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资料简介
1
专题 23 圆
考点总结
【思维导图】2
【知识要点】
知识点一 与圆有关的概念
圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆 O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴ 圆心；
⑵ 半径，
⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作弧 AB．在同圆或等
圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．3
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做
三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合.
3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图 1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形
外接圆半径等于斜边的一半，如图 2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图 3）.
圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
弓形与扇形
弓形的概念：由弦及其所对的弧组成的图形。
扇形的概念：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
【典型例题】
1．（2018·陆丰市民声学校中考模拟）如图，AB 是⊙O 直径，点 C，D 在⊙O 上，OD∥AC，下列结论错误的
是（ ）
图3图2图1
O
CB
A
O CB
A
O
CB
A4
A．∠BOD=∠BAC B．∠BAD=∠CAD
C．∠C=∠D D．∠BOD=∠COD
【答案】C
【详解】∵OD//AC，
∴∠BOD=∠BAC、∠D=∠CAD、∠C=∠COD，故 A 选项正确，
∵OA=OD，
∴∠D=∠BAD，∴∠BAD=∠CAD，故 B 选项正确，
∵OA=OC，∴∠BAD=∠C，∴∠BOD=∠COD，故 D 选项正确，
由已知条件无法得出∠C=∠D，故 C 选项错误，
故选 C.
2．（2018·北京中考模拟）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的
说法有（ ）
A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种
【答案】B
【详解】
圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所
以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说
法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选：B．5
3．（2018·上海中考模拟）下列说法中，正确的个数共有（ ）
（1）一个三角形只有一个外接圆；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【详解】
（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；
故选：C．
4．（2018·湖北中考模拟）有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对
的弧相等；④圆中 90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【解析】试题解析：
同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧，所以长度相等，故正确；
连接圆上任意两点的线段叫做弦，所以直径是最长的弦，故正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
圆中 90°圆周角所对的弦是直径，故错误；
弦所对的圆周角可在圆心一侧，也可在另一侧，这两个圆周角互补，但不一定相等，所以同圆中等弦所对
的圆周角也不一定相等，故错误.
综上所述，正确的结论有 2 个，故应选 B.
5．（2017·广东中考模拟）如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD 的度数为
（ ）6
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：∵在⊙O 中，AB 为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=∠ACD=40°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=50°．
故选 D．
【考查题型汇总】
考查题型一 利用圆的半径相等进行相关计算
1．（2019·浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，A、C、B 是⊙O 上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC 的度数
是（ ）．
A．10° B．20° C．40° D．80°
【答案】B
【解析】
根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,所以∠ACB 的度数等于∠AOB 的一半,故选 B
2．（2018·黑龙江中考模拟）如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠AOC=140°，则∠B 的度数是（ ）
A．70° B．80° C．110° D．140°
40 45 60 507
【答案】C
【解析】
详解：作AC对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P=1
2∠AOC=1
2×140°=70°
∵∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C．
3．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，则下列结论中正确的是
A．AC=AB B．∠C=1
2∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD
【答案】B
【详解】
解：∵直径 CD⊥弦 AB，
∴弧 AD =弧 BD，
∴∠C=1
2∠BOD．
故选 B．
4．（2018·贵州中考模拟）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为 4，则 AC 的长等于（ ）
( )8
A．4 3 B．6 3 C．2 3 D．8
【答案】A
【解析】
试题解析：连接 OA，OC，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=1
2∠AOC，
∴∠COD=∠B=60°；
在 Rt△COD 中，OC=4，∠COD=60°，
∴CD= 3
2 OC=2 3，
∴AC=2CD=4 3．
故选 A．
5．（2019·云南中考模拟）如图，已知：在⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC 的度数为（ ）
A．70° B．45° C．35° D．30°
【答案】C
【详解】
解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，
∴ =AC，AB9
∴∠ADC=1
2∠AOB=35°．
故选 C．
6．（2019·广西中考模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A、B 除外），∠AOD＝136°，则∠C
的度数是（ ）
A．44° B．22° C．46° D．36°
【答案】B
【详解】
∵∠AOD＝136°，∴∠BOD＝44°，∴∠C＝22°，故选：B．
考查题型二 圆心角与圆周角的关系解题
1．（2019·武汉市第四十六中学中考模拟）如图，BE 是⊙O 的直径，半径 OA⊥弦 BC，点 D 为垂足，连 AE、
EC．
（1）若∠AEC＝28°，求∠AOB 的度数；
（2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O 的半径．
【答案】（1）56∘．（2）3.
