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1 专题 30 概率 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 概率的有关概念 概率的概念:某种事件在某一条件下可能发生,也可能不发生,但可以知道它发生的可能性的大小,我们 把刻划(描述)事件发生的可能性的大小的量叫做概率. 事件类型: ①必然事件:有些事情我们事先肯定它一定发生,这些事情称为必然事件. ②不可能事件:有些事情我们事先肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件. 2 ③不确定事件:许多事情我们无法确定它会不会发生,这些事情称为不确定事件. 概率的计算:一般地,如果在一次试验中,有 n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件 A 包 含其中的 m 中结果,那么事件 A 发生的概率为 【考查题型汇总】 考查题型一 判断事件发生的可能性 1.(2016·福建中考真题)掷一枚质地均匀的硬币 10 次,下列说法正确的是( ) A.每两次必有 1 次正面向上 B.可能有 5 次正面向上 C.必有 5 次正面向上 D.不可能有 10 次正面向上 【答案】B 【详解】 ACD 都将概率的意义理解错,概率不代表必有或不可能,故 ACD 错误,选 B. 2.(2012·山东中考真题)“抛一枚均匀硬币,落地后正面朝上”这一事件是( ) A.必然事件 B.随机事件 C.确定事件 D.不可能事件 【答案】B 【详解】 根据随机事件的定义,随机事件就是可能发生,也可能不发生的事件,即可判断: 抛 1 枚均匀硬币,落地后可能正面朝上,也可能反面朝上,故抛 1 枚均匀硬币,落地后正面朝上是随机事 件.故选 B. 3.(2016·湖北中考真题)不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 6 个球,其中 4 个黑球、2 个 白球,从袋子中一次摸出 3 个球,下列事件是不可能事件的是(  ) A.摸出的是 3 个白球 B.摸出的是 3 个黑球 C.摸出的是 2 个白球、1 个黑球 D.摸出的是 2 个黑球、1 个白球 【答案】A 【解析】 由题意可知,不透明的袋子中总共有 2 个白球,从袋子中一次摸出 3 个球都是白球是不可能事件,故选 B.3 4.(2018·湖南中考真题)下列说法正确的是(  ) A.调查舞水河的水质情况,采用抽样调查的方式 B.数据 2.0,﹣2,1,3 的中位数是﹣2 C.可能性是 99%的事件在一次实验中一定会发生 D.从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查,样本容量为 2000 名学生 【答案】A 【解析】 A、调查舞水河的水质情况,采用抽样调查的方式,正确; B、数据 2.0,-2,1,3 的中位数是 1,错误; C、可能性是 99%的事件在一次实验中不一定会发生,错误; D、从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查,样本容量为 2000,错误; 故选 A. 5.(2012·江西中考真题)从 10 名学生(6 男 4 女,其中小芳为女生)中,抽选 6 人参加“防震知识”竞 赛.若规定男生选 3 人,则“选到小芳”的事件应该是____(选填“必然事件、不可能事件、随机事 件”). 【答案】随机事件 【解析】 解:“随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件”, 从 10 名学生(6 男 4 女,其中小芳为女生)中,抽选 6 人参加“防震知识”竞赛. 若规定男生选 3 人,则女生也选 3 人,“选到小芳”的可能性大,但不一定发生. 故答案为随机事件. 考查题型二 利用概率的定义求事件发生的概率 1.(2019·浙江中考真题)为了解某地区九年级男生的身高情况,随机抽取了该地区 100 名九年级男生, 他们的身高 ( )统计如下: 组别( ) 人数 5 38 42 15 根据以上结果,抽查该地区一名九年级男生,估计他的身高不低于 的概率是( ) A.0.85 B.0.57 C.0.42 D.0.15 x cm cm 160x < 160 170x≤ < 170 180x≤ < 180x ≥ 180cm4 【答案】D 【详解】 样本中身高不低于 180cm 的频率= =0.15, 所以估计他的身高不低于 180cm 的概率是 0.15. 故选 D. 2.(2019·浙江中考真题)一个布袋里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球,除颜色外其它都相同,搅匀后 任意摸出一个球,是白球的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 袋子里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球共 10 个球,从中摸出一个球是白球的概率为: . 故选 A. 3.(2019·江苏中考真题)抛掷一枚质地均匀的硬币 次,正面朝上的次数最有可能为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 抛掷一枚质地均匀的硬币 次,正面朝上的次数最有可能为 次, 故选 C. 4.