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资料简介
1
专题 21 平行四边形
考点总结
【思维导图】2
【知识要点】
知识点一 平行四边形
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”
平行四边形的性质：
1、 平行四边形对边平行且相等；
几何描述：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC; AB∥CD,AD∥BC
2、平行四边形对角相等、邻角互补；
几何描述：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）
3、平行四边形对角线互相平分；3
几何描述：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AO=OC=1
2AC,BO=OD=1
2BD
4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
平行线的性质：
1、平行线间的距离都相等；
2、两条平行线间的任何平行线段都相等；
3、等底等高的平行四边形面积相等。
平行四边形的判定定理（基础）：
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的面积公式：面积=底×高
【考查题型汇总】
考查题型一 利用平行四边形的性质解题
1．（2019·海南中考真题）如图，在 中，将 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的
点 E 处．若 ， ，则 的周长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【详解】
由折叠可得， ，
，
ABCD ADC∆
=60B °∠ =3AB ADE∆
90ACD ACE °∠ = ∠ =
90BAC °∴∠ =4
又 ，
，
，
，
由折叠可得， ，
，
是等边三角形，
的周长为 ，
故选：C．
2．（2018·山东中考模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与
原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
【答案】D
【详解】
只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选 D．
3．（2018·陕西师大附中中考模拟）如图，平行四边形 ABCD 的周长是 26，对角线 AC 与 BD 交于 O，
AC⊥AB，E 是 BC 的中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多 3，则 AE 的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
60B °∠ =
30ACB °∴∠ =
2 6BC AB∴ = =
6AD∴ =
60E D B °∠ = ∠ = ∠ =
60DAE °∴∠ =
ADE∴∆
ADE∴∆ 6 3 18× =5
【详解】
解：∵ABCD 的周长为 26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多 3cm，
∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm.
∴BC=AD=8cm.
∵AC⊥AB，E 是 BC 中点，
∴AE= BC=4cm；
故选：B.
4．（2013·湖北中考真题）如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且 AB=5，△OCD 的周长为 23，则平
行四边形 ABCD 的两条对角线的和是
A．18 B．28 C．36 D．46
【答案】C
【详解】
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5.
∵△OCD 的周长为 23，∴OD+OC=23﹣5=18.
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形 ABCD 的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36.
故选 C.
5．（2019·山东中考模拟）如图，将▱ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F，若
， ，则 为
1
2
ABD 48∠ = CFD 40∠ = E∠ ( )6
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
，
由折叠可得 ，
，
又 ，
，
又 ，
中， ，
，
故选 B．
考查题型二 平行四边形的判定
1．（2018·上海中考模拟）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，延长 CE，BA 交于点 F，连接 AC，DF．
（1）求证：四边形 ACDF 是平行四边形；
（2）当 CF 平分∠BCD 时，写出 BC 与 CD 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【解析】
（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E 是 AD 的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
102 112 122 92
AD / /BC
ADB DBC∠ ∠∴ =
ADB BDF∠ ∠=
DBC BDF∠ ∠∴ =
DFC 40∠ =
DBC BDF ADB 20∠ ∠ ∠∴ = = =
ABD 48∠ =
ABD∴ A 180 20 48 112∠ = − − =
E A 112∠ ∠∴ = = 7
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形 ACDF 是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明：∵CF 平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE 是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E 是 AD 的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
2．（2019·甘肃中考模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边
于点 E，F．
（1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；
（2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE 和△DOF 中，
4 13
38
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形 BEDF 是平行四边形；
（2）当四边形 BEDF 是菱形时，BD⊥EF，
设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x，
在 Rt△ADE 中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6-x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2 ，
∴OB= BD= ，
∵BD⊥EF，
∴EO= = ，
∴EF=2EO= ．
3．（2018·柳州市龙城中学中考模拟）如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 CD 边上，点 F 在 DC 延长线上，
AE＝BF．
（1）求证：四边形 ABFE 是平行四边形
（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求 EF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝5.
