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资料简介
1
专题 04 实数
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 平方根
算术平方根概念：一般的如果一个正数 x 的平方等于 a，即x2 = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。
算术平方根的表示方法：非负数 a 的算术平方根记作 a，读作根号 a，其中 a 是被开方数。
平方根概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2 = a，那么 x 叫做 a
的平方根。
平方根的性质与表示：
表示：正数 a 的平方根用 ± a表示， a叫做正平方根，也称为算术平方根， - a叫做 a 的负平方根。
性质：一个正数有两个平方根： ± a （根指数 2 省略）且他们互为相反数。
0 有一个平方根，为 0，记作 0 = 0
负数没有平方根2
平方根与算术平方根的区别与联系：
1．（2017·甘肃中考模拟）正数 9 的平方根是( )
A．3 B．±3 C． D．
【答案】B
【详解】因为 3 的平方都等于 9，所以答案为 B
2．（2016·山东中考模拟）81 的算术平方根是（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【答案】A
【解析】
试题解析：∵92=81，
∴81 的算术平方根是 9．
故选 A．
3．（2018·江苏中考模拟）9 的算术平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
【答案】C
【解析】
试题分析：9 的算术平方根是 3．故选 C．
4．（2019·宁波市慈湖中学中考模拟） 的平方根是( )
A．﹣4 B．±2 C．±4 D．4
【答案】B
3 ± 3
±
3
163
【详解】∵42＝16，
∴ ＝4，
∴ 的平方根是±2,
故选 B．
5．（2018·河南中考模拟） 的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵ =2，
而 2 的算术平方根是 ，
∴ 的算术平方根是 ，
故选 B．
6．（2019·浙江中考模拟） 的算术平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【答案】C
【详解】 ＝4，
4 的算术平方根是 2，
所以 的算术平方根是 2，
故选 C．
7．（2019·四川中考模拟） 的算术平方根是（ ）
A．9 B．±9 C．±3 D．3
【答案】D
【详解】∵ =9，
又∵（±3）2=9，
∴9 的平方根是±3，
∴9 的算术平方根是 3．
16
16
4
2± 2 2± 2
4
2
4 2
16
16
16
81
814
即 的算术平方根是 3．
故选:D．
8．（2019·黑龙江中考模拟） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
详解： ＝ ，
故选：A.
9．（2017·江苏中考真题）若方程 的两根为 和 ，且 ，则下列结论中正确的是 （ ）
A． 是 19 的算术平方根 B． 是 19 的平方根
C． 是 19 的算术平方根 D． 是 19 的平方根
【答案】C
【解析】
试题分析：根据平方根的意义，可知 x-5 是 19 的一个平方根，由 a＞b，可知 a-5 是 19 的算术平方根，b-5
是其负的平方根.
故选：C
考查题型一 利用算术平方根的非负性解题
1．（2015·内蒙古中考真题）若 则 的值是（ ）
A．2 B 、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选 B．
2．（2016·山西中考模拟）若(m−1)2+ ＝0，则 m＋n 的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
81
9
4
3
2
3
2
− 3
2
± 81
16
9
4
3
2
3 2 0,a b− + + = +a b
1−
2n +5
【详解】∵(m−1)2+ ＝0，
∴m−1=0，n+2=0；
∴m=1，n=−2，
∴m+n=1+(−2)=−1
故选：A.
3．（2018·山东中考模拟）已知 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．2 或 12 B．2 或 C． 或 12 D． 或
【答案】A
【解析】
根据 =5， =7，得 ，因为 ，则 ，则 =5+7=12 或
-5+7=2.
故选 A.