(2015·山东中考真题)如图,有一个质地均匀的正四面体,其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱 形、正五边形.投掷该正四面体一次,向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( ) A.1 B.1 4 C.1 4 D.3 4 【答案】D 【解析】 试题分析:投掷一次,向下一面有四种可能,其中圆、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,有两种可 15 100 1 2 3 10 1 5 7 10 5 1 10 2 = 2000 500 800 1000 1200 2000 10005 能,故概率为 ; 故选 D. 5.(2017·内蒙古中考模拟)如图,随机闭合开关 S1,S2,S3 中的两个,则灯泡发光的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵随机闭合开关 、 、 中的两个,共有 3 种情况: , , , 能让灯泡发光的有 、 两种情况。 ∴能让灯泡发光的概率为 .故选 B. 考查题型三 几何概型的计算方法 1.(2019·北京中考模拟)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,被誉为“东方模板”,它是由五块等腰 直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,如果在 此正方形中随机取一点,那么此点取自黑色部分的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 解:设“东方模板”的面积为 4,则阴影部分三角形面积为 1,平行四边形面积为 , 则点取自黑色部分的概率为: , 故选:C. 3 4 2 3 1 3 1 2 1S 2S 3S 1S 2S 1S 3S 2S 3S 1S 3S 2S 3S 2 3 9 32 5 16 3 8 7 16 1 2 11 32 4 8 + =6 2.(2019·山东中考模拟)正方形 ABCD 的边长为 2,以各边为直径在正方形内画半圆,得到如图所示阴影 部分,若随机向正方形 ABCD 内投一粒米,则米粒落在阴影部分的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】如图,连接 PA、PB、OP, 则 S 半圆 O= ,S△ABP= ×2×1=1, 由题意得:图中阴影部分的面积=4(S 半圆 O﹣S△ABP) =4( ﹣1)=2π﹣4, ∴米粒落在阴影部分的概率为 , 故选 A. 3.(2018·辽宁中考真题)如图所示,阴影是两个相同菱形的重合部分,假设可以随机在图中取点,那么 这个点取在阴影部分的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 2 2 π − 2 4 π − 2 8 π − 2 16 π − 21 2 2 π π× = 1 2 2 π 2 4 2 4 2 π π− −= 1 5 1 6 1 7 1 87 设阴影部分的面积是 x,则整个图形的面积是 7x, 则这个点取在阴影部分的概率是 , 故选:C. 4.(2019·甘肃中考真题)如图,正方形 内的图形来自中国古代的太极图,现随机向正方形内掷一 枚小针,则针尖落在黑色区域内的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 设正方形 的边长为 , 针尖落在黑色区域内的概率 . 故选:C. 5.(2019·北京青云店中学中考模拟)如图是 12 个大小相同的小正方形,其中 5 个小正方形已涂上阴影, 现随机丢一粒豆子在这 12 个小正方形内,则它落在阴影部分的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 P= = , 故答案选 B 考查题型四 利用概率的结果还原事件的方法 1.(2018·湖南中考模拟)已知一个布袋里装有 2 个红球,3 个白球和 a 个黄球,这些球除颜色外其余都相 1 7 7 x x = ABCD 1 4 1 2 8 π 4 π ABCD 2a 2 2 1 2 4 8 a a π π× × = = 5 6 5 12 5 9 7 12 阴影面积 全部面积 5 128 同.若从该布袋里任意摸出 1 个球,是红球的概率为 ,则 a 等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得: , 解得:a=1, 经检验,a=1 是原分式方程的解,故本题选 A. 2.(2018·吉林中考模拟)在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个,除颜色外其他 完全相同.小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和 45%,则口袋中白色球 的个数很可能是( ) A.6 B.16 C.18 D.24 【答案】B 【解析】 ∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15%和 45%,∴摸到白球的频率为 1-15%-45%=40%, 故口袋中白色球的个数可能是 40×40%=16 个.