广东中考模拟)二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值如下表: x … -5 -4 -3 -2 -1 0 … y … 4 0 -2 -2 0 4 … 下列说法正确的是(  ) A.抛物线的开口向下 B.当 x>-3 时,y 随 x 的增大而增大 C.二次函数的最小值是-2 D.抛物线的对称轴是直线 x=-5 2 【答案】D 【详解】 将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数 y=ax2+bx+c 中, 得:{0 = 16a - 4b + c 0 = a - b + c 4 = c ,解得:{a = 1 b = 5 c = 4 , ∴二次函数的解析式为 y=x ²+5x+4. A. a=1>0,抛物线开口向上,A 不正确; B. − b 2a=−5 2,当 x⩾−5 2时,y 随 x 的增大而增大,B 不正确; C. y=x²+5x+4=(x+5 2) ²−9 4,二次函数的最小值是−9 4,C 不正确; D. − b 2a=−5 2,抛物线的对称轴是 x=−5 2,D 正确. 故选 D. 2.(2018·上海中考模拟)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值 如下表: x … -1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 那么关于它的图象,下列判断正确的是(  ) A.开口向上 B.与 x 轴的另一个交点是(3,0) C.与 y 轴交于负半轴5 D.在直线 x=1 的左侧部分是下降的 【答案】B 【详解】 A、由表格知,抛物线的顶点坐标是(1,4).故设抛物线解析式为 y=a(x﹣1)2+4. 将(﹣1,0)代入,得 a(﹣1﹣1)2+4=0, 解得 a=﹣2. ∵a=﹣2<0, ∴抛物线的开口方向向下, 故本选项错误; B、抛物线与 x 轴的一个交点为(﹣1,0),对称轴是 x=1,则抛物线与 x 轴的另一个交点是(3,0),故 本选项正确; C、由表格知,抛物线与 y 轴的交点坐标是(0,3),即与 y 轴交于正半轴,故本选项错误; D、抛物线开口方向向下,对称轴为 x=1,则在直线 x=1 的左侧部分是上升的,故本选项错误; 故选:B. 考查题型二 根据二次函数的定义求参数值 1.(2012·山东中考真题)抛物线y = ax2 + bx -3经过点(2,4),则代数式8a +4b +1的值为( ) A.3 B.9 C.15 D. -15 【答案】C 【详解】 ∵抛物线y = ax2 + bx -3经过点(2,4),∴4 = 4a +2b -3,即4a +2b = 7。 ∴8a +4b +1 = 2(4a +2b) + 1 = 2 × 7 + 1 = 15。故选 C。 2.(2018·安徽中考模拟)已知函数 y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1. (1)若这个函数是一次函数,求 m 的值; (2)若这个函数是二次函数,则 m 的值应怎样? 【答案】(1)、m=0;(2)、m≠0 且 m≠1. 【详解】 解:(1)根据一次函数的定义,得:m2﹣m=0 解得 m=0 或 m=16 又∵m﹣1≠0 即 m≠1; ∴当 m=0 时,这个函数是一次函数; (2)根据二次函数的定义,得:m2﹣m≠0 解得 m1≠0,m2≠1 ∴当 m1≠0,m2≠1 时,这个函数是二次函数. 知识点 2:二次函数的图象和性质(重点) 二次函数的基本表现形式: ①y = ax2;②y = ax2 +k;③y = a(x - h)2;④y = a(x - h)2 +k;⑤y = ax2 +bx + c. 第一种:二次函数y = ax2的性质(最基础) 1.(2019·辽宁中考模拟)下列关于二次函数 的说法正确的是(  ) A.它的图象经过点( - 1, - 2) B.它的图象的对称轴是直线x = 2 C.当 时,y随x的增大而减小 D.当x = 0时,y有最大值为 0 【答案】C 【详解】 A. 它的图象经过点( -1,2),A 错误; B. 它的图象的对称轴是直线x = 0,B 错误; C. 当x < 0时,y随x的增大而减小,正确; D. 当x = 0时,y有最小值为 0,D 错误. 2.(2019·山东中考模拟)给出下列函数:①y=2x﹣3;②y=1 x;③y=2x2;④y=﹣3x+1.上述函数中符 合条件“当 x>0 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小”的是(  ) A.①③ B.③④ C.②④ D.②③ 【答案】C a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a > 0 向上 (0 , 0) y轴 x > 0时,y随x的增大而增大;x < 0时,y随x的增大而减 小;x = 0时,y有最小值0. a < 0 向下 (0 , 0) y轴 x > 0时,y随x的增大而减小;x < 0时,y随x的增大而增 大;x = 0时,y有最大值0. 22y x= 0x 0 向上 (0 , c) y轴 x > 0时,y随x的增大而增大;x < 0时,y随x的增大而减 小;x = 0时,y有最小值c. a < 0 向下 (0 , c) y轴 x > 0时,y随x的增大而减小;x < 0时,y随x的增大而增 大;x = 0时,y有最大值c.8 A、a=2,则抛物线 y=2x2-3 的开口向上,所以 A 选项错误; B、当 y=0 时,2x2-3=0,此方程有两个不相等的实数解,即抛物线与 x 轴有两个交点,所以 B 选项正确; C、抛物线的对称轴为直线 x=0,所以 C 选项错误; D、当 x=2 时,y=2×4-3=5,则抛物线不经过点(2,3),所以 D 选项错误, 故选 B. 3.(2019·山东中考真题)已知抛物线 y=-x2+1,下列结论: ①抛物线开口向上; ②抛物线与 x 轴交于点(-1,0)和点(1,0); ③抛物线的对称轴是 y 轴; ④抛物线的顶点坐标是(0,1); ⑤抛物线 y=-x2+1 是由抛物线 y=-x2 向上平移 1 个单位得到的. 