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1 专题 04 实数 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 平方根 算术平方根概念:一般的如果一个正数 x 的平方等于 a,即x2 = a,那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 算术平方根的表示方法:非负数 a 的算术平方根记作 a,读作根号 a,其中 a 是被开方数。 平方根概念:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根或二次方根,即如果x2 = a,那么 x 叫做 a 的平方根。 平方根的性质与表示: 表示:正数 a 的平方根用 ± a表示, a叫做正平方根,也称为算术平方根, - a叫做 a 的负平方根。 性质:一个正数有两个平方根: ± a (根指数 2 省略)且他们互为相反数。 0 有一个平方根,为 0,记作 0 = 0 负数没有平方根2 平方根与算术平方根的区别与联系: 1.(2017·甘肃中考模拟)正数 9 的平方根是( ) A.3 B.±3 C. D. 【答案】B 【详解】因为 3 的平方都等于 9,所以答案为 B 2.(2016·山东中考模拟)81 的算术平方根是( ) A.9 B.±9 C.3 D.±3 【答案】A 【解析】 试题解析:∵92=81, ∴81 的算术平方根是 9. 故选 A. 3.(2018·江苏中考模拟)9 的算术平方根是( ) A.﹣3 B.±3 C.3 D. 【答案】C 【解析】 试题分析:9 的算术平方根是 3.故选 C. 4.(2019·宁波市慈湖中学中考模拟) 的平方根是(  ) A.﹣4 B.±2 C.±4 D.4 【答案】B 3 ± 3 ± 3 163 【详解】∵42=16, ∴ =4, ∴ 的平方根是±2, 故选 B. 5.(2018·河南中考模拟) 的算术平方根为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵ =2, 而 2 的算术平方根是 , ∴ 的算术平方根是 , 故选 B. 6.(2019·浙江中考模拟) 的算术平方根是(  ) A.4 B.±4 C.2 D.±2 【答案】C 【详解】 =4, 4 的算术平方根是 2, 所以 的算术平方根是 2, 故选 C. 7.(2019·四川中考模拟) 的算术平方根是( ) A.9 B.±9 C.±3 D.3 【答案】D 【详解】∵ =9, 又∵(±3)2=9, ∴9 的平方根是±3, ∴9 的算术平方根是 3. 16 16 4 2± 2 2± 2 4 2 4 2 16 16 16 81 814 即 的算术平方根是 3. 故选:D. 8.(2019·黑龙江中考模拟) 的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 详解: = , 故选:A. 9.(2017·江苏中考真题)若方程 的两根为 和 ,且 ,则下列结论中正确的是 ( ) A. 是 19 的算术平方根 B. 是 19 的平方根 C. 是 19 的算术平方根 D. 是 19 的平方根 【答案】C 【解析】 试题分析:根据平方根的意义,可知 x-5 是 19 的一个平方根,由 a>b,可知 a-5 是 19 的算术平方根,b-5 是其负的平方根. 故选:C 考查题型一 利用算术平方根的非负性解题 1.(2015·内蒙古中考真题)若 则 的值是( ) A.2 B 、1 C、0 D、 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意得,3﹣a=0,2+b=0,解得,a=3,b=﹣2,a+b=1,故选 B. 2.(2016·山西中考模拟)若(m−1)2+ =0,则 m+n 的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 81 9 4 3 2 3 2 − 3 2 ± 81 16 9 4 3 2 3 2 0,a b− + + = +a b 1− 2n +5 【详解】∵(m−1)2+ =0, ∴m−1=0,n+2=0; ∴m=1,n=−2, ∴m+n=1+(−2)=−1 故选:A. 3.(2018·山东中考模拟)已知 , ,且 ,则 的值为( ) A.2 或 12 B.2 或 C. 或 12 D. 或 【答案】A 【解析】 根据 =5, =7,得 ,因为 ,则 ,则 =5+7=12 或 -5+7=2. 故选 A. 考查题型二 利用平方根的性质解题 1.(2019·南票区九龙街道初级中学中考模拟)若 a2=4,b2=9,且 ab<0,则 a﹣b 的值为(  ) A.﹣2 B.±5 C.5 D.﹣5 【答案】B 【解析】 ∵a2=4,b2=9, ∴a=±2,b=±3, ∵ab a b> 2a b= a b= a b= a b=6 【答案】D 【详解】解:A 也可能是 a=-b,故 A 错误;B, 只能说明|a|>b,故 B 错误; C,a,b 也可能互为相反数;D,都表示算术平方根,故 D 正确; 3.(2018·江苏中考模拟)如果 a,b 分别是 2016 的两个平方根,那么 a+b﹣ab=___. 