故选 A. 3.(2018·河北中考模拟)在围棋盒中有 x 颗白色棋子和 y 颗黑色棋子,从盒中随机取出一颗棋子,取得 白色棋子的概率是 .如果再往盒中放进 6 颗黑色棋子,取得白色棋子的概率是 ,则原来盒中有白色棋 子( ) A.8 颗 B.6 颗 C.4 颗 D.2 颗 【答案】C 【详解】 由题意得 , 解得 x=4, y=6 , 经检验 x、y 是原方程组的解, 故选 C. 4.(2019·内蒙古中考模拟)一个不透明布袋里有 3 个红球,4 个白球和 m 个黄球,这些球除颜色外其余都 相同,若从中随机摸出 1 个球是红球的概率为 ,则 m 的值为(  ) 1 3 1 2 3 4 2 1 2 3 3a =+ + 2 5 1 4 2=+ 5 1=+ +6 4 { x x y x x y 1 39 A.2 B.3 C.5 D.7 【答案】A 【详解】 由题意可得, m=3÷ ﹣3﹣4=9﹣3﹣4=2. 故选:A. 5.(2019·辽宁中考真题)一个口袋中有红球、白球共 10 个,这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌 均匀,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸了 100 次球,发现 有 70 次摸到红球.请你估计这个口袋中有_____个白球. 【答案】3 【详解】 由题意可得,红球的概率为 70%.则白球的概率为 30%, 这个口袋中白球的个数:10×30%=3(个), 故答案为:3. 知识点二 概率计算  利用列举法求概率 方法一:直接列举法求概率 当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时,通常采用直接列举法。 方法二:列表法求概率 当一次试验要设计两个因素, 并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常 采用列表法。 方法三:树状图法求概率 当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通 常采用树状图法求概率。  利用频率估计概率 实际上,我们可以通过大量的重复试验,用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.用频率估计概率 , 虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率,但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制, 使得可求概率的随机事件的范围扩大. 【考查题型汇总】 1 310 考查题型五 利用树状图求事件概率 1.(2019·山东中考真题)经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能 性大小相同,则两辆汽车经过这个十字路口时,一辆向右转,一辆向左转的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 画“树形图”如图所示: ∵这两辆汽车行驶方向共有 9 种可能的结果,其中一辆向右转,一辆向左转的情况有 2 种, ∴一辆向右转,一辆向左转的概率为 ; 故选:B. 2.(2019·山东中考真题)一个盒子中装有标号为 1,2,3,4,5,的五个小球,这些球除标号外都相同, 从中随机摸出两个小球,则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 解:根据题意可得树状图为: 一共有 25 种结果,其中 15 种结果是大于 5 的 因此可得摸出的小球标号之和大于 5 的概率为 故选 C. 2 3 2 9 1 3 1 9 2 9 1 5 2 5 3 5 4 5 15 3 25 5 =11 3.(2019·广西中考真题)小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳的手指数 之和为偶数时小李获胜,那么,小李获胜的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 解:画树状图如图: 共有 25 个等可能的结果,两人出拳的手指数之和为偶数的结果有 13 个, ∴小李获胜的概率为 ; 故选 A. 4.(2018·辽宁中考模拟)一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片,把它们分别标上数字 1、2、3、4.随 机抽取一张卡片,然后放回,再随机抽取一张卡片,则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】画树状图为: 共有 16 种等可能的结果数,其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为 12, 所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率= , 故选 C. 5.