其中正确的个数有( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 【答案】B 【详解】 ①∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,故本小题错误; ②令 y=0,则-x2+1=0,解得 x1=1,x2=-1,所以,抛物线与 x 轴交于点(-1,0)和点(1,0),故本小题 正确; ③抛物线的对称轴x = - b 2a=0,是 y 轴,故本小题正确; ④抛物线的顶点坐标是(0,1),故本小题正确; ⑤抛物线 y=-x2+1 是由抛物线 y=-x2 向上平移 1 个单位得到,故本小题正确; 综上所述,正确的有②③④⑤共 4 个. 故选 B. 4.(2018·河北中考模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=﹣x2+2x.点 D(n,y1),E(3,y2)在 抛物线上,若 y1<y2,则 n 的取值范围是(  ) A.n>3 或 n<﹣1 B.n>3 C.n<1 D.n>3 或 n<1 【答案】A 【详解】9 解:∵抛物线 y=﹣x2+2x 的对称轴为 x=1, E(3,y2)关于对称轴对称的点(﹣1,y2), ∵抛物线开口向下, ∴y1<y2 时,n>3 或 n<﹣1, 故选:A. 第三种:二次函数y = a(x - h)2的性质 1(2019·四川中考模拟)对于函数 y=-2(x-3)2,下列说法不正确的是(  ) A.开口向下 B.对称轴是x = 3 C.最大值为 0 D.与 y 轴不相交 【答案】D 【详解】 对于函数 y=-2(x-3)2 的图象, ∵a=-2<0, ∴开口向下,对称轴 x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最大值 0, 故选项 A、B、C 正确, 选项 D 错误, 故选 D. 2(2019·湖北中考模拟)关于二次函数 y=1 2 (x+1)2 的图象,下列说法正确的是( ) A.开口向下 B.经过原点 C.对称轴右侧的部分是下降的 D.顶点坐标是(﹣1,0) 【答案】D 【详解】 二次函数 y=1 2 (x+1)2 中 a=1 2>0,所以抛物线开口向上, 当 x=0 时,y=1 2,所以图象不经过原点, a的符号 开口方 向 顶点坐标 对称轴 性质 a > 0 向上 (h , 0) X=h x > h时,y随x的增大而增大;x < h时,y随x的增大而减 小;x = h时,y有最小值0. a < 0 向下 (h , 0) X=h x > h时,y随x的增大而减小;x < h时,y随x的增大而增 大;x = h时,y有最大值0.10 因为抛物线开口向上,所以在对称轴右侧的部分是上升的, 由解析式可知顶点坐标为(-1,0), 所以选项 A、B、C 是错误的,D 是正确的, 故选 D. 3(2019·山东中考模拟)在平面直角坐标系中,二次函数y = a(x - h)2(a ≠ 0)的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 二次函数 (a ≠ 0)的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在 x 轴上, 故选 D. 第四种:二次函数y = a(x - h)2 +k的性质 二次函数y = ax2 +bx + c用配方法可化成: y = a(x - h)2 +k的形式,其中h = - b 2a,k = 4ac - b2 4a . 1.2019·广东中考模拟)关于抛物线y = 2(x - 1)2 +1,下列说法错误的是( ). A.开口向上 B.与x轴只有一个交点 C.对称轴是直线x = 1 D.当x > 1时,y随x的增大而增大 【答案】B 【详解】 解:A、a=2>0,抛物线开口向上,所以 A 选项的说法正确; B、当y=0时,即2(x﹣1)2 +1=0,此方程没有实数解,所以抛物线与 x 轴没有交点,所以 B 选项的说法 a的符号 开口方 向 顶点坐标 对称轴 性质 a > 0 向上 (h , k) X=h x > h时,y随x的增大而增大;x < h时,y随x的增大而减小; x = h时,y有最小值k. a < 0 向下 (h , k) X=h x > h时,y随x的增大而减小;x < h时,y随x的增大而增大; x = h时,y有最大值k. 2( )y a x h= −11 错误; C、抛物线的对称轴为直线x=1,所以 C 选项的说法正确; D、抛物线开口向上,抛物线的对称轴为直线x=1,则当x>1时,y 随 x 的增大而增大,所以 D 选项的说法 正确. 故选:B. 2.2019·广西中考模拟)将y = x2 -6x + 1化成y = (x - h)2 +k的形式,则h +k的值是( ) A.-5 B.-8 C.-11 D.5 【答案】A 【详解】 解:∵y=x2-6x+1=(x-3)2-8, ∴(x-3)2-8=a(x-h)2+k, ∴a=1,h=3,k=-8, ∴h+k=3+(-8)=-5. 故选:A. 3(2019·江苏中考模拟)已知二次函数 y=(x﹣h)2+1(h 为常数),在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况 下,与其对应的函数值 y 的最小值为 5,则 h 的值为(  ) A.1 或﹣5 B.﹣1 或 5 C.1 或﹣3 D.1 或 3 【答案】B 【详解】 ∴①若 h<1≤x≤3,x=1 时,y 取得最小值 5, 可得:(1﹣h)2+1=5, 解得:h=﹣1 或 h=3(舍); ②若 1≤x≤3<h,当 x=3 时,y 取得最小值 5, 可得:(3﹣h)2+1=5, 解得:h=5 或 h=1(舍). 综上,h 的值为﹣1 或 5, 故选:B. 二次函数图象的平移 平移步骤:  将抛物线解析式转化成顶点式y = a(x - h)2 +k,确定其顶点坐标(h , k);12  保持抛物线y = ax2的形状不变,将其顶点平移到(h , k)处,具体平移方法如下: 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 【概括】左加右减,上加下减 1.