【答案】2016 【详解】∵a,b 分别是 2016 的两个平方根, ∴ ∵a,b 分别是 2016 的两个平方根, ∴a+b=0, ∴ab=a×(﹣a)=﹣a2=﹣2016, ∴a+b﹣ab=0﹣(﹣2016)=2016, 故答案为:2016. 知识点二 立方根和开立方 立方根概念:如果一个数的立方等于a,即x3 = a,那么 x 叫做a的立方根或三次方根, 表示方法:数 a 的立方根记作3 a,读作三次根号 a 立方根的性质:任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的 立方根是0. 开立方概念:求一个数的立方根的运算。 开平方的表示:(3 a)3 = a 3 a3 = a 3 -a = - 3 a (a 取任何数) 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 注意:0的平方根和立方根都是0本身。 n次方根(扩展) 概念:如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数就叫做a的n次方根。 当n为奇数时,这个数叫做a的奇次方根。 当n为偶数时,这个数叫做a的偶次方根。 性质: 正数的偶次方根有两个: ± n a;0的偶次方根为0:n 0 = 0;负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。 1.(2019·江苏中考模拟)﹣8 的立方根是( ) A.±2 B.2 C.﹣2 D.24 2 2a b> 2016 2016a b= = −, ,7 【答案】C 【详解】∵23=8, ∴8 的立方根是 2, 故选 B. 2.(2018·湖南中考真题)下列各式中正确的是    A. B. C. D. 【答案】D 【详解】A.原式=3,不符合题意; B.原式=|-3|=3,不符合题意; C.原式不能化简,不符合题意; D.原式=2 - = ,符合题意, 故选 D. 3.(2011·山东中考模拟) 的相反数是(  ) A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4 【答案】B 【详解】 的相反数是- =2 故选 B. 4.(2019·山东中考真题)下列计算正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解:A. ,故此选项错误; B. ,故此选项错误; C. ,故此选项错误; D. ,正确. 故选:D. ( ) 9 3= ± ( )23 3− = − 3 9 3= 12 3 3− = 3 3 3 3 8− 3 8− 3 8− 2( 3) 3− = − 3 35 5− = 36= 6± 0.36=-0.6− 2( 3) 3− = 3 35 5− = − 36 6= 0.36 0.6− = −8 5.(2019·湖南中考模拟)下列说法正确的是( ) A.一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数 B.负数没有立方根 C.无理数都是开不尽的方根数 D.无理数都是无限小数 【答案】D 【详解】(1)由平方根的性质可以得知,负有理数没有平方根,0 的平方根是 0,∴A 错误. (2)∵任何实数都有立方根,∴B 答案错误. (3)∵无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数,∴C 答案错误. ∴D 答案正确. 故选 D. 6.(2019·浙江中考模拟)下列计算正确的是( ) A. =﹣4 B. =±4 C. =﹣4 D. =﹣4 【答案】D 【解析】 根据二次根式的意义,可知被开方数为非负数,因此 A 不正确;根据算术平方根是平方根中带正号的,故 B 不正确;根据二次根式的性质 可知 =4,故 C 不正确;根据立方根的意义 可知 =-4,故 D 正确. 故选 D 7.(2013·广东中考模拟)一个立方体的体积为 64,则这个立方体的棱长的算术平方根为( ) A.±4 B.4 C.±2 D.2 【答案】D 【解析】 ∵立方体的体积为 64, ∴它的棱长= , ∴它的棱长的平方根为: . 故选 D. 8.(2019·来宾市第四中学中考模拟)下列说法①﹣5 的绝对值是 5;②﹣1 的相反数是 1;③0 的倒数是 0;④64 的立方根是±4,⑤ 是无理数,⑥4 的算术平方根是 2,其中正确的个数为(  ) 16− 16 2( 4)− 33 ( 4)− 2 {0 a a a a = = − ( 0) ( 0) ( 0) a a a = > < ( )24− ( )33 4− 3 64=4 2± 1 39 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【详解】①﹣5 的绝对值是 5,正确;②﹣1 的相反数是 1,正确;③0 没有倒数,错误;④64 的立方根是 4,错误,⑤ 不是无理数,是有理数,错误,⑥4 的算术平方根是 2,正确, 故选 B. 考查提醒三 利用立方根的性质解题 1.下列各组数中互为相反数的是( ) A.-2 与 B.-2 与 C.2 与(- )2 D.