(2018·河南中考模拟)一个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4, 随机摸出一个小球后不放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球标号之和等于 6 的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 13 25 12 25 4 25 1 2 13 25 1 4 1 2 3 4 5 6 12 3 16 4 = 1 6 1 5 1 4 1 312 【详解】 画树状图得: ∵共有 12 种等可能的结果,两次摸出的小球标号之和等于 6 的有 2 种情况, ∴两次摸出的小球标号之和等于 6 的概率 故选 A. 考查题型六 利用列表法求事件概率 1.(2019·山东中考真题)从﹣1、2、3、﹣6 这四个数中任取两数,分别记为 、 ,那么点 在函 数 图象的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 点 在函数 的图象上, . 列表如下: ﹣1 ﹣1 ﹣1 2 2 2 3 3 3 ﹣6 ﹣6 ﹣6 2 3 ﹣6 ﹣1 3 ﹣6 ﹣1 2 ﹣6 ﹣1 2 3 ﹣2 ﹣3 6 ﹣2 6 ﹣12 ﹣3 6 ﹣18 6 ﹣12 ﹣18 的值为 6 的概率是 . 故选: . 2.(2019·河南中考模拟)某居委会组织两个检查组,分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽 查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查,则两个组恰好抽到同一个小区的概率是(  ) A. B. C. D. 2 1.12 6= = m n ( ),m n 6y x = 1 2 1 3 1 4 1 8  ( ),m n 6y x = 6mn∴ = m n mn mn 4 1 12 3 = B 1 9 1 6 1 3 2 313 【答案】C 【解析】 将三个小区分别记为 A、B、C, 列表如下: A B C A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B) (B,B) (C,B) C (A,C) (B,C) (C,C) 由表可知,共有 9 种等可能结果,其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有 3 种, 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为 . 故选:C. 3.(2019·海南中考模拟)从﹣2,﹣1,2 这三个数中任取两个不同的数相乘,积为正数的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】列表如下: 积 ﹣2 ﹣1 2 ﹣2 2 ﹣4 ﹣1 2 ﹣2 2 ﹣4 ﹣2 由表可知,共有 6 种等可能结果,其中积为正数的有 2 种结果, 所以积为正数的概率为 , 故选 C. 4.(2018·内蒙古中考模拟)如图是一次数学活动课制作的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分 别标有数字-1,0,1,2.若转动转盘两次,每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分 界线上时,不记,重转),则记录的两个数字都是正数的概率为( ) 3 1=9 3 2 3 1 2 1 3 1 4 2 1 6 3 =14 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 列表得, 1 2 0 -1 1 (1,1) (1,2) (1,0) (1,-1) 2 (2,1) (2,2) (2,0) (2,-1) 0 (0,1) (0,2) (0,0) (0,-1) -1 (-1,1) (-1,2) (-1,0) (-1,-1) 表格可知,总共有 16 种结果,两个数都为正数的结果有 4 种,所以两个数都为正数的概率为 ,故选 C. 5.(2019·广西柳州二十五中中考模拟)某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文 艺演出专场的主持人,则选出的恰为一男一女的概率是( ) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 【答案】B 【解析】 试题解析:列表如下: 4 1=16 415 ∴共有 20 种 等可能的结果,P(一男一女)=12 20 = 3 5. 故选 B. 考查题型七 利用频率估计事件概率的方法 1.(2018·农安县靠山初级中学中考模拟)一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球,其 中有 9 个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复 摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在 30%,那么估计盒子中小球的个数 n 为( ) A.20 B.24 C.28 D.30 【答案】D 【详解】 试题解析:根据题意得 =30%,解得 n=30, 所以这个不透明的盒子里大约有 30 个除颜色外其他完全相同的小球. 