考查题型二 利用平方根的性质解题
1．（2019·南票区九龙街道初级中学中考模拟）若 a2＝4，b2＝9，且 ab＜0，则 a﹣b 的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
【答案】B
【解析】
∵a2=4,b2=9，
∴a=±2，b=±3，
∵ab a b>
2a b= a b= a b= a b=6
【答案】D
【详解】解：A 也可能是 a=-b，故 A 错误；B， 只能说明|a|＞b，故 B 错误；
C，a，b 也可能互为相反数；D，都表示算术平方根，故 D 正确；
3．（2018·江苏中考模拟）如果 a，b 分别是 2016 的两个平方根，那么 a+b﹣ab=___．
【答案】2016
【详解】∵a，b 分别是 2016 的两个平方根，
∴
∵a，b 分别是 2016 的两个平方根，
∴a+b=0，
∴ab=a×（﹣a）=﹣a2=﹣2016，
∴a+b﹣ab=0﹣（﹣2016）=2016，
故答案为：2016．
知识点二 立方根和开立方
立方根概念：如果一个数的立方等于a，即x3 = a，那么 x 叫做a的立方根或三次方根，
表示方法：数 a 的立方根记作3 a，读作三次根号 a
立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的
立方根是０.
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开平方的表示：(3 a)3 = a 3 a3 = a 3 -a = - 3 a （a 取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
注意:０的平方根和立方根都是０本身。
n次方根(扩展)
概念：如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个： ± n a；０的偶次方根为０：n 0 = 0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
1．（2019·江苏中考模拟）﹣8 的立方根是( )
A．±2 B．2 C．﹣2 D．24
2 2a b>
2016 2016a b= = −， ，7
【答案】C
【详解】∵23=8，
∴8 的立方根是 2，
故选 B．
2．（2018·湖南中考真题）下列各式中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A.原式=3，不符合题意；
B.原式=|-3|=3，不符合题意；
C.原式不能化简，不符合题意；
D.原式=2 - = ，符合题意，
故选 D．
3．（2011·山东中考模拟） 的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【详解】 的相反数是- =2
故选 B.
4．（2019·山东中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A. ，故此选项错误；
B. ，故此选项错误；
C. ，故此选项错误；
D. ，正确．
故选：D．
( )
9 3= ± ( )23 3− = −
3 9 3= 12 3 3− =
3 3 3
3 8−
3 8− 3 8−
2( 3) 3− = − 3 35 5− = 36= 6± 0.36=-0.6−
2( 3) 3− =
3 35 5− = −
36 6=
0.36 0.6− = −8
5．（2019·湖南中考模拟）下列说法正确的是（ ）
A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根
C．无理数都是开不尽的方根数 D．无理数都是无限小数
【答案】D
【详解】（1）由平方根的性质可以得知，负有理数没有平方根，0 的平方根是 0，∴A 错误．
（2）∵任何实数都有立方根，∴B 答案错误．
（3）∵无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数，∴C 答案错误． ∴D 答案正确．
故选 D．
6．（2019·浙江中考模拟）下列计算正确的是（ ）
A． =﹣4 B． =±4 C． =﹣4 D． =﹣4
【答案】D
【解析】
根据二次根式的意义，可知被开方数为非负数，因此 A 不正确；根据算术平方根是平方根中带正号的，故 B
不正确；根据二次根式的性质 可知 =4，故 C 不正确；根据立方根的意义
可知 =-4，故 D 正确.
故选 D
7．（2013·广东中考模拟）一个立方体的体积为 64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．2
【答案】D
【解析】
∵立方体的体积为 64，
∴它的棱长= ，
∴它的棱长的平方根为： .
故选 D.