(2019·辽宁中考模拟)将抛物线y = 3x2向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位,那么得到的抛物线 的解析式为( ) A.V = - 1 2x +94 B.P = Vx = ( - 1 2x + 94)x = - 1 2x2 +94x C. - 1 2(x - 94)2 +4418 D. 【答案】A 【详解】 将抛物线y = 3x2向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位,根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式 为V = - 1 2x +94,故答案选 A. 2.(2017·邹平镇第三中学中考模拟)把抛物线 y=-1 2x2 向下平移 1 个单位长度,再向左平移 1 个单位长 度,得到的抛物线解析式为( ) A.y=-1 2 (x+1)2+1 B.y=-1 2 (x+1)2-1 C.y=-1 2 (x-1)2+1 D.y=-1 2 (x-1)2-1 【答案】B 【详解】 23( 2) 3y x= − −13 根据抛物线的平移规律“左加右减,上加下减”,可直接求得平移后的抛物线的解析式为:y = -1 2(x + 1)2 -1. 3.(2017·广东中考模拟)把抛物线 y=x2+4 先向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位,所得抛物线的 表达式为( ) A.y=(x+1)2+7 B.y=(x-1)2+7 C.y=(x-1)2+1 D.y=(x+1)2+1 【答案】D 【详解】 把抛物线y = x2 +4先向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位所得新抛物线的解析式为:y = (x + 1)2 +1. 故选 D. 4.(2018·山东中考模拟)将二次函数 y=x2+2x﹣1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度,得到的函数表达 式是(  ) A.y=(x+3)2﹣2 B.y=(x+3)2+2 C.y=(x﹣1)2+2 D.y=(x﹣1)2﹣2 【答案】D 【详解】 ∵y=x2+2x-1=(x+1)2-2, ∴二次函数 y=x2+2x-1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度,得到的函数表达式是:y=(x+1-2)2-2=(x-1) 2-2, 故选 D. 5.(2019·浙江中考模拟)将抛物线 y=2(x﹣4)2﹣1 先向左平移 4 个单位长度,再向上平移 2 个单位长 度,平移后所得抛物线的解析式为(  ) A.y=2x2+1 B.y=2x2﹣3 C.y=2(x﹣8)2+1 D.y=2(x﹣8)2﹣3 【答案】A 【详解】抛物线 y=2(x-4)2-1 先向左平移 4 个单位长度,得到的抛物线解析式为 y=2(x-4+4)2-1,即 y=2x2-1,再向上平移 2 个单位长度得到的抛物线解析式为 y=2x2-1+2,即 y=2x2+1; 故选:A 抛物线y = ax2 +bx + c的三要素:开口方向、对称轴、顶点. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(难点)14  公式法:y = ax2 +bx + c = a(x + b 2a)2 + 4ac - b2 4a , ∴顶点是( - b 2a,4ac - b2 4a ),对称轴是直线x = - b 2a.  配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为y = a(x - h)2 +k的形式,得到顶点为(h,k),对称 轴是直线x = h. 【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的 对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 抛物线y = ax2 +bx + c中,a,b,c与函数图像的关系(灵活掌握)  二次项系数a 二次函数y = ax2 +bx + c中,a作为二次项系数,显然a ≠ 0. ⑴ 当a > 0时,抛物线开口向上,a越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大; ⑶ 当a < 0时,抛物线开口向下,a越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大. 【总结起来】a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,|a|的大小决定开口的大小.  一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在a > 0的前提下, 当b > 0时, - b 2a < 0,即抛物线的对称轴在y轴左侧(a、b 同号); 当b = 0时, - b 2a = 0,即抛物线的对称轴就是y轴; 当b < 0时, - b 2a > 0,即抛物线对称轴在y轴的右侧(a、b 异号). ⑵ 在a < 0的前提下,结论刚好与上述相反,即 当b > 0时, - b 2a > 0,即抛物线的对称轴在y轴右侧(a、b 异号); 当b = 0时, - b 2a = 0,即抛物线的对称轴就是y轴; 当b < 0时, - b 2a < 0,即抛物线对称轴在y轴的左侧(a、b 同号). 【总结起来】在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.  常数项c ⑴ 当c > 0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当c = 0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当c < 0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置. 总之,只要a , b , c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 1(2018·天津中考模拟)如图,抛物线 y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线 x=1,如果关于 x 的方程15 ax2+bx﹣8=0(a≠0)的一个根为 4,那么该方程的另一个根为(  ) A.