【详解】
解：(1)连接 OC．10
∵ 半径OA ⊥ 弦 BC，
∴ AC = AB，
∴ ∠AOC = ∠AOB，
∵ ∠AOC = 2∠AEC = 56∘，
∴ ∠AOB = 56∘．
(2) ∵ BE是 ⊙ O的直径，
∴ ∠ECB = 90∘，
∵ AC = AB
∴ ∠AEC = ∠BEA，
∵ ∠BEA = ∠B，
∴ ∠B = ∠AEB = ∠AEC
∵ ∠B + ∠AEB + ∠AEC = 180∘，
∴ ∠B = ∠AEB = ∠AEC = 30∘，
∵ EC = 3，
∴ EB = 2EC = 6，
∴⊙ O的半径为 3．
2．（2018·吉林中考模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是 AB 延长线上的点，CD 与⊙O 相切于点 D，连结
BD、AD．
（1）求证；∠BDC＝∠A．
（2）若∠C＝45°，⊙O 的半径为 1，直接写出 AC 的长．11
【答案】（1）详见解析；（2）1+ 2
【详解】
(1)证明：连结OD．如图，
∵ CD与 ⊙ O相切于点 D，
∴ OD ⊥ CD，
∴ ∠2 + ∠BDC＝90°，
∵ AB是 ⊙ O的直径，
∴ ∠ADB＝90°，即∠1 + ∠2＝90°，
∴ ∠1＝∠BDC，
∵ OA＝OD，
∴ ∠1＝∠A，
∴ ∠BDC＝∠A；
（2）解：在Rt △ ODC中， ∵ ∠C＝45°，
∴ OC = 2OD = 2
∴ AC = OA + OC = 1 + 2
3．（2019·苏州高新区实验初级中学中考模拟）已知：如图，在⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB，垂足为点 E，
如果∠BAD＝30°，且 BE＝2，求弦 CD 的长．
【答案】4 3
【详解】
解：连接 OD，设⊙O 的半径为 r，则 OE＝r﹣2，
∵∠BAD＝30°，12
∴∠DOE＝60°，
∵CD⊥AB，
∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，
∴OD＝2OE，即 r＝2（r﹣2），解得 r＝4；
∴OE＝4﹣2＝2，
∴DE＝ OD2 - OE2＝ 42 - 22＝2 3，
∴CD＝2DE＝4 3．
知识点二 圆的基本性质
对称性
1. 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线
2. 圆是中心对称图形。
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1） 过圆心，作垂线，连半径，造RT △ ，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量分别相等
圆周角定理（考点）
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13
推论 1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
圆内接四边形
性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．
【考查题型汇总】
考查题型三 运用垂径定理进行相关计算
1．（2019·苏州高新区第四中学校中考模拟）如图，等腰△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC＝
1
3．求 BC 的长．
【答案】BC＝6．
【详解】
连接 AO，交 BC 于点 E，连接 BO，
∵AB＝AC，
∴AB = AC，
又∵OA 是半径，
∴OA⊥BC，BC＝2BE，
在 Rt△ABE 中，∵tan∠ABC＝1
3，
∴AE
BE = 1
3，
设 AE＝x，则 BE＝3x，OE＝5﹣x，
在 Rt△BEO 中，BE2+OE2＝OB2，
∴(3x)2+(5﹣x)2＝52，14
解得：x1＝0(舍去)，x2＝1，
∴BE＝3x＝3，
∴BC＝2BE＝6．
2．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交⊙O 于点 E，
连结 EC．若 AB＝8，CD＝2．
（1）求 OD 的长．
（2）求 EC 的长．
【答案】（1）5 （2）2 13
【详解】
解：(1)设⊙O 半径为 r，则 OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
AC＝BC＝1
2AB＝4，
在 Rt△ACO 中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，
r＝5，
∴OD＝r＝5；
(2)连接 BE，如图：15
由(1)得：AE＝2r＝10，
∵AE 为⊙O 的直径，
∴∠ABE＝90°，
由勾股定理得：BE＝6，
在 Rt△ECB 中，EC＝ BE2 + BC2＝ 62 + 42＝2 13．
故答案为：(1)5；(2)2 13.
13．（2019·广东中考模拟）如图，OD 是⊙O 的半径，AB 是弦，且 OD⊥AB 于点 C 连接 AO 并延长交⊙O 于点
E，若 AB＝8，CD＝2，求⊙O 半径 OA 的长．
【答案】r＝5
【详解】
解：∵OD⊥弦 AB，AB＝8，
∴AC＝1
2AB=1
2 × 8＝4，
设⊙O 的半径 OA＝r，
∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，
在 Rt△OAC 中，
r2＝（r﹣2）2+42，
解得：r＝5
考查题型四 利用垂径定理解决实际问题
1．（2018·山东中考模拟）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管
道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水最深的地方的高度为 4cm，求这
个圆形截面的半径．16
【答案】10cm
【解析】
解：过点 O 作 OC⊥AB 于 D，交⊙O 于 C，连接 OB，
∵OC⊥AB
∴BD=1
2AB=1
2×16=8cm
由题意可知，CD=4cm
∴设半径为 xcm，则 OD=（x﹣4）cm
在 Rt△BOD 中，
由勾股定理得：OD2+BD2=OB2
（x﹣4）2+82=x2
解得：x=10．
答：这个圆形截面的半径为 10cm．
2．（2017·江西南昌二中中考模拟）用工件槽（如图 1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件
槽的两个底角均为 90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图 1 所示的
A、B、E 三个接触点，该球的大小就符合要求．图 2 是过球心 O 及 A、B、E 三点的截面示意图，求这种铁球
的直径．17
【答案】20㎝．
【解析】
连接 OA、OE，设 OE 与 AB 交于点 P，如图
∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形 ACDB 是矩形
∵CD=16cm，PE=4cm
∴PA=8cm，BP=8cm，
在 Rt△OAP 中，由勾股定理得 OA2=PA2+OP2
即 OA2=82+（OA﹣4）2
解得：OA=10．
答：这种铁球的直径为 20cm．
3．（2018·山东中考模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆
形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请你用直尺和圆规作出这个输水管道的圆形截面的圆心(保留作图痕迹)；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB＝8 cm，水面最深地方的高度为 2 cm，求这个圆形截面的半径．
【答案】（1）详见解析；（2）这个圆形截面的半径是 5 cm.