8．（2019·来宾市第四中学中考模拟）下列说法①﹣5 的绝对值是 5；②﹣1 的相反数是 1；③0 的倒数是
0；④64 的立方根是±4，⑤ 是无理数，⑥4 的算术平方根是 2，其中正确的个数为（ ）
16− 16 2( 4)− 33 ( 4)−
2 {0
a
a a
a
= =
−
( 0)
( 0)
( 0)
a
a
a
=
＞
＜
( )24−
( )33 4−
3 64=4
2±
1
39
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】①﹣5 的绝对值是 5，正确；②﹣1 的相反数是 1，正确；③0 没有倒数，错误；④64 的立方根是
4，错误，⑤ 不是无理数，是有理数，错误，⑥4 的算术平方根是 2，正确，
故选 B．
考查提醒三 利用立方根的性质解题
1．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．－2 与 B．－2 与 C．2 与（- ）2 D．|- |与
【答案】A
【解析】
选项 A. －2 与 =2，
选项 B. －2 与 =-2，
选项 C. 2 与（- ）2=2,
选项 D. |- |= 与 ,
故选 A.
2.（2018·福建中考模拟）若实数 满足 ，则 的立方根为__________．
【答案】
【详解】由题意得：2x-3=0，9+4y=0，
解得：x= ，y= ，
∴xy= ，
∴xy 的立方根是 ，
故答案为： .
考查题型四 立方根、算术平方根、平方根的综合
1．（2018·合肥市第四十五中学初一期中）已知 a+3 和 2a﹣15 是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c
算术平方根是其本身，求 2a+b﹣3c 的值．
1
3
2（- 2) 3 8− 2 2 2
22)−（
3 8−
2
2 2 2
x y， 2(2 3) 9 4 0x y− + + = xy
3
2
−
3
2
9
4
−
27
8
−
3
2
−
3
2
−10
【答案】当 a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝0；当 a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝﹣3．
【详解】∵某正数的两个平方根分别是 a+3 和 2a﹣15，b 的立方根是﹣2．c 算术平方根是其本身
∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，c＝0 或 1，
解得 a＝4．
当 a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣0＝0；
当 a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣3＝﹣3．
2．已知3x + 1的算术平方根是 4，x + y - 17的立方根是 -2，求x + y的平方根．
【答案】 ± 3
【详解】根据题意得：3x +1 = 16，x + y -17 = -8，
解得：x = 5，y = 4，
则x + y = 4 + 5 = 9，9 的平方根为 ± 3．
所以x + y的平方根为 ± 3．
3.已知 的算术平方根足 ， 的立方根是 ，求 的平方根．
【答案】±
【详解】解：由题意得：2a-1=9，3a+b-1=8，
解得：a=5，b=-6，
则 a-2b=5-2×(-6)=17，17 的平方根是±
4.已知 a+1 的算术平方根是 1，﹣27 的立方根是 b﹣12，c﹣3 的平方根是±2，求 a+b+c 的平方根．
【答案】±4．
【详解】解：∵a+1 的算术平方根是 1，
∴a+1=1，即 a=0；
∵﹣27 的立方根是 b﹣12，
∴b﹣12=﹣3，即 b=9；
∵c﹣3 的平方根是±2，
∴c﹣3=4，即 c=7；
∴a+b+c=0+9+7=16，
则 a+b+c 的平方根是±4．
5．（2019·贵州省毕节梁才学校初二期中）已知 是 49 的算术平方根， 的立方根是 2，求
2 1a − 3 3 1a b+ − 2 2a b−
17
17
2x + 2 10x y− +11
的平方根．
【答案】±13．
【详解】解：∵x+2 是 49 的算术平方根，
∴x+2=7，
解得 x=5，
∵ 的立方根是 2，
∴ =8，
解得 y=12，
∴ = =169，
∵（±13）2=169，
∴ 的平方根是±13．
知识点三 实数
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数概念：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示
一个实数．
2的画法：画边长为 1 的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
2 2x y+
2 10x y− +
2 10x y− +
2 2x y+ 2 25 12+
2 2x y+12
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法 2）根号法 3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数 a 的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即 a≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0
1．（2019·四川中考模拟）下列实数 0， ， ，π，其中，无理数共有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【详解】解：无理数有： ， .
故选 B.