故选 D. 2.(2018·内蒙古中考模拟)已知不透明的袋中只装有黑、白两种球,这些球除颜色外都相同,其中白球 有 30 个,黑球有 n 个.随机地从袋中摸出一个球,记录下颜色后,放回袋子中并摇匀,再从中摸出一个球, 经过如此大量重复试验,发现摸出的黑球的频率稳定在 0.4 附近,则 n 的值约为( ) A.20 B.30 C.40 D.50 【答案】A 【解析】 详解:根据题意得: , 9 n .n 0 430 n =+16 计算得出:n=20, 故选 A. 3.(2015·湖北中考模拟)用频率估计概率,可以发现,抛掷硬币,“正面朝上”的概率为 0.5,是指( ) A.连续掷 2 次,结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各 1 次 B.连续抛掷 100 次,结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各 50 次 C.抛掷 2n 次硬币,恰好有 n 次“正面朝上” D.抛掷 n 次,当 n 越来越大时,正面朝上的频率会越来越稳定于 0.5 【答案】D 【解析】 利用“大量重复试验中,事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,这个常数可以估计事件发生的概率”.连 续抛掷 2n 次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半,故 A、B、C 错误, 抛掷 n 次,当 n 越来越大时,正面朝上的频率会越来越稳定于 0.5,故 D 正确. 故选 D. 4.(2018·湖北中考模拟)盒子中有白色乒乓球 8 个和黄色乒乓球若干个,为求得盒中黄色乒乓球的个数, 某同学进行了如下实验:每次摸出一个乒乓球记下它的颜色,如此重复 360 次,摸出白色乒乓球 90 次,则 黄色乒乓球的个数估计为( ) A.90 个 B.24 个 C.70 个 D.32 个 【答案】B 【解析】 试题分析:设黄球数为 x 个, ∵重复 360 次,摸出白色乒乓球 90 次, ∴摸出白球的频率为 = , ∴估计摸出白球的概率为 , ∴ = , 解得 x=24. 故选 B. 5.(2015·江苏中考模拟)某小组在“用频率估计概率”的实验中,统计了某种结果出现的频率,绘制了 如 图的折线图,那么符合这一结果的实验最有可能的是(  ) 90 360 1 4 1 4 1 4 8 8 x+17 A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀” B.袋子中有 1 个红球和 2 个黄球,它们只有颜色上的区别,从中随机地取出一个球是黄球 C.掷一枚质地均匀的硬币,落地时结果是“正面向上” D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,落地时面朝上的点数是 6 【答案】D 【解析】 A、应该在 0.16 附近波动,故错误;B、黄球的概率是 ≈0.667,故错误;C、应该在 0.5 附近,故错 误;D、正确; 故选 D. 考查题型八 利用概率解决平均收益问题 1.(2018·湖南中考模拟)某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘(如下图),并规定:购 买 100 元的商品,就能获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准红、绿、黄、白区域, 那么顾客就可以分别得到 80 元、30 元、10 元、0 元的购物券,凭购物券仍然可以在商场购物;如果顾客不 愿意转转盘,那么可以直接获得购物券 10 元. (1)每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是多少? (2)若在此商场购买 100 元的货物,那么你将选择哪种方式获得购物券? (3)小明在家里也做了一个同样的转盘做实验,转 10 次后共获得购物券 96 元,他说还是不转转盘直接领 取购物券合算,你同意小明的说法吗?请说明理由. 【答案】(1)15 元;(2)选择转动转盘,理由见解析;(3)小明的说法不正确. 【解析】18 解:(1)15%×30+10%×80+25%×10=15 元; (2)选择转动转盘,因为由(1)得转动转盘的平均获取金额为 15 元,不转的情况下,获得的仅为 10 元; 故要选择转一次转盘. (3)小明的说法不正确,当实验次数多时,实验结果更趋近于理论数据,小明转动次数太少,有太大偶然 性. 2.(2017·山东中考模拟)某商场为了吸引顾客,设立了可以自由转动的转盘(如图,转盘被均匀分为 20 份),并规定:顾客每购买 200 元的商品,就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后,指针正好对准 红色、黄色、绿色区域,那么顾客就可以分别获得 200 元、100 元、50 元的购物券,凭购物券可以在该商 场继续购物.如果顾客不愿意转转盘,那么可以直接获得购物券 30 元. (1)求转动一次转盘获得购物券的概率; (2)转转盘和直接获得购物券,你认为哪种方式对顾客更合算? 