【详解】18
(1)如图，作线段 AB 的垂直平分线 l，与弧 AB 交于点 C，作线段 AC 的垂直平分线 l′与直线 l 交于点 O，
点 O 即为所求作的圆心．
(2)如图，过圆心 O 作半径 CO⊥AB，交 AB 于点 D，
设半径为 r，则 AD＝1
2AB＝4，OD＝r－2，
在 Rt△AOD 中，r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5，
答：这个圆形截面的半径是 5 cm.
考查题型五 圆心角、弧、弦的关系的应用
1．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB = CD,连接AD、BC.
求证：⑴AD = BC；
⑵AE = CE.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【详解】
证明（1）∵AB=CD，
∴AB = CD，即AD + AC = BC + AC，
∴AD = BC；
（2）∵AD = BC，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．19
2．（2018·上海中考模拟）已知：在⊙O 中，弦 AB=AC，AD 是⊙O 的直径．
求证：BD=CD．
【答案】见解析
【详解】
证明：∵AB=AC，
∴AB = AC
∴∠ADB=∠ADC，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∴BD = CD
∴BD=CD．
3．（2019·江西中考模拟）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，M 为弧 CD 的中点，连接 AM，BM，求证：AM＝
BM．
【答案】见解析.
【详解】
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD＝BC，
∴弧 AD=弧 BC，
∵M 为弧 CD 中点，
∴弧 MD=弧 MC，20
∴弧 AM=弧 BM，
∴AM＝BM．
考查题型六 圆周角定理求角的度数
1．（2019·辽宁中考模拟）如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC＝140°，则∠D 的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
【答案】A
【详解】
∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°，
∵∠BOC 与∠BDC 都对AM
FM = AE
FO =
1
5
3
= 3
5，
∴∠D＝1
2∠BOC＝20°，
故选 A．
2．（2018·江苏中考真题）如图，AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
【答案】40
【详解】
连接 BD，如图，
∵AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°，21
故答案为：40．
3．（2019·江苏中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC = 120°，则∠CDB = _____
°．
【答案】30
【详解】
∵ ∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 120° = 60°，
∴ ∠CDB＝1
2∠BOC = 30°．
故答案为：30．
4．（2019·黑龙江中考真题）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC = 30∘，则∠AOB的度
数为_____．
【答案】60∘
【详解】
∵ OA ⊥ BC，
∴ AB = AC，
∴ ∠AOB = 2∠ADC，
∵ ∠ADC = 30∘，22
∴ ∠AOB = 60∘，
故答案为60∘．
考查题型七 圆周角定理推论的应用
1．（2018·北京中考真题）如图，点A，B，C，D在 ⊙ O上，CB = CD，∠CAD = 30°，∠ACD = 50°，则∠
ADB = ________．
【答案】70°
【解析】
详解：∵CB=CD，
∴∠CAB = ∠CAD = 30°，
∴ ，
∵∠ABD = ∠ACD = 50°，∴∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 70°．
故答案为：70°.
2．（2018·贵州中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 为半圆的三等分点，CE⊥AB 于点 E，∠ACE 的度
数为_____．
【答案】30°
【详解】
如图，连接 OC．
60BAD∠ = °23
∵AB 是直径，AC = CD = BD，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC 是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为 30°
3.（2019·湖南中考真题）如图，C、D 两点在以 AB 为直径的圆上，AB = 2，∠ACD = 30°，则AD =
_______．
【答案】1
【详解】
解：∵AB 为直径，
∴∠ADB = 90°，
∵∠B = ∠ACD = 30°，
∴AD = 1
2AB = 1
2 × 2 = 1．
故答案为 1．24
考查题型八 利用圆内接四边形的性质定理求角的度数
1．（2019·吉林中考模拟）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC = CB．若∠C = 110°，
则∠ABC的度数等于（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】A
【详解】
连接 AC，
∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠C=70°，
∵DC = CB，
∴∠CAB=1
2∠DAB=35°，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，
故选 A．
2．（2019·四川中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD
的度数为（ ）25
A．30° B．36° C．60° D．72°
【答案】B
【详解】
连接 CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为 72°，即∠COD=72°，
同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，
故∠CPD=72° × 1
2 = 36°,
故选 B.
3．（2019·广东中考模拟）如图，△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，∠ACB＝40°，点 D 是劣弧BC上一点，
连结 CD、BD，则∠D 的度数是( )
A．50° B．45° C．140° D．130°
【答案】D
【详解】
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=90°-40°=50°，
∵∠D+∠A=180°，
∴∠D=180°-50°=130°．
故选 D．
4．（2018·辽宁中考模拟）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC 的度数是（ ）26
A．60° B．80° C．90° D．100°
【答案】D
【详解】
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°.
故选 D.
知识点三 与圆有关的位置关系
点与圆的位置有三种：
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外
点在圆的外部 d > r⇔点P在 ⊙ O的外部.
点在圆上 点在圆周上 d = r⇔点P在 ⊙ O的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部 d < r⇔点P在 ⊙ O的内部.
三点定圆的方法：
1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数
个．
2）经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，
这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样
的圆有唯一一个．
Pr
O
Pr
O
Pr
O27
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定
义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
【考查题型汇总】
考查题型九 点与圆的位置关系
1．（2018·北京中考模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P（4，3）在⊙O 内，则⊙O 的半径 r 的取值范
围是（ ）
A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞5
【答案】D
【详解】∵O（0，0），P（3，4），
∴OP= ，
∵点 P(3,4)在⊙O 内，⊙O 的半径 r，
∴r>5，
故选 D.