﹣4 B.﹣2 C.1 D.3 【答案】B 【详解】 ∵关于 x 的方程ax2 +bx - 8 = 0有一个根为 4, ∴抛物线y = ax2 +bx - 8与 x 轴的一个交点为(4,0), 抛物线y = ax2 +bx + 3(a ≠ 0)的对称轴为直线x = 1, ∴ 抛物线y = ax2 +bx - 8的对称轴也是 x=1, ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为( -2,0), ∴方程的另一个根为x = -2. 故选 B. 2(2019·许昌实验中学中考模拟)如图是二次函数 的部分图象,由图象可知不等式ax2 +bx + c < 0的解集是( ) A. -1 < x < 5 B.x > 5 C.x < -1且x > 5 D.x<-1 或 x>5 【答案】D 2y=ax +bx+c16 【详解】 利用二次函数的对称性,可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标,结合图象可得出ax2 +bx + c < 0的解集: 由图象得:对称轴是 x=2,其中一个点的坐标为(5,0), ∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为(-1,0)。 由图象可知:ax2 +bx + c < 0的解集即是 y<0 的解集, ∴x<-1 或 x>5。故选 D。 3(2019·广东中考模拟)已知函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则关于 x 的方程 ax2+bx+c﹣4=0 的根的 情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个异号的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 【答案】A 【详解】 ∵函数的顶点的纵坐标为 4, ∴直线 y=4 与抛物线只有一个交点, ∴方程 ax2+bx+c﹣4=0 有两个相等的实数根, 故选 A. 考查题型三 二次函数函数值大小的判断方法 1.(2019·湖北中考真题)已知点A( -1,m),B(1,m),C(2,m - n)(n > 0)在同一个函数的图象上,这个函数 可能是( ) A.y=x B.y = - 2 x C.y=x2 D.y=﹣x2 【答案】D 【详解】 A( -1,m),B(1,m) ∴ 点A与点B关于y轴对称;17 由于y=x,y= - 2 x的图象关于原点对称,因此选项A,B错误; ∵ n>0, ∴ m﹣n<m; 由B(1,m),C(2,m - n)可知,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小, 对于二次函数只有a < 0时,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小, ∴ D选项正确 故选D. 2.(2019·江苏中考模拟)已知二次函数y = a(x - 2)2 +c,当x = x1时,函数值为y1;当x = x2时,函数 值为y2,若|x1 - 2| > |x2 -2|,则下列表达式正确的是( ) A.y1 + y2 > 0 B.y1 - y2 > 0 C.a(y1 - y2) > 0 D.a(y1 + y2) > 0 【答案】C 【详解】 解:①a>0 时,二次函数图象开口向上, ∵|x1﹣2|>|x2﹣2|, ∴y1>y2, a(y1﹣y2)>0, ②a<0 时,二次函数图象开口向下, ∵|x1﹣2|>|x2﹣2|, ∴y1<y2, a(y1﹣y2)>0, 综上所述,表达式正确的是 a(y1﹣y2)>0. 故选:C. 3.(2019·河南中考模拟)点P1( -1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y = - x2 +2x + c的图象上, 则y1,y2,y3的大小关系是______. 【答案】y1 = y2 > y3 【详解】 解: ∵ y = - x2 +2x + c, ∴ 对称轴为x = 1, P2(3,y2),P3(5,y3)在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而减小,18 ∵ 3 < 5, ∴ y2 > y3, 根据二次函数图象的对称性可知,P1( -1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称, 故y1 = y2 > y3, 故答案为:y1 = y2 > y3. 考查题型四 求抛物线顶点、对称轴的方法 1.(2019·浙江中考模拟)关于抛物线y = 1 2(x + 2)2 +3,下列说法正确的是( ) A.对称轴是直线x = 2,y有最小值是3 B.对称轴是直线a = - 1,y有最大值是3 C.对称轴是直线x = 2,y有最大值是3 D.对称轴是直线a = - 1,y有最小值是3 【答案】D 【详解】 解:抛物线 y=1 2(x+2)2+3 的图像开口向上 ∵函数图像对称轴为直线 x=-2, ∴x=-2 时有最小值 3, 故选:D. 2.(2016·浙江中考模拟)对于二次函数 y=(x﹣1)2+2 的图象,下列说法正确的是(  ) A.开口向下 B.顶点坐标是(1,2) C.对称轴是 x=﹣1 D.与 x 轴有两个交点 【答案】B 【详解】 A、y=(x﹣1)2+2,知 a=1>0,因此图象的开口向上,此选项错误; B、y=(x﹣1)2+2 顶点坐标是(1,2),此选项正确; C、对称轴是直线 x=1,此选项错误; C、(x﹣1)2+2=0,(x﹣1)2=﹣2,此方程无解,与 x 轴没有交点,故本选项错误. D、由 y=(x﹣1)2+2=x2-2x+3,可得△=b2-4ac=4-12=-8,没有交点,故本选项错误. 故选:B 3.(2019·江苏中考模拟)关于函数 y=﹣(x+2)2﹣1 的图象叙述正确的是(  ) A.开口向上 B.顶点(2,﹣1) C.与 y 轴交点为(0,﹣1) D.