【答案】(1)P(转动一次转盘获得购物券)= ;(2)选择转转盘对顾客更合算. 【详解】 解:(1)∵转盘被均匀分为 份,转动一次转盘获得购物券的有 种情况,∴转动一次转盘获得购物券 概率= . (2)因为红色概率= ,黄色概率= ,绿色概率= , 元, ∴选择转转盘对顾客更合算. 3.(2018·山东中考模拟)在“五•一”劳动节期间,某商场为吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘 (如图,转盘被平均分成 20 份),并规定:顾客每购物满 200 元,就能获得一次转动转盘的机会.如果转 盘停止后,指针正好对准标有数字的区域(未标数字的视为 0),则顾客就可以分别获得该区域相应数字的 返金券,凭返金券可以在该商场继续购物.若顾客不愿意转转盘,则每购物满 200 元可享受九五折优惠. (1)写出转动一次转盘获得返金券的概率; (2)转转盘和直接享受九五折优惠,你认为哪种方式对顾客更合算?请说明理由. 1 2 20 10 10 1 20 2 = 1 20 3 20 6 3 20 10 = 1 3 6200 100 50 4020 20 20 ∴ × + × + × = 40 30>19 【答案】(1) ;(2)选择转转盘比较合算. 【详解】 (1)∵共有 20 种可能的结果,获得返金券的有 9 种情况, ∴转动一次转盘获得返金券的概率为: ; (2)转盘合算. 理由:∵转转盘:50× +30× +20× =12(元), 直接享受九五折优惠:200×(1﹣95%)=10(元), ∴选择转转盘比较合算. 考查题型九 判断游戏是否公平 1.(2017·浙江中考模拟)小红和小明在操场做游戏,他们先在地上画了半径分别 2m 和 3m 的同心圆(如 图),蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影小红胜,否则小明胜,未掷入圈内不算,你来当裁 判. (1)你认为游戏公平吗?为什么? (2)游戏结束,小明边走边想,“反过来,能否用频率估计概率的方法,来估算某一不规则图形的面积 呢”.请你设计方案,解决这一问题.(要求补充完整图形,说明设计步骤、原理,写出估算公式) 【答案】(1)不公平,理由详见解析;(2)详见解析. 【解析】 解:(1)不公平,理由: 根据几何概率的求法:掷中阴影小红胜的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值;小明胜的概率为小圆 9 20 9 20 1 20 3 20 5 2020 面积与总面积的比值, 而计算可得大圆面积为 9π,小圆面积为 4π.则阴影部分面积为 5π, 则阴影部分面积比小圆面积大. 则小红胜的概率大于小明胜的概率, 所以该游戏是不公平的,对小红有利; (2)能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积. 设计方案:①设计一个面积为 S 的正方形将非规则图形围起来,如图: ②蒙上眼在一定距离外向正方形内掷小石子,掷在正方形外不作记录; ③掷的次数充分大,记录并统计结果,其中掷入正方形内 m 次,n 次掷非规则图形内; ④设非规则图形的面积为 S1,用频率估计概率,即频率 P(掷入非规则图形内)= ≈概率 P(掷入非规则 图形内)= ,解得 S1≈ . 2.(2017·湖南中考模拟)杨华与季红用 5 张同样规格的硬纸片做拼图游戏,正面如图 1 所示,背面完全 一样,将它们背面朝上搅匀后,同时抽出两张.规则如下:当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时, 杨华得 1 分;当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时,季红得 1 分(如图 2).问题:游戏规则对双方 公平吗?请说明理由;若你认为不公平,如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平? 【答案】(1)游戏对双方不公平 (2)改为:当拼成的图形是小人时杨华得 3 分,其余规则不变,就能使游戏对双方公平 【解析】 (1)这个游戏对双方不公平 n m 1S S Sn m21 ∵ ; ; ; , ∴杨华平均每次得分为 (分); 季红平均每次得分为 (分). ∵ < , ∴游戏对双方不公平 (2)改为:当拼成的图形是小人时杨华得 3 分,其余规则不变,就能使游戏对双方公平.(答案不惟一, 其他规则可参照给分) 考查题型十 利用概率解决实际问题 1.(2019·江西中考模拟)我市长途客运站每天 开往某县的三辆班车,票价相同,但车的舒 适程度不同.小张和小王因事需在这一时段乘车去该县,但不知道三辆车开来的顺序.两人采用不同的乘 车方案:小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车,而小王则是先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上 车,而是仔细观察车的舒适状况.若第二辆车的状况比第一辆车好,他就上第二辆车;若第二辆车不如第 一辆车,他就上第三辆车.