2．（2017·辽宁中考模拟）矩形 ABCD 中，AB＝8， ，点 P 在边 AB 上，且 BP＝3AP，如果圆 P 是
以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
A．点 B、C 均在圆 P 外； B．点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内；
C．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外； D．点 B、C 均在圆 P 内．
【答案】C
【详解】
∵AB=8，点 P 在边 AB 上，且 BP=3AP
∴AP=2，
∴根据勾股定理得出，r=PD= =7，
PC= =9，
∵PB=6＜r，PC=9＞r
∴点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外,故选 C．
3．（2019·上海中考模拟）在直角坐标平面内，点 O 是坐标原点，点 A 的坐标是（3，2），点 B 的坐标是
（3，﹣4）．如果以点 O 为圆心，r 为半径的圆 O 与直线 AB 相交，且点 A、B 中有一点在圆 O 内，另一点在
( ) ( )2 23 0 4 0− + −
3 5BC =
2 2(3 5) 2+
2 2 2 2 2 26 (3 5) = 6 (3 5)PB BC+ = + +28
圆 O 外，那么 r 的值可以取（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】
∵点 A 的坐标是（3，2），点 B 的坐标是（3，﹣4），
∴OA＝ 32 + 22 = 13，
OB＝ 32 + 42＝5，
∵以点 O 为圆心，r 为半径的圆 O 与直线 AB 相交，且点 A、B 中有一点在圆 O 内，另一点在圆 O 外，
∴ 13＜r＜5，
∴r＝4 符合要求．
故选 B．
4．（2016·四川中考模拟）已知矩形 ABCD 的边 AB=15，BC=20，以点 B 为圆心作圆，使 A，C，D 三点至少有
一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径 r 的取值范围是（ ）.
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
【答案】C
【解析】
当 d＞r 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 d＜r 时，点在圆内．在直角△BCD 中 CD=AB=15，BC=20，
则 BD= = =25．由图可知 15＜r＜25，故选 C．
直线和圆的位置关系
位置关系：设 ⊙ O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置
关系
图形 定义 性质及判定
2 215 20+ 62529
相离 直线与圆没有公共点 d > r⇔直线l与 ⊙ O相离
相切
直线与圆有唯一公共点，直线叫
做圆的切线，公共点叫做切点
d = r⇔直线l与 ⊙ O相切
相交
直线与圆有两个公共点，直线叫
做圆的割线
d < r⇔直线l与 ⊙ O相交
切线的性质及判定（重点）
切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角．
三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
个三角形叫做圆的外切三角形．
【考查题型汇总】
考查题型十 直线与圆的位置关系的应用
1．（2019·吉林中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点 C 为圆心，以 2cm
长为半径作圆，试判断⊙C 与 AB 的位置关系．
【答案】相切
【详解】
作 CD⊥AB 于点 D，
l
O
d
r
l
O
d
r
l
Od
r30
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CD＝ BC＝2cm，
即 CD 等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB 与⊙C 相切．
2．（2014·福建中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，⊙A 的半径为 7，判断⊙A 与直线 BC 的
位置关系，并说明理由．
【答案】⊙A 与直线 BC 相交．理由见解析.
【解析】
⊙A 与直线 BC 相交．
过 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D．
∵AB=AC，BC=16，
∴BD=1
2BC=1
2×16=8，
在 Rt△ABC 中，AB=10，BD=8，
∴AD= AB2 - BD2 = 102 - 82 = 6，
∵⊙O 的半径为 7，
∴AD＜r，⊙A 与直线 BC 相交．
考查题型十一 利用切线的判定定理判定直线为切线的方法
1
231
1．（2018·山东中考模拟）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BAD=90°，点 E 在 BC 的延长线上，且
∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若 AC∥DE，当 AB=8，CE=2 时，求 AC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AC 的长为 ．
【解析】
（1）如图，连接 BD，
∵∠BAD=90°，
∴点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，
∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点 D 在⊙O 上，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）∵DE∥AC．
16 5
532
∵∠BDE=90°，
∴∠BFC=90°，
∴CB=AB=8，AF=CF= AC，
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，
∴∠CDE=∠CBD．
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴△BCD∽△DCE，
∴ ，
∴ ，
∴CD=4．
在 Rt△BCD 中，BD= =4 ，
同理：△CFD∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
∴CF= ，
∴AC=2AF= ．
2．（2019·四川中考模拟）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠B＝30°，延长 BA 到 D，使∠BDC＝
30°．
(1)求证：DC 是⊙O 的切线；
(2)若 AB＝2，求 DC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
1
2
BD CD
CD CE
=
8
2
CD
CD
=
2 2BC CD+ 5
CF CD
BC BD
=
4
8 4 5
CF =
8 5
5
16 5
5
333
【解析】
（1）连接 OC．
∵OB=OC，∠B=30°，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠COD=∠B+∠OCB=60°，
∵∠BDC=30°，
∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC，
∵BC 是弦，
∴点 C 在⊙O 上，
∴DC 是⊙O 的切线，点 C 是⊙O 的切点；
（2）解：∵AB=2，
∴OC=OB= =1，
∵在 Rt△COD 中，∠OCD=90°，∠D=30°，
∴DC= OC= .