【解析】
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．
OBE ODF
OB OD
BOE DOF
∠ = ∠
=
∠ = ∠
13
3
2 2AD AB+ 13
1
2 13
2 2BE OB− 2 13
3
4 13
39
∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．
∴∠D=∠BCF．在 Rt△ADE 和 Rt△BCF 中， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形 ABFE 是平行四边形．
（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．
∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．
在 Rt△ABE 中，AE=3，BE=4，AB= ．
∵四边形 ABFE 是平行四边形，∴EF=AB=5．
考查题型三 平行四边形性质与判定的综合
1．（2019·洞口县第九中学中考模拟）如图，在 中，过点 C 作 ，E 是 AC 的中点，连接 DE
并延长，交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，连接 AD，CF．
求证：四边形 AFCD 是平行四边形．
若 ， ， ，求 AB 的长．
【答案】 证明见解析； ．
【详解】
是 AC 的中点，
，
，
，
在 和 中，
ABC CD / /AB
( )1
( )2 GB 3= BC 6= 3BF 2
=
( )1 ( )2 AB 6=
( )1 E
AE CE∴ =
AB / /CD
AFE CDE∠ ∠∴ =
AEF CED10
，
≌ ，
，
又 ，即 ，
四边形 AFCD 是平行四边形；
，
∽ ，
，即 ，
解得： ，
四边形 AFCD 是平行四边形，
，
．
2．（2018·黑龙江中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 CD，
过 E 作 EF∥DC 交 BC 的延长线于 F．
（1）证明：四边形 CDEF 是平行四边形；
（2）若四边形 CDEF 的周长是 25cm，AC 的长为 5cm，求线段 AB 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB=13cm，
【详解】（1）∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，F 是 BC 延长线上的一点，
∴ED 是 Rt△ABC 的中位线，
∴ED∥FC．BC=2DE，
又 EF∥DC，
AFE CDE
AEF CED
AE CE
∠ = ∠
∠ = ∠
=
AEF∴ ( )CED AAS
AF CD∴ =
AB / /CD AF / /CD
∴
( )2 AB / /CD
GBF∴ GCD
GB BF
GC CD
∴ =
3
3 2
3 6 CD
=+
9CD 2
=
9AF CD 2
∴ = =
9 3AB AF BF 62 2
∴ = + = + =11
∴四边形 CDEF 是平行四边形；
（2）∵四边形 CDEF 是平行四边形；
∴DC=EF，
∵DC 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
∴AB=2DC，
∴四边形 DCFE 的周长=AB+BC，
∵四边形 DCFE 的周长为 25cm，AC 的长 5cm，
∴BC=25﹣AB，
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即 AB2=（25﹣AB）2+52，
解得，AB=13cm.
3．（2018·江苏省如皋市外国语学校中考模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点 D，E 分别是边 BC，AB
上的中点，连接 DE 并延长至点 F，使 EF=2DF，连接 CE、AF．
（1）证明：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形 ACEF 的形状并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 ACEF 是菱形，理由见解析.
【详解】
试题解析：（1）∵点 D，E 分别是边 BC，AB 上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，
∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形 ACEF 是平行四边形，∴AF=CE；
（2）当∠B=30°时，四边形 ACEF 是菱形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=1
2AB=AE，∴△AEC 是等边三角形，∴AC=CE，
又∵四边形 ACEF 是平行四边形，∴四边形 ACEF 是菱形．
考查题型四 平行四边形与全等三角形综合问题
1．（2019·广西中考模拟）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；12
（2）连接 AF、BD，求证：四边形 ABDF 是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
详解：证明：(1) ∵ BE = FC，
∴ BC = EF，
在 △ ABC和 △ DFE中，{AB = DF
AC = DE
BC = EF ，
∴△ ABC≌ △ DFE(SSS)；
(2)解：如图所示：
由(1)知 △ ABC≌ △ DFE，
∴ ∠ABC = ∠DFE，
∴ AB//DF，
∵ AB = DF，
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形．
2．（2019·江苏中考模拟）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD 交 BE 于 O．求
证：AD 与 BE 互相平分．
【答案】证明见解析.
【解析】
如图，连接 BD，AE，13
∵FB=CE，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AD 与 BE 互相平分．
3．（2018·肇庆第四中学中考模拟）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 是对角线 BD 上的点，
∠1=∠2.
求证：（1）BE=DF；（2）AF∥CE.