对称轴为直线 x=﹣219 【答案】D 【详解】 ∵ 函数y = - (x + 2)2 - 1, ∴ 该函数图象开口向下,故选项 A 错误, 顶点坐标为( -2, - 1),故选项 B 错误, 当x = 0时,y = - 5,即该函数与 y 轴的交点坐标为(0, - 5),故选项 C 错误, 对称轴是直线x = - 2,故选项 D 正确, 故选:D 4.(2019·山东中考模拟)抛物线y = mx2 +2mx + 1(m为非零实数)的顶点坐标为_____________. 【答案】( -1,1 - m) 【详解】y=mx2+2mx+1 =m(x2+2x)+1 =m(x2+2x+1-1)+1 =m(x+1)2 +1-m, 所以抛物线的顶点坐标为(-1,1-m), 故答案为(-1,1-m). 考查题型五 抛物线对称性的应用 1.(2018·普定县白岩镇白岩中学中考模拟)将抛物线 y=x2﹣1 向下平移 8 个单位长度后与 x 轴的两个交 点之间的距离为(  ) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【详解】将抛物线 y=x2-1 向下平移 8 个单位长度, 其解析式变换为:y=x2-9 而抛物线 y=x2-9 与 x 轴的交点的纵坐标为 0, 所以有:x2-9=0 解得:x1=-3,x2=3, 则抛物线 y=x2-9 与 x 轴的交点为(-3,0)、(3,0), 所以,抛物线 y=x2-1 向下平移 8 个单位长度后与 x 轴的两个交点之间的距离为 6 故选 B20 2(2018·山东中考模拟)若二次函数α,β的图象与x轴只有一个交点,那么m的值为(  ) A.0 B.0 或 2 C.2 或﹣2 D.0,2 或﹣2 【答案】D 【详解】 当函数为一次函数时,则 m=0;当函数为二次函数时,则(m + 2)2 - 4m(1 2m + 1) = 0,解得:m=±2.综上 所述,m=0 或 2 或-2. 3.(2014·黑龙江中考真题)如图,抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A(0,3),B(﹣1,0),请解答下列问 题: (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的顶点为点 D,对称轴与 x 轴交于点 E,连接 BD,求 BD 的长. 注:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣ , ). 【答案】(1)抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3; (2)BD= . 【详解】 (1)∵抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A(0,3),B(﹣1,0), ∴将 A 与 B 坐标代入得: , 解得: , 则抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3; (2)由 D 为抛物线顶点,得到 D(1,4),21 ∵抛物线与 x 轴交于点 E, ∴DE=4,OE=1, ∵B(﹣1,0), ∴BO=1, ∴BE=2, 在 Rt△BED 中,根据勾股定理得:BD= . 考查题型六 二次函数图象特征与系数关系的应用方法 1.(2019·陕西中考模拟)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点(0,m)、(4、m)、(1,n),若 n< m,则( ) A.a>0 且 4a+b=0 B.a<0 且 4a+b=0 C.a>0 且 2a+b=0 D.a<0 且 2a+b=0 【答案】A 【详解】 ∵图像经过点(0,m)、(4、m) ∴对称轴为 x=2, 则 - b 2a = 2, ∴4a+b=0 ∵图像经过点(1,n),且 n<m ∴抛物线的开口方向向上, ∴a>0, 故选 A. 2.(2019·广东中考模拟)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,图象过点 A(﹣5,0),对称轴为 直线 x=﹣2,给出四个结论:①abc>0;②4a+b=0;③若点 B(﹣3,y1)、C(﹣4,y2)为函数图象上的两点, 则 y2<y1;④a+b+c=0.其中,正确结论的个数是( )22 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】 由图象可知:开口向下,故 a<0, 抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方,故 c>0, ∵对称轴 x=﹣ b 2a<0, ∴b<0, ∴abc>0,故①正确; ∵对称轴为 x=﹣2, ∴﹣ b 2a=﹣2, ∴b=4a, ∴4a﹣b=0,故②不正确; 当 x<﹣2 时, 此时 y 随 x 的增大而增大, ∵﹣3>﹣4, ∴y1>y2,故③正确; ∵图象过点 A(﹣5,0),对称轴为直线 x=﹣2, ∴点 A 关于 x=﹣2 对称点的坐标为:(1,0) 令 x=1 代入 y=ax2+bx+c, ∴y=a+b+c=0,故④正确 故选:C. 4.(2013·广西中考真题)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac; ②abc>0;③2a﹣b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是   .(填正确结论的序号)23 【答案】①②⑤ 【详解】 ①由图知:抛物线与 x 轴有两个不同的交点,则△=b2﹣4ac>0,∴b2>4ac。故①正确。 ②抛物线开口向上,得:a>0; 抛物线的对称轴为x = - b 2a = 1,b=﹣2a,故 b<0; 抛物线交 y 轴于负半轴,得:c<0; 所以 abc>0。故②正确。 ③∵抛物线的对称轴为x = - b 2a = 1,b=﹣2a,∴2a+b=0,故 2a﹣b=0。故③错误。 ④根据②可将抛物线的解析式化为:y=ax2﹣2ax+c(a≠0); 由函数的图象知:当 x=﹣2 时,y>0;即 4a﹣(﹣4a)+c=8a+c>0,故④错误。 ⑤根据抛物线的对称轴方程可知:(﹣1,0)关于对称轴的对称点是(3,0); 当 x=﹣1 时,y<0,所以当 x=3 时,也有 y<0,即 9a+3b+c<0。故⑤正确。 综上所述,结论正确的有①②⑤。 知识点三 抛物线与x轴的交点 二次函数y = ax2 +bx + c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程ax2 +bx + c = 0的 两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点⇔Δ > 0⇔抛物线与x轴相交; ②有一个交点(顶点在x轴上)⇔Δ = 0⇔抛物线与x轴相切; ③没有交点⇔Δ < 0⇔抛物线与x轴相离. 考查题型七 利用二次函数与 x 轴的交点判断字母的值范围的方法 1.(2018·湖北中考真题)已知二次函数 y=x2﹣x+1 4m﹣1 的图象与 x 轴有交点,则 m 的取值范围是(  ) A.m≤5 B.m≥2 C.m<5 D.m>2 【答案】A24 【详解】∵二次函数 y=x2﹣x+1 4m﹣1 的图象与 x 轴有交点, ∴△=(-1) 2-4×1×(1 4 m-1)≥0, 解得:m≤5, 故选 A. 考查题型八 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用的方法 1.(2012·江苏中考模拟)若二次函数y = (x - m)2 - 1,当x ≤ 1时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取 值范围是( ) A.m = 1 B.m > 1 C.m ≥ 1 D.m ≤ 1 【答案】C 【详解】 ∵二次函数的解析式 y=(x-m)2-1 的二次项系数是 1, ∴该二次函数的开口方向是向上; 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是(m,-1), ∴该二次函数图象在 x<m 上是减函数,即 y 随 x 的增大而减小,且对称轴为直线 x=m, 而已知中当 x≤1 时,y 随 x 的增大而减小, ∴x≤1, ∴m≥1. 故选 C. 2.(2017·江苏中考模拟)若二次函数 y=(x﹣m)2﹣1,当 x≤3 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范 围是(  ) A.m=3 B.m>3 C.m≥3 D.m≤3 【答案】C 【详解】 ∵a=1>0, ∴在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而减小, ∵y=(x﹣m)2﹣1 的对称轴是 x=m, ∴m≥3. 故选 C.25 3.(2019·四川中考真题)如图,抛物线y = ax2 +bx + c(a ≠ 0)过点( - 1,0),(0,2),且顶点在第一 象限,设M = 4 a + 2 b + c,则 M 的取值范围是___. 【答案】 - 6 < M < 6. 【详解】 将( - 1,0)与 代入y = ax2 +bx + c, ∴0 = a - b + c,2 = c, ∴b = a + 2, ∵ - b 2a > 0,a < 0, ∴b > 0, ∴a > - 2, ∴ - 2 < a < 0, ∴M = 4a + 2(a + 2) + 2 = 6a + 6 = 6(a + 1) ∴ - 6 < M < 6, 故答案为: - 6 < M < 6. 考查题型九 二次函数与其他函数结合的应用方法 1.(2019·内蒙古中考模拟)在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax2+c 的图象大致为 (  ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 (0,2)26 解:∵一次函数和二次函数都经过 y 轴上的(0,c), ∴两个函数图象交于 y 轴上的同一点,故 B 选项错误; 当 a>0 时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,故 C 选项错误; 当 a<0 时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,故 A 错误,D 选项正确; 故选:D. 2.(2018·安徽中考模拟)二次函数y = a(x + m)2 +n的图象如图,则一次函数y = mx + n的图象经过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 【答案】C 【详解】 ∵抛物线的顶点在第四象限,∴﹣m>0,n<0。∴m<0, ∴一次函数y = mx + n的图象经过二、三、四象限。故选 C。 3.(2018·山东中考模拟)已知二次函数 y=(x+m)2﹣n 的图象如图所示,则一次函数 y=mx+n 与反比例函 数 y=mn x 的图象可能是(  ) A. B. C. D.27 【答案】D 【详解】 由二次函数的图象,得﹣m>0,﹣n<0, 化简,得 m<0,n>0, y=mx+n 图象经过一二四象限,y=mn x 图象位于二四象限, 故选:D. 4.(2019·安徽中考模拟)二次函数 y=a(x﹣m)2﹣n 的图象如图,则一次函数 y=mx+n 的图象经过(  ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 【答案】A 【详解】 解:观察函数图象,可知:m>0,n>0, ∴一次函数 y=mx+n 的图象经过第一、二、三象限. 故选:A. 知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路(重点)  三点式(带入) 1,已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A( 3,0),B(2 3,0),C(0,-3)三点,求抛物线的解析式。 2,已知抛物线 y=a(x-1)2+4 , 经过点 A(2,3),求抛物线的解析式。  顶点式(顶点坐标(- b 2a,4ac - b2 4a )) 1,已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A(2,1),求抛物线的解析式。 