考查题型十二 三角形内心的应用
1．（2018·河北中考真题）如图，点 I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与 I 重
合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】连接 AI、BI，
∵点 I 为△ABC 的内心，
∴AI 平分∠CAB，
2
AB
3 334
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为 4，
故选 B．
2．（2019·台湾中考真题）如图，直角三角形 的内切圆分别与 、 相切于 点、 点，根据图
中标示的长度与角度，求 的长度为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：设 ，
∵直角三角形 的内切圆分别与 、 相切于 点、 点，
，
， ，
在 中， ，解得 ，
即 的长度为 ．
故选：D．
ABC AB BC D E
AD
3
2
5
2
4
3
5
3
AD x=
ABC AB BC D E
1BD BE∴ = =
1AB x∴ = + 4AC AD CE x= + = +
Rt ABC∆ ( ) ( )2 221 5 4x x+ + = + 5
3x =
AD 5
335
3．（2019·安徽中考模拟）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I 是△ABC 的内心，∠AIC=124°，点 E 在 AD
的延长线上，则∠CDE 的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【解析】
∵点 I 是△ABC 的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选 C．
考察题型十三 利用切线长定理进行计算
1．（2019·河南中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D，过点
D 作⊙O 的切线．交 BC 于点 E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2 ，则 DB=______；
②当∠B=______度时，以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形．
336
【答案】（1）见解析；（2）①3；②45.
【详解】
（1）证明：连接 DO．
∵∠ACB=90°，AC 为直径，
∴EC 为⊙O 的切线；
又∵ED 也为⊙O 的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2 ，
∴AB=2AC=4 ，
∴BC= =6，
∵AC 为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
3
3
2 2AB AC−37
由（1）得：BE=EC，
∴DE= BC=3，
故答案为 3；
②当∠B=45°时，四边形 ODEC 是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形 DECO 是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形 DECO 是正方形．
故答案为 45．
2．（2019·陕西高新一中中考模拟）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O
与边 AC 相切于点 E，与边 BC 交于点 F，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，连接 BE
(1)求证：EH＝EC；
(2)若 AB＝4，sinA＝ ，求 AD 的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【详解】
(1)如图，连接 OE，
1
2
2
3
6
538
∵AC 与⊙O 相切，
∴OE⊥AC，且 BC⊥AC，
∴OE∥BC
∴∠CBE＝∠OEB，
∵EO＝OB，
∴∠EBO＝∠OEB
∴∠CBE＝∠EBO，且 CE⊥BC，EH⊥AB，
∴CE＝EH
(2)∵sinA＝ = ，
∴设 OE＝2a，AO＝3a，(a≠0)
∴OB＝2a，
∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝4
∴a＝ ，
∵AD＝AB﹣BD＝4﹣4a
∴AD＝ .
3．（2019·山东中考模拟）如图，CD 是⊙O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若 BD= AD，AC=3，求 CD 的长．
2
3
OE
OA
4
5
4
5
2
339
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2．
【解析】
（1）证明：连接 OD，如图所示．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵CD 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径，
∴∠ODB+∠BDC=90°．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC．
（2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴ ．
∵BD= AD，
∴ ，
∴ ，
又∵AC=3，
∴CD=2．
考查题型十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的应用
1．（2019·四川中考真题）已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：无论 为任何实数，此方程总有两个实数根；
BD CD
AD AC
=
2
3
2
3
BD
AD
=
2= 3
CD
AC
x 2 ( 4) 4 0x k x k− + + =
k40
（2）若方程的两个实数根为 、 ，满足 ，求 的值；
（3）若 △ 的斜边为 5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 、 ，求 的内切圆半径.
【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）1
【详解】
（1）证明：∵ ，
无论 为任何实数时，此方程总有两个实数根.
（2）由题意得： ， ，
即 ，
解得： ；
（3）解：
解方程得： ，
根据题意得： ，即
设直角三角形 的内切圆半径为 ，如图，
由切线长定理可得： ，
直角三角形 的内切圆半径 = ；
2．（2017·江苏中考模拟）实践操作如图，∠△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，利用直尺和圆规按下列要求
作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠BAC 的平分线，交 BC 于点 0
②以点 0 为圆心，OC 为半径作圆.综合运用在你所作的图中，
1x 2x
1 2
1 1 3
4x x
+ = k
Rt ABC 1x 2x Rt∆ ABC
2 2 2( 4) 16 8 16 ( 4) 0k k k k k∆ = + − = − + = − ≥
∴ k
1 2 4x x k+ = + 1 2 4x x k⋅ =
1 2
1 1 3
4x x + =
1 2
1 2
3
4
x x
x x
+∴ =⋅
4 3
4 4
k
k
+ =
2k =
1 4x = 2x k=
2 2 24 5k+ = 3k =
ABC r
(3 ) (4 ) 5r r− + − =
∴ ABC r 3 4 5 12
+ − =41
(1)直线 AB 与⊙0 的位置关系是
(2)证明:BA·BD=BC·BO;
(3)若 AC=5,BC=12，求⊙0 的半径
【答案】实践操作，作图见解析；综合运用：（1）相切；（2）证明见解析；（3）
【解析】
实践操作，如图所示：
综合运用：
综合运用：
（1）AB 与⊙O 的位置关系是相切．
∵AO 是∠BAC 的平分线，
∴DO=CO，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AB 与⊙O 的位置关系是相切；
（2）∵AB、AC 是切线
∴∠BDO=∠BCA=90°
又∠DBC=∠CBA
∴ΔBDO∽ΔCBA
10
342
∴
即：
（3）因为 AC=5，BC=12，
所以 AD=5，AB=13，
所以 DB=13﹣5=7，
设半径为 x ，则 OC=OD=x ，BO=（12﹣x），
x2+82=（12﹣x）2，
解得：x= ．
答：⊙O 的半径为 ．
考查题型十五 圆内接四边形综合
1.（2016·浙江中考真题）如图，已知四边形 ABCD 内接于圆 O，连结 BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆 O 的半径为 3，求 的长．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）π
【解析】
（1）∵四边形 ABCD 内接于圆 O， ∴∠DCB+∠BAD=180°， ∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°， ∵∠DBC=75°， ∴∠DCB=∠DBC=75°， ∴BD=CD；
（2）∵∠DCB=∠DBC=75°， ∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得， 的度数为：60°， 故 = = =π，
答： 的长为 π．
2．（2017·江苏中考模拟）如图所示，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点 A，B 两点，点 A 的坐标为
（0，3），M 是第三象限内OB上一点，∠BMO＝120°，求⊙C 的半径．
BD BO
BC BA
=
BD BA BO BC⋅ = ⋅
10
3
10
343
【答案】3.