|- |与 【答案】A 【解析】 选项 A. -2 与 =2, 选项 B. -2 与 =-2, 选项 C. 2 与(- )2=2, 选项 D. |- |= 与 , 故选 A. 2.(2018·福建中考模拟)若实数 满足 ,则 的立方根为__________. 【答案】 【详解】由题意得:2x-3=0,9+4y=0, 解得:x= ,y= , ∴xy= , ∴xy 的立方根是 , 故答案为: . 考查题型四 立方根、算术平方根、平方根的综合 1.(2018·合肥市第四十五中学初一期中)已知 a+3 和 2a﹣15 是某正数的两个平方根,b 的立方根是﹣2,c 算术平方根是其本身,求 2a+b﹣3c 的值. 1 3 2(- 2) 3 8− 2 2 2 22)−( 3 8− 2 2 2 2 x y, 2(2 3) 9 4 0x y− + + = xy 3 2 − 3 2 9 4 − 27 8 − 3 2 − 3 2 −10 【答案】当 a=4,b=﹣8,c=0,2a+b﹣3c=0;当 a=4,b=﹣8,c=1,2a+b﹣3c=﹣3. 【详解】∵某正数的两个平方根分别是 a+3 和 2a﹣15,b 的立方根是﹣2.c 算术平方根是其本身 ∴a+3+2a﹣15=0,b=﹣8,c=0 或 1, 解得 a=4. 当 a=4,b=﹣8,c=0,2a+b﹣3c=8﹣8﹣0=0; 当 a=4,b=﹣8,c=1,2a+b﹣3c=8﹣8﹣3=﹣3. 2.已知3x + 1的算术平方根是 4,x + y - 17的立方根是 -2,求x + y的平方根. 【答案】 ± 3 【详解】根据题意得:3x +1 = 16,x + y -17 = -8, 解得:x = 5,y = 4, 则x + y = 4 + 5 = 9,9 的平方根为 ± 3. 所以x + y的平方根为 ± 3. 3.已知 的算术平方根足 , 的立方根是 ,求 的平方根. 【答案】± 【详解】解:由题意得:2a-1=9,3a+b-1=8, 解得:a=5,b=-6, 则 a-2b=5-2×(-6)=17,17 的平方根是± 4.已知 a+1 的算术平方根是 1,﹣27 的立方根是 b﹣12,c﹣3 的平方根是±2,求 a+b+c 的平方根. 【答案】±4. 【详解】解:∵a+1 的算术平方根是 1, ∴a+1=1,即 a=0; ∵﹣27 的立方根是 b﹣12, ∴b﹣12=﹣3,即 b=9; ∵c﹣3 的平方根是±2, ∴c﹣3=4,即 c=7; ∴a+b+c=0+9+7=16, 则 a+b+c 的平方根是±4. 5.(2019·贵州省毕节梁才学校初二期中)已知 是 49 的算术平方根, 的立方根是 2,求 2 1a − 3 3 1a b+ − 2 2a b− 17 17 2x + 2 10x y− +11 的平方根. 【答案】±13. 【详解】解:∵x+2 是 49 的算术平方根, ∴x+2=7, 解得 x=5, ∵ 的立方根是 2, ∴ =8, 解得 y=12, ∴ = =169, ∵(±13)2=169, ∴ 的平方根是±13. 知识点三 实数 无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数。 实数概念:有理数和无理数统称为实数 实数的分类: 1.按属性分类: 2.按符号分类 实数和数轴上的点的对应关系(重点): 实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示 一个实数. 2的画法:画边长为 1 的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况: 2 2x y+ 2 10x y− + 2 10x y− + 2 2x y+ 2 25 12+ 2 2x y+12 1.尺规可作的无理数,如 2.尺规不可作的无理数 ,只能近似地表示,如π,1.010010001…… 实数大小比较的方法(常用):1)平方法 2)根号法 3)求差法 实数的三个非负性及性质: 1.在实数范围内,正数和零统称为非负数。 2.非负数有三种形式 ①任何一个实数 a 的绝对值是非负数,即|a|≥0; ②任何一个实数 a 的平方是非负数,即a2≥0; ③任何非负数的算术平方根是非负数,即 a≥0 3.非负数具有以下性质 ①非负数有最小值零; ②非负数之和仍是非负数; ③几个非负数之和等于 0,则每个非负数都等于 0 1.(2019·四川中考模拟)下列实数 0, , ,π,其中,无理数共有(  ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 【详解】解:无理数有: , . 故选 B. 2.(2013·贵州中考真题)下列各数中,3.14159, - 3 8,0.131131113 ⋅⋅⋅ , - π, 25, - 1 7,无理 数的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 【解析】 试题分析:无限不循环小数为无理数,由此可得出无理数的个数,因此,由定义可知无理数有:0.131131113…, ﹣π,共两个。故选 B。 3.(2018·山东中考真题)下列各数:-2,0, ,0.020020002…, , ,其中无理数的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 2 2 3 3 3 π 1 3 π 913 【解析】 是有理数,0 是有理数, 是有理数,0.020020002…是无理数, 是无理数, 是有理数,所以无理 数有 2 个,故选 C. 4.