2,已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。  交点式(带入) 1,已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。 2,已知抛物线线与 x 轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线 y=1 2a(x-2a)(x-b)的解析式。  定点式28 1, 在直角坐标系中,不论 a 取何值,抛物线y = - 1 2x2 + 5 - a 2 x + 2a - 2经过 x 轴上一定点 Q ,直线 y = (a - 2)x + 2经过点 Q,求抛物线的解析式。 2.抛物线 y= x2 +(2m-2)x-4m 与 x 轴的交点一定经过直线 y=mx+m+4,求抛物线的解析式。 解:抛物线与 X 轴相交,Y=0 x2+(2m-2)X-4m=0 x2-2X+2mx-4m=0 X(X-2)+2m(X-2)=0 (X-2)(X+2m)=0 所以 x=2 必过(2,0) 代入直线 得 m=-4 3 Y= x2-11 3 x+8 3 3,抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A,求抛物线的解析式。 直线 y=mx-2m+2 y=m(x-2)+2 直线经过定点,则与 m 的取值无关,所以 x-2=0 y=2 即定点坐标为 A(2,2) 所抛物线 y=ax2+ax-2 过(2,2) 2=6a-2 6a=4 a=2 3 知识点五 通过二次函数解决实际问题 考查题型十 借助抛物线图像解决实际问题 1.(2019·山东中考真题)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h (单位:m)与小球运动时间t (单位: )之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是 ;②小球抛出 3 秒后,速度越来 越快;③小球抛出 3 秒时速度为 0;④小球的高度h = 30m时,t = 1.5s.其中正确的是( ) s 40m29 A.①④ B.①② C.②③④ D.②③ 【答案】D 【详解】 ①由图象知小球在空中达到的最大高度是 ;故①错误; ②小球抛出 3 秒后,速度越来越快;故②正确; ③小球抛出 3 秒时达到最高点即速度为 0;故③正确; ④设函数解析式为:h = a(t - 3)2 +40, 把O(0,0)代入得0 = a(0 - 3)2 +40,解得a = - 40 9 , ∴函数解析式为h = - 40 9 (t - 3)2 +40, 把h = 30代入解析式得,30 = - 40 9 (t - 3)2 +40, 解得:t = 4.5或t = 1.5, ∴小球的高度h = 30m时,t = 1.5s或4.5s,故④错误; 故选:D. 2.(2018·重庆中考模拟)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮,球沿一条抛物线运 动,当球运动的水平距离为 2.5m 时,达到最大高度 3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心距离地面高 度为 3.05m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是(  ) A.此抛物线的解析式是 y=﹣1 5x2+3.5 B.篮圈中心的坐标是(4,3.05) 40m30 C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) D.篮球出手时离地面的高度是 2m 【答案】A 【详解】 解:A、∵抛物线的顶点坐标为(0,3.5), ∴可设抛物线的函数关系式为 y=ax2+3.5. ∵篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上,将它的坐标代入上式,得 3.05=a×1.52+3.5, ∴a=﹣1 5, ∴y=﹣1 5x2+3.5. 故本选项正确; B、由图示知,篮圈中心的坐标是(1.5,3.05), 故本选项错误; C、由图示知,此抛物线的顶点坐标是(0,3.5), 故本选项错误; D、设这次跳投时,球出手处离地面 hm, 因为(1)中求得 y=﹣0.2x2+3.5, ∴当 x=﹣2.5 时, h=﹣0.2×(﹣2.5)2+3.5=2.25m. ∴这次跳投时,球出手处离地面 2.25m. 故本选项错误. 故选:A. 考查题型十一 利用直角坐标系解决实际问题 1.(2017·甘肃中考模拟)图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在图(1)位置时,拱顶 (拱桥洞的最高点)离水面 2 m,水面宽 4 m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) A.y=﹣2x2 B.y=2x231 C.y=﹣0.5x2 D.y=0.5x2 【答案】C 【详解】 由题意可得,设抛物线解析式为:y=ax2,由图意知抛物线过(2,–2),故–2=a×22,解得:a=–0.5, 故解析式为 y=﹣0.5x2 ,选 C. 2.(2019·山西中考模拟)如图所示的是抛物线型拱桥,当拱顶离水面 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 2m,则水面宽度增加( ) A.(4 2 + 4)m B.4 2m C.(4 2 - 4)m D.4m 【答案】C 【详解】 解:以 AB 所在的直线为 x 轴,向右为正方向,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,向上为正方向,建立如图所 示的平面直角坐标系, 抛物线以 y 轴为对称轴,且经过 A,B 两点,OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米,抛物线顶点 C 坐标为(0, 2),设顶点式 y=ax2+2,代入 A 点坐标(-2,0), 得出:a=-0.5,所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2, 把 y=-2 代入抛物线解析式得出:-2=-0.5x2+2, 解得:x=±2 2, 所以水面宽度增加到 4 2米,比原先的宽度当然是增加了(4 2-4)米, 故选:C. 