【详解】
∵四边形 ABMO 是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∵AB 是⊙C 的直径，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
∵点 A 的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C 的半径长=AB
2 =3
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设 ⊙ O1、 ⊙ O2的半径分别为R、r（其中R > r），两圆圆心距为
d，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
外离
两个圆没有公共点，并且每个
圆上的点都在另一个圆的外
部．
d > R + r⇔两 圆 外
离
外切
两个圆有唯一公共点，并且除
了这个公共点之外，每个圆上
的点都在另一个圆的外部．
d = R + r⇔两 圆 外
切
Rr
O2O1
Rr
O2O144
相交 两个圆有两个公共点． R - r < d < R + r
⇔两圆相交
内切
两个圆有唯一公共点，并且除
了这个公共点之外，一个圆上
的点都在另一个圆的内部．
d = R - r⇔两 圆 内
切
内含
两个圆没有公共点，并且一个
圆上的点都在另一个圆的内
部，两圆同心是两圆内含的一
种特例．
0 ≤ d < R - r⇔两
圆内含
【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外
离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【考查题型汇总】
考查题型十六 圆与圆的位置关系
1．（2019·上海中考真题）已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与⊙A、⊙B 都内切，且 AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C
的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【详解】
设⊙A 的半径为 X,⊙B 的半径为 Y,⊙C 的半径为 Z.
解得
故选 C
2．（2019·福建中考模拟）如图，已知∠POQ=30°，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长
为 2 的⊙A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ）
R
O2O1
R
r
O2O1
R
r O2O1
5
6
7
X Y
Z X
Z Y
+ =
− =
− =
9
3
2
Z
X
Y
=
=
=45
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【答案】A
【详解】设⊙A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B 与⊙A 相内切时，设切点为 C，如图 1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A 与⊙B 相外切时，设切点为 E，如图 2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是：5＜OB＜9，
故选 A．
3．（2019·上海市南塘中学中考模拟） 已知⊙ 的半径 长是 5，点 在 上，且 ，如果
⊙ 与⊙ 有公共点，那么⊙ 的半径长 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵⊙ 的半径 长是 5，点 在 上，且 ，
A AB C AB 3AC =
C A C r
2r ≥ 8r ≤ 2 8r< < 2 8r≤ ≤
A AB C AB 3AC =46
∴点 到⊙ 的最大距离为 8，最小距离为 2，
∵⊙ 与⊙ 有公共点，
∴ ．
故选 D．
4．（2011·江苏中考真题）在△ABC 中，∠C=90°．AC=3cm．BC=4cm，若⊙A．⊙B 的半径分别为 1cm，4cm．则
⊙A 与⊙B 的位置关系是 ( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】A
【详解】
解：
∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB= =5cm，
∵⊙A，⊙B 的半径分别为 1cm，4cm，
又∵1+4=5，
∴⊙A 与⊙B 的位置关系是外切．
故选 A．
5．（2019·上海中考模拟）已知⊙ 和⊙ ，其中⊙ 为大圆，半径为 3．如果两圆内切时圆心距等于
2，那么两圆外切时圆心距等于（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【详解】
解：已知⊙ 为大圆，半径为 3．如果两圆内切时圆心距等于 2，
故⊙ 半径为 1，
故两圆外切时圆心距等于 3＋1＝4.
C A
C A
2 8r≤ ≤
2 2AC BC+
1O 2O 1O
1O
2O47
故选 B.
考查题型十七 利用圆的相关知识解决动态问题
1．（2019·河南中考模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，点 D、E 位于 AB 两侧的半圆上，射线 DC 切⊙O 于点 D，
已知点 E 是半圆弧 AB 上的动点，点 F 是射线 DC 上的动点，连接 DE、AE，DE 与 AB 交于点 P，再连接 FP、
FB，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①当∠DAE＝ 时，四边形 ADFP 是菱形；
②当∠DAE＝ 时，四边形 BFDP 是正方形．
【答案】（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°．
【分析】
（1）要证明 CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD 即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以
解答本题；
（2）①根据四边形 ADFP 是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE 的度数；
②根据四边形 BFDP 是正方形，可以求得∠DAE 的度数．
【详解】
（1）证明：连接 OD，如图所示，
∵射线 DC 切⊙O 于点 D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF＝90°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AOD＝2∠AED＝90°，48
∴∠ODF＝∠AOD，
∴CD∥AB；
（2）①连接 AF 与 DP 交于点 G，如图所示，
∵四边形 ADFP 是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，
∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，
∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，
∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，
∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，
故答案为：67.5°；
②∵四边形 BFDP 是正方形，
∴BF＝FD＝DP＝PB，
∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，
∴此时点 P 与点 O 重合，
∴此时 DE 是直径，
∴∠EAD＝90°，
故答案为：90°．
知识点四 正多边形和圆
正多边形
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：49
画圆内接正多边形方法：
1） 量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
2） 量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
3） 圆规+直尺
（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）
圆锥
设 ⊙ O的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，
弧长公式：l = nπR
180 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：S扇形 = n
360πR2 = 1
2lR
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：S = πR2 +πRl（l为母线）
备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：
① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
【考查题型汇总】
考查题型十七 正多边形的有关计算
1．（2013·四川中考真题）如图，要拧开一个边长为 a＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口 b 至少为
( )
A．6 mm B．12mm C．6 mm D．4 mm
【答案】C
【解析】
设正多边形的中心是 O，其一边是 AB，
2 3 350
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形 ABCO 是菱形，
∵AB=6mm,∠AOB=60°，
∴cos∠BAC= ，
∴AM=6× = (mm)，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC= AC，
∴AC=2AM= (mm).