若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等,请你思考并回答下列问题: (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能? (2)请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大?为什么? 【答案】(1)共 6 种可能;(2)乘坐优等车的可能性大. 【解析】 (1)三辆车按开来的先后顺序有:优、中、差;优、差、中;中、优、差;中、差、优;差、优、中;差、 中、优,共 6 种可能. (2)根据三辆车开来的先后顺序,小张和小王乘车所有可能的情况如下表: 顺序 优,中,差 优,差,中 中,优,差 中,差,优 差,优,中 差,中,优 小张 优 优 中 中 差 差 小王 差 中 优 优 优 中 由表格可知: 小张乘坐优等车的概率是 ,而小王乘坐优等车的概率是 . ( ) 3 10P =拼成电灯 ( ) 1 10P =拼成小人 ( ) 3 10P =拼成房子 ( ) 3 10P =拼成小山 3 1 41 110 10 10 × + × = 3 3 61 110 10 10 × + × = 4 10 6 10 6:30 7 :30− 1 3 1 222 所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大. 2.(2019·山东中考模拟)某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定:顾客购物 100 元以上可 以获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一个区域就获得相应的奖品(指针指向两个扇形 的交线时,当作指向右边的扇形).下表是活动进行中的一组统计数据: 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 (结果保留小数点后两位) 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 (1)转动该转盘一次,获得铅笔的概率约为_______;(结果保留小数点后一位) (2)铅笔每只 0.5 元,饮料每瓶 3 元,经统计该商场每天约有 4000 名顾客参加抽奖活动,请计算该商场 每天需要支出的奖品费用; (3)在(2)的条件下,该商场想把每天支出的奖品费用控制在 3000 元左右,则转盘上“一瓶饮料”区域 的圆心角应调整为______度. 【答案】(1)0.7;(2)该商场每天大致需要支出的奖品费用为 5000 元;(3)36 【详解】 (1)转动该转盘一次,获得铅笔的概率约为 0.7; 故答案为 0.7 (2)4000×0.5×0.7+4000×3×0.3=5000, 所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为 5000 元; (3)设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 n 度, 则 4000×3× +4000×0.5(1﹣ )=3000,解得 n=36, 所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 36 度. m n 360 n 360 n23 故答案为 36. 3.(2018·四川中考模拟)现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持,每位参与者需交赞助费 5 元,活 动规则如下:如图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成 6 个相等的扇形,参与者转动这两个转盘, 转盘停止后,指针各自指向一个数字,(若指针在分格线上,则重转一次,直到指针指向某一数字为止), 若指针最后所指的数字之和为 12,则获得一等奖,奖金 20 元;数字之和为 9,则获得二等奖,奖金 10 元; 数字之和为 7,则获得三等奖,奖金为 5 元;其余均不得奖;此次活动所集到的赞助费除支付获奖人员的奖 金外,其余全部用于资助贫困生的学习和生活; (1)分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率; (2)若此次活动有 2000 人参加,活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生? 【答案】(1)P(一等奖)= ;P(二等奖)= ,P(三等奖)= ;(2)5000 元赞助费用于资助贫困 生. 【解析】 详解:列表得: 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴一共有 36 种情况,此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的分别有 1,4,6 种情况, ∴(1)P(一等奖)= ;P(二等奖)= ,P(三等奖)= ; (2)( ×20+ ×10+ ×5)×2000=5000, 1 36 1 9 1 6 1 36 1 9 1 6 1 36 1 9 1 624 5×2000﹣5000=5000, ∴活动结束后至少有 5000 元赞助费用于资助贫困生. 查看更多

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