考查题型十二 利用二次函数求最大面积 1.(2017·江西南昌二中中考模拟)中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另32 外三边用长为 30 米的篱笆围成,已知墙长为 18 米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米. (1)若苗圃园的面积为 72 平方米,求 x; (2)若平行于墙的一边长不小于 8 米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小 值;如果没有,请说明理由; (3)当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时,直接写出 x 的取值范围. 【答案】(1) x=12;(2)苗圃园的面积最大为 112.5 平方米,最小为 88 平方米;(3) 6≤x≤10. 【详解】 解:(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)米.依题意可列方程 x(30-2x)=72,即 x2-15x+36=0. 解得 x1=3,x2=12. 又∵30-2x≤18,即 x≥6, ∴x=12 (2)依题意,得 8≤30-2x≤18.解得 6≤x≤11. 面积 S=x(30-2x)=-2(x-15 2 )2+225 2 (6≤x≤11). ①当 x=15 2 时,S 有最大值,S 最大=225 2 ; ②当 x=11 时,S 有最小值,S 最小=11×(30-22)=88. (3)令 x(30-2x)=100,得 x2-15x+50=0 . 解得 x1=5,x2=1 ∴x 的取值范围是 5≤x≤10. 考查题型十三 利用二次函数求最大利润 1.(2013·辽宁中考真题)某商场购进一批单价为 4 元的日用品.若按每件 5 元的价格销售,每月能卖出 3 万件;若按每件 6 元的价格销售,每月能卖出 2 万件,假定每月销售件数 y(件)与价格 x(元/件)之间满 足一次函数关系. (1)试求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少? 【答案】(1)y = - 10000x + 80000(2)当销售价格定为 6 元时,每月的利润最大,每月的最大利润为 40000 元33 【详解】解:(1)由题意,可设 y=kx+b, 把(5,30000),(6,20000)代入得:{5k + b = 30000 6k + b = 20000,解得:{k = -10000 b = 80000。 ∴y 与 x 之间的关系式为:y = - 10000x + 80000。 (2)设利润为 W,则 W = (x - 4)( -10000x + 80000) = - 10000(x2 - 12x + 32) = - 10000(x - 6)2 +40000, ∴当 x=6 时,W 取得最大值,最大值为 40000 元。 答:当销售价格定为 6 元时,每月的利润最大,每月的最大利润为 40000 元。 考查题型十四 利用二次函数解决运动中的几何问题 1.(2019·云南中考模拟)如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=3cm,BC=6cm,动点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动,若 P,Q 两点分别从 A,B 两点同时出发,P 点到达 B 点运动停止,则△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 由题意可得:PB=3﹣t,BQ=2t, 则△PBQ 的面积 S=1 2PB•BQ=1 2(3﹣t)×2t=﹣t2+3t, 故△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是二次函数图象,开口向下. 故选:C.34 2.(2019·河南中考模拟)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 P、Q 分别是 CD、AD 的中点,动点 E 从点 A 向点 B 运动,到点 B 时停止运动;同时,动点 F 从点 P 出发,沿 P→D→Q 运动,点 E、F 的运动速度相 同.设点 E 的运动路程为 x,△AEF 的面积为 y,能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 当 F 在 PD 上运动时,△AEF 的面积为 y=1 2AE•AD=2x(0≤x≤2), 当 F 在 DQ 上运动时,△AEF 的面积为 y=1 2AE•AF= = (2<x≤4), 图象为: 故选 A. 3.(2019·河南中考模拟)如图,在RtΔABC中,∠C = 90°,AB=10cm,BC=8cm,点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动,同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动(点 Q 运动到点 B 停止)。则四边 形 PABQ 的面积 y(cm2)与运动时间 x(s)之间的函数图象为( ) 1 ( 2)2 x x − 21 2 x x−35 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 解:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm, ∴AC= AB2 - BC2=6cm, 设运动时间为 x(0≤x≤4),则 PC=(6-x)cm,CQ=2xcm, ∴S 四边形 PABQ=S△ABC-S△CPQ =1 2AC∙BC-1 2PC∙CQ =1 2×6×8-1 2×(6-x)×2x =x2-6x+24 =(x-3)2+15. 根据函数解析式可得函数图象应为:C. 查看更多

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