故选 C.
2．（2015·广东中考模拟）正多边形的中心角是 36°，那么这个正多边形的边数是( )
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【解析】
试题分析：设这个正多边形的边数是 n，
∵正多边形的中心角是 36°，
∴360
n =36°，
解得 n=10．
故选 A．
考查题型十八 弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法
1．（2019·盘锦市双台子区第四中学中考模拟）.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角
∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．
AM
AB
3
2 3 3
1
2
6 351
【答案】4
【详解】
设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC=6，∠ACB=120°，
∴ =2πr，
∴r=2，即：OA=2，
在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC= =4 ，
故答案为 4 ．
2．（2019·贵州中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的
半径 ，扇形的圆心角 ，则该圆锥的母线长 为___ ．
【答案】6.
【详解】
圆锥的底面周长 cm，
设圆锥的母线长为 ，则： ，
解得 ，
故答案为 ．
2
120 6
180l
π× ×=
2 2AC OA− 2
2
2r cm= 120θ = l cm
2 2 4π π= × =
R 120 4180
Rπ π× =
6R =
652
3．（2019·内蒙古中考模拟）如图，从直径为 4cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为 90°的扇形 OAB，且
点 O、A、B 在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm．
【答案】
【详解】
解：设圆锥的底面圆的半径为 r，
连结 AB，如图，
∵扇形 OAB 的圆心角为 90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AB 为圆形纸片的直径，
∴AB＝4cm，
∴OB＝ cm，
∴扇形 OAB 的弧 AB 的长＝ π，
∴2πr＝ π，
∴r＝ （cm）．
故答案为 ．
考查题型十九 应用弧长公式解决运动轨迹或扫过面积问题
2
2
2 2 22 AB =
90 2 2 2180
π⋅ ⋅ =
2
2
2
2
253
1．（2019·四川中考真题）如图，在 中， ，将△AOC 绕点 O 顺时针旋转 后
得到 ，则 AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：
∴阴影部分的面积＝扇形 OAB 的面积﹣扇形 OCD 的面积
故选：B．
2．（2018·广东中考模拟）如图，将含 60°角的直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 45°度后得到
△AB′C′，点 B 经过的路径为弧 BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．π
【答案】A
【解析】
试题解析：如图，
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，
∴BC=ACtan60°=1× = ，AB=2
AOC∆ 3 1OA cm OC cm＝ ， ＝ 90
BOD∆ 2cm
2
π
2π 17
8
π 19
8
π
AOC BOD∆ ∆ ≌ ，
2 290 3 90 1 2360 360
π π π⋅ × ⋅ ×= − =
2
π
3
π
4
π
3 354
∴S△ABC= AC•BC= ．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则 S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．
∴S 阴影=S 扇形 ABB′+S△AB′C′-S△ABC
=
= ．
故选 A．
3．（2019·天津中考模拟）如图，已知正方形 的顶点 、 在 上，顶点 、 在 内，将
正方形 绕点 逆时针旋转，使点 落在 上.若正方形 的边长和 的半径均为 ，
则点 运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设圆心为 O，连接 AO，BO， OF，
∵AB=6，AO=BO=6，
∴AB=AO=BO，
∴三角形 AOB 是等边三角形，
1
2
3
2
245 2
360
π ×
2
π
ABCD A B O C D O
ABCD A D O ABCD O 6cm
D
2 cmπ 3
2 cmπ cmπ 1
2 cmπ55
∴∠OAB=60°
∵AF=AO=FO=6，
∴△FAO 是等边三角形，
∴∠OAF=60°
∠FAB=∠OAB+∠OAF =120°，
∴∠EAC=120°-90°=30°，
∵AD=AB=AF=6，
∴点 D 运动的路径长为： =π．
故选：C．
4．（2019·湖州市第五中学中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，扇形 CBD
的圆心角为 60°，点 E 为 CD 上一动点，P 为 AE 的中点，当点 E 从点 C 运动至点 D，则点 P 的运动路径长是
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，取 AB 的中点 Q，连结 PQ，连结 EB.
∵P 为 AE 的中点，Q 为 AB 的中点，
∴PQ 为△AEB 的中位线，
∴PQ∥EB，且 PQ= EB= BC= .
30 6
180
π× ×
2
π
6
π π 3
2
1
2
1
2
3
256
∴点 P 在以 Q 为圆心， 为半径的圆上运动.
当点 E 从点 C 运动至点 D 时，点 P 所转动的角度为 60°，
∴点 P 的运动路径长是 .
故选：A.