(2019·山东中考模拟)在实数 , ,π﹣2, ,0.121 221 222 1…(两个”1”之间依次多 一个“2”)中,有理数有(  ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 【详解】 , =-3 是有理数; ,π﹣2,0.121 221 222 1…(两个”1”之间依次多一个“2”)是无理数. 故选 B. 5.(2018·贵州中考模拟)下列说法: ① ; ②数轴上的点与实数成一一对应关系; ③﹣2 是 的平方根; ④任何实数不是有理数就是无理数; ⑤两个无理数的和还是无理数; ⑥无理数都是无限小数, 其中正确的个数有(  ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】C 【详解】①∵ ,∴ 是错误的; ②数轴上的点与实数成一一对应关系,故说法正确; ③∵ =4,故-2 是 的平方根,故说法正确; ④任何实数不是有理数就是无理数,故说法正确; ⑤两个无理数的和还是无理数,如 和 是错误的; ⑥无理数都是无限小数,故说法正确; 2− 1 3 π 9 5 22 7 3 27− 22 7 3 27− 5 ( )210 10− = − 16 ( )210 10− = ( )210 10− = − 16 16 2 2−14 故正确的是②③④⑥共 4 个; 故选 C. 6.(2018·四川中考模拟) 的相反数是(  ) A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣ 【答案】A 【解析】 的相反数是 ,即 2. 故选 A. 7.(2018·山东中考模拟)1﹣ 的相反数是(  ) A.1﹣ B. ﹣1 C. D.﹣1 【答案】B 【详解】根据 a 的相反数为-a 即可得,1﹣ 的相反数是 ﹣1. 故选 B. 8.(2018·黑龙江中考模拟)实数 的绝对值是    A.3 B. C. D. 【答案】B 【详解】解: = 故选 B. 9.(2018·四川中考模拟) 的绝对值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ∵ , ∴ . 2( 2)− 2 ( )2 2− ( )2 2 2 2 2 2 2 2 3− ( ) 3 3− 3 3 − 3− 3 3 2− 3 2− 3 2+ 2 3− 3 2− − 3 2 0− < ( )3 2 = 3 2 =2 3− − − −15 故选 C. 考查题型五 实数与数轴上的点的对应关系的应用方法 1.(2013·湖北中考模拟)实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则化简 的结果 为( ) A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b 【答案】C 【解析】 ∵由数轴可知,b>0>a,且 |a|>|b|, ∴ . 故选 C. 2.(2013·广西中考模拟)如图,数轴上点 P 表示的数可能是(  ). A. 10 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】B 【详解】由图象可知,2<p<3. ∵ 5 ≈ 2.236,∴数轴上点 P 表示的数可能是 5. 故选 B. 3.(2018·天津中考模拟)在如图所示的数轴上,点 B 与点 C 关于点 A 对称,A、B 两点对应的实数分别是 和﹣1,则点 C 所对应的实数是( ) A.1+ B.2+ C.2 ﹣1 D.2 +1 【答案】D 【详解】设点 C 所对应的实数是 x.根据中心对称的性质,对称点到对称中心的距离相等,则有 ,解得 . 2a a b− + ( )2a a b a a b b− + = − + + = 3 3 3 3 3 ( )x 3= 3 1− − − x=2 3+116 故选 D. 考查题型六 实数大小比较 1.(2018·湖南中考模拟) 、 、5 三个数的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】这一组数据可化为 、 、 . ∵27>25>24,∴ > > ,即 2 <5< . 故选 A. 2.(2018·天津中考模拟)比较 的大小,正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】∵2 ,∴2 ; ∵ ,∴ ,∴ . 故选 A. 3.(2019·天津中考模拟)若 , , 则下列关系正确的为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】∵25c, 故选 C. 考查题型七 无理数估算方法 1.(2019·辽宁中考模拟)估计 5 ﹣ 的值应在(  ) A.5 和 6 之间 B.6 和 7 之间 C.7 和 8 之间 D.8 和 9 之间 【答案】C 【详解】5 ﹣ = , ∵49 查看更多

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