2．（2013·贵州中考真题）下列各数中，3.14159， - 3 8，0.131131113 ⋅⋅⋅ ， - π， 25， - 1
7，无理
数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【解析】
试题分析：无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数，因此，由定义可知无理数有：0.131131113…，
﹣π，共两个。故选 B。
3．（2018·山东中考真题）下列各数：-2，0， ，0.020020002…， ， ，其中无理数的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
2
2
3 3
3 π
1
3
π 913
【解析】
是有理数，0 是有理数， 是有理数，0.020020002…是无理数， 是无理数， 是有理数，所以无理
数有 2 个，故选 C.
4．（2019·山东中考模拟）在实数 ， ，π﹣2， ，0.121 221 222 1…（两个”1”之间依次多
一个“2”）中，有理数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【详解】 ， =-3 是有理数；
，π﹣2，0.121 221 222 1…（两个”1”之间依次多一个“2”）是无理数.
故选 B.
5．（2018·贵州中考模拟）下列说法：
① ；
②数轴上的点与实数成一一对应关系；
③﹣2 是 的平方根；
④任何实数不是有理数就是无理数；
⑤两个无理数的和还是无理数；
⑥无理数都是无限小数，
其中正确的个数有( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
【详解】①∵ ，∴ 是错误的；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③∵ ＝4，故-2 是 的平方根，故说法正确；
④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和还是无理数，如 和 是错误的；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确；
2− 1
3
π 9
5 22
7
3 27−
22
7
3 27−
5
( )210 10− = −
16
( )210 10− = ( )210 10− = −
16 16
2 2−14
故正确的是②③④⑥共 4 个；
故选 C.
6．（2018·四川中考模拟） 的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣
【答案】A
【解析】
的相反数是 ，即 2.
故选 A.
7．（2018·山东中考模拟）1﹣ 的相反数是（ ）
A．1﹣ B． ﹣1 C． D．﹣1
【答案】B
【详解】根据 a 的相反数为-a 即可得，1﹣ 的相反数是 ﹣1.
故选 B.
8．（2018·黑龙江中考模拟）实数 的绝对值是
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】解： =
故选 B.
9．（2018·四川中考模拟） 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵ ，
∴ .
2( 2)−
2
( )2
2− ( )2
2
2
2 2 2
2 2
3− ( )
3 3− 3
3
−
3− 3
3 2−
3 2− 3 2+ 2 3− 3 2− −
3 2 0− <
( )3 2 = 3 2 =2 3− − − −15
故选 C.
考查题型五 实数与数轴上的点的对应关系的应用方法
1．（2013·湖北中考模拟）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果
为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
【答案】C
【解析】
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴ .
故选 C．
2．（2013·广西中考模拟）如图，数轴上点 P 表示的数可能是（ ）.
A． 10 B． 5 C． 3 D． 2
【答案】B
【详解】由图象可知，2＜p＜3．
∵ 5 ≈ 2.236，∴数轴上点 P 表示的数可能是 5．
故选 B．
3．（2018·天津中考模拟）在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数分别是
和﹣1，则点 C 所对应的实数是( )
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1 D．2 +1
【答案】D
【详解】设点 C 所对应的实数是 x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，解得 .
2a a b− +
( )2a a b a a b b− + = − + + =
3
3 3 3 3
( )x 3= 3 1− − − x=2 3+116
故选 D.
考查题型六 实数大小比较
1．（2018·湖南中考模拟） 、 、5 三个数的大小关系是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【详解】这一组数据可化为 、 、 ．
∵27＞25＞24，∴ ＞ ＞ ，即 2 ＜5＜ ．
故选 A．
2.（2018·天津中考模拟）比较 的大小，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵2 ，∴2 ；
∵ ，∴ ，∴ ．
故选 A．
3．（2019·天津中考模拟）若 ， ， 则下列关系正确的为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵25c，
故选 C.
考查题型七 无理数估算方法
1.（2019·辽宁中考模拟）估计 5 ﹣ 的值应在（ ）
A．5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间
【答案】C
【详解】5 ﹣ = ，
∵49
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