5．（2019·东港区日照街道三中中考模拟）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 BD＝6cm，若将平行四边形 ABCD
绕其对称中心 O 旋转 180°，则点 D 在旋转过程中所经过的路径长为（ ）
A．3πcm B．6πcm C．πcm D．2πcm
【答案】A
【详解】
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OB＝OD＝3，
∵平行四边形 ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180°，
∴点 D 在旋转过程中所经过的路径为以 O 点为圆心，OD 为半径，圆心角为 180 的弧，
∴点 D 在旋转过程中所经过的路径长＝ ＝3π（cm）．
故选 A．
考查题型二十 不规则图形的面积的计算
1．（2019·辽宁中考模拟）如图,在边长为 6 的菱形 中, ,以点 为圆心,菱形的高
为半径画弧,交 于点 ,交 于点 ,则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
3
2
360 2
180 2
π π⋅
=
180 π 3
180
⋅ ⋅
ABCD 60DAB∠ = ° D DF
AD E CD G
18 3π− 18 3 9π− 99 3 2
π− 18 3 3π−57
∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF 是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=6× =3 ，
∴阴影部分的面积=菱形 ABCD 的面积-扇形 DEFG 的面积
=6×3 =18 -9π．
故选 B．
2．（2015·四川中考真题）如图，已知⊙O 的周长为 4π， 的长为 π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：∵⊙O 的周长为 4π，∴⊙O 的半径是 r=4π÷2π=2，∵ 的长为 π，∴ 的长等于⊙O 的
周长的 ，∴∠AOB=90°，∴S 阴影= = ．故选 A．
3．（2017·贵州中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以 AB、AC 为直径作半圆，则图
中阴影部分的面积是（ ）
A．64π﹣12 7 B．16π﹣32
C．16π﹣24 7 D．16π﹣12 7
【答案】D
3
2 3
2120 (3 3)3 360
π ×− 3
AB
2π − 3π − π
AB AB
1
4
21 2 2 2 24
π× × − × ÷ 2π −58
【解析】
试题解析：设半圆与底边的交点是 D，连接 AD．
∵AB 是直径，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=CD=6．
根据勾股定理，得
AD= AB2 - BD2=2 7．
∵阴影部分的面积的一半=以 AB 为直径的半圆的面积﹣三角形 ABD 的面积
=以 AC 为直径的半圆的面积﹣三角形 ACD 的面积，
∴阴影部分的面积=以 AB 为直径的圆的面积﹣三角形 ABC 的面积=16π﹣1
2×12×2 7=16π﹣12 7．
故选 D．
4．（2019·河北中考模拟）如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于
点 E，B，E 是半圆弧的三等分点，弧 AB 的长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 ﹣ B．9 ﹣ C． ﹣ D．6 ﹣
【答案】C
【详解】
解：连接 BD，BE，BO，EO，
4
3
π
3 4
3
π
3 8
3
π 3 3
2
2
3
π
3 8
3
π59
∵B，E 是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
弧 AB 的长为 ，
∴ =
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2 ，
∴BC= AB= ，
∴AC= = =3,
∴S△ABC= ×BC×AC= × ×3= ，
∵△BOE 和△ABE 同底等高，
∴△BOE 和△ABE 面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S 扇形 BOE= - = - .
故选 C．
考查题型二十一 求圆锥侧面上两点之间的最短距离
1．（2012·浙江中考模拟）如图，已知 O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从 M 点出发，绕
圆锥侧面爬行到 N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ）
4π
3
120• •
180
Rπ 4π
3
3
1
2 3
2 2AB BC− 2 2(2 3) ( 3)−
1
2
1
2 3 3 3
2
3 3
2
260 2
360
π 3 3
2
2π
360
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为 MN 为圆锥底面的直径，展开后 D 图中 MN 即为直径，也为所爬过的最短路线的痕迹，故选 D．
2．（2015·黑龙江中考模拟）一圆锥体形状的圣诞帽，母线长是 30cm，底面圆的直径是 15cm，点 A 为圆锥
底面圆周上一点，从 A 点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到 A 点，则彩带最少用（ ）厘米（接口处重合部分
忽略不计）
A．30πcm B．30 cm C．15πcm D．1 5 2cm
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意可得圆锥的展开图的圆心角=r
l×360°=90°，则展开图为等腰直角三角形，根据勾股定
理可得斜边长为 30 2cm.
考查题型二十二 运用圆锥侧面积知识解决实际问题
1．（2015·湖北中考模拟）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，
点 D 在弧 AB 上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）
A． 米 2 B． 米 2 C． 米 2 D． 米 2910 32
π −
9 32
π −
96 32
π −
( )6 9 3π −61
【答案】 C。
【解析】连接 OD，则 。
∵弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，∴OC= OA= ×6=3。
∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。
在 Rt△OCD 中，∵OD=6，OC=3，∴ 。
又∵ ，∴∠DOC=60°。
∴ （米 2）。故选 C。
2．（2019·安徽中考模拟）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°，AB 长为
25cm，贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ）
A．175πcm2 B．350πcm2 C． πcm2 D．150πcm2
【答案】B
【详解】
DOCAODS S S∆= −阴影 扇形
1
2
1
2
2 2 2 2CD= OD OC 6 3 3 3− = − =
CD 3 3 3sin DOC = =OD 6 2
∠ =
2
DOCAOD
60 6 1 9S S S = 3 3 3=6 3360 2 2
π π∆
⋅ ⋅= − − ⋅ ⋅ −阴影 扇形
800
362
∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
∴S 贴纸= =175π×2=350cm2，
故选 B．
2 2120 25 120 10 2360 360
π π ⋅ × ⋅ ×− ×
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