【答案】证明见解析
【详解】
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠5=∠3，
ABC DEF
BC EF
ACB DFE
∠ ∠
∠ ∠
＝
＝
＝14
∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠4，
在△ABE 和△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵∠1=∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴AF∥CE．
知识点二 三角形中位线
三角形中位概念：连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
几何描述：
∵DE 是△ABC 的中位线
∴DE∥BC,DE=1
2BC
【考查题型汇总】
考查题型五 利用三角形中位线进行计算
1．（2019·甘肃中考模拟）如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CB，交 AB 于点 F，如果 EF=3，那
么菱形 ABCD 的周长为（ ）
4
{ 3 5
AEB
AB CD
∠ = ∠
∠ = ∠
=15
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【详解】∵E 是 AC 中点，
∵EF∥BC，交 AB 于点 F，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形 ABCD 的周长是 4×6=24，
故选 A．
2．（2018·江苏中考模拟）如图，在梯形 中， ，中位线 与对角线 交于
两点，若 cm, cm，则 的长等于( )
A．10 cm B．13 cm C．20 cm D．26 cm
【答案】D
【解析】
∵EF 是梯形的中位线，
∴EF∥CD∥AB．
∴AM=CM，BN=DN．
∴EM 是△ACD 的中位线，NF 是△BCD 的中位线，
∴EM= CD，NF= CD．
∴EM=NF= =5，即 CD=10．
ABCD / /AB CD EF ,AC BD ,M N
18EF = 8MN = AB
1
2
1
2
18 8
2 2
EF MN− −=16
∵EF 是梯形 ABCD 的中位线，
∴DC+AB=2EF，即 10+AB=2×18=36．
∴AB=26．
故选 D．
3．（2019·贵州中考模拟）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线
于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点．已知 FG=2，则线段 AE 的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴ =2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG 为△EAB 的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选 D．
4．（2018·四川中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F 分别为 AB，AC，AD 的
AF AB
GF GD
=17
中点，若 BC=2，则 EF 的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【详解】
∠ACB=90°，∠A=30°，
BC= AB.
BC=2,
AB=2BC=2 2=4,
D 是 AB 的中点,
CD= AB= 4=2.
E,F 分别为 AC,AD 的中点,
EF 是△ACD 的中位线.
EF= CD= 2=1.
故答案选 B.
考查题型六 利用三角形的中位线证明线段平行
1．（2014·北京中考模拟）如图，△ABC 中，BC >AC，点 D 在 BC 上，且 CA=CD，∠ACB 的平分线交 AD 于点
F，E 是 AB 的中点．
（1）求证：EF∥BD ；
（2）若∠ACB=60°，AC=8，BC=12，求四边形 BDFE 的面积．
1
2
3
2 3
∴ 1
2
∴ ×
∴ 1
2
1
2
×
∴
∴ 1
2
1
2
×18
【答案】（1）证明见解析；（2）6 3.
【解析】
（1）∵ CA=CD，CF 平分∠ACB，∴ CF 是 AD 边的中线．
∵ E 是 AB 的中点，∴ EF 是△ABD 的中位线．
∴ EF∥BD .
（2）∵∠ACB=60°，CA=CD，∴△CAD 是等边三角形．
∴∠ADC=60°，AD=DC=AC=8．∴ BD=BC-CD=4．
如图，过点 A 作 AM⊥BC，垂足为 M ．
∴AM = AD ⋅ sin∠ADC = 4 3．SΔABD = 1
2BD ⋅ AM = 8 3．
∵ EF∥BD ，∴△AEF ∽△ABD ，且EF
BD = 1
2．
∴SΔAEF
SΔABD
= 1
4．∴SΔAEF = 2 3．
四边形 BDFE 的面积=SΔABD - SΔAEF = 6 3．
2．（2015·广东中考真题）（7 分）补充完整三角形中位线定理，并加以证明：
（1）三角形中位线定理：三角形的中位线 ；
（2）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，求证：DE∥BC，DE=1
2BC．19
【答案】（1）平行于第三边，且等于第三边的一半；（2）证明见试题解析．
【解析】
（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
（2）如图，延长 DE 到 F，使 FE=DE，连接 CF，在△ADE 和△CFE 中，∵AE=EC，∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CFE
（SAS），∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴CF∥AB，又∵AD=BD，∴CF=BD，∴四边形 BCFD 是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，∴DE∥BC，DE=1
2BC．
考查题型七 利用三角形中位线证明和差倍分
1．（2013·内蒙古中考真题）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 BC 上的一个动
点，连接 DE，交 AC 于点 F．
（1）如图①，当 时，求 的值；
（2）如图②当 DE 平分∠CDB 时，求证：AF= OA；
（3）如图③，当点 E 是 BC 的中点时，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G，求证：CG= BG．
【答案】解：（1）∵ ，∴ ．
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC，AD=BC．∴△CEF∽△ADF．
CE 1
EB 3
= CE 1
BC 4
=20
∴ ．∴ ．∴ ．
（2）证明：∵DE 平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF．
又∵AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD．
又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD．∴AD=AF．
在 Rt△AOD 中，根据勾股定理得： ，∴AF= OA．
（3）证明：连接 OE，
∵点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点，
∴点 O 是 BD 的中点．
又∵点 E 是 BC 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线．
∴OE∥CD，OE= CD．∴△OFE∽△CFD．
∴ ．∴ ．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD．∴△EGF∽△ECD．∴ ．
在 Rt△FGC 中，∵∠GCF=45°，∴CG=GF．
又∵CD=BC，∴ ．∴ ．∴CG= BG．
知识点三 矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：
1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°
3）对角线相等；
EF CE
DF AD
= EF CE 1
DF BC 4
= = CEF
CDF
S EF 1
S DF 4
∆
∆
= =
2 2AD OA OD 2OA= + = 2
1
2
GF EF 1
CD ED 3
= = CG 1
BG 2
=
GF CG 1
CD BC 3
= =
1
221
几何描述：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD
推论：
1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
2、直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半。
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，
矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
矩形的判定：
1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的面积公式： 面积=长×宽
【考查题型汇总】
考查题型八 利用矩形有关性质解题
1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片 ABCD，沿着 BE 折叠，使 C、D 两点分别落在点 、
处 若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设∠ABE=x，
1C 1D
. 1C BA 50∠ = ABE∠ ( )
10 20 30 4022
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，
所以 50°+x+x=90°，
解得 x=20°．
故选：B
2．（2018·甘肃中考真题）如图，矩形 ABCD 中， ， ， 且 BE 与 DF 之间的距离为
3，则 AE 的长是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图所示：过点 D 作 ，垂足为 G，则 ，
， ， ，
≌ ，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ，解得： ，
故选 C．
3．（2018·新疆中考真题）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿 AE 对折，使得点 B 落在
边 AD 上的点 B1 处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为（ ）
AB 3= BC 4= EB / /DF
( )
7 3
8
7
8
5
8
DG BE⊥ GD 3=
A G∠ ∠= AEB GED∠ ∠= AB GD 3= =
AEB∴ GED
AE EG∴ =
AE EG x= = ED 4 x= −
Rt DEG 2 2 2ED GE GD= + 2 2 2x 3 (4 x)+ = − 7x 8
=23
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】D
【解析】
解：∵沿 AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1 处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形 ABEB1 是正方形，
∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC-BE=8-6=2cm．
故选：D．
4．（2019·山东中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3，动点 P 满足 S△PAB＝ S 矩形 ABCD，则点 P
到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【解析】
解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h．∵S△PAB= S 矩形 ABCD，∴ AB•h= AB•AD，∴h= AD=2，∴动点 P 在与 AB
平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE 就是所
求的最短距离．
在 Rt△ABE 中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= = = ，即 PA+PB 的最小值为 ．故
选 D．
1
3
29 34 2 41
1
3
1
2
1
3
2
3
2 2AB AE+ 2 25 4+ 41 4124
5．（2019·浙江中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠ACB=30°，则∠AOB 的大
小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【解析】
试题分析：∵矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选 B．
考查题型九 矩形的判定方法
1．（2019·湖南中考模拟）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O．过点 C 作 BD 的平行线，过点
D 作 AC 的平行线，两直线相交于点 E．
（1）求证：四边形 OCED 是矩形；
（2）若 CE=1，DE=2，ABCD 的面积是 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【详解】（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．25
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形 OCED 是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形 OCED 是矩形；
（2）由（1）知，平行四边形 OCED 是矩形，则 CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形 ABCD 的面积为： AC•BD= ×4×2=4，
故答案为 4．
2．（2019·湖北中考模拟）如图，△ABC 中，D 是 BC 边上一点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE
的延长线于 F，且 AF=CD，连接 CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若 AB=AC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 ADCF 是矩形，证明见解析.
【详解】（1）∵E 是 AD 的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）连接 DF，
1
2
1
226
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形 ADCF 是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形 ABDF 是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形 ADCF 是矩形．
3．（2019·山东中考模拟）在□ABCD，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF＝BE，连接 AF，BF.
（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；
（2）若 CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF 平分∠DAB．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形 BFDE 是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形 BFDE 是矩形；
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在 Rt△BCF 中，由勾股定理，得27
BC= = =5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即 AF 平分∠DAB．
考查题型十 矩形性质与全等三角形综合
1．（2019·湖北中考模拟）如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，F 是 AB 上的一点，EF⊥EC，且 EF＝
EC．
（1）求证：△AEF≌△DCE．
（2）若 DE＝4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6cm.
【解析】
（1）证明：∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．
在 Rt△AEF 和 Rt△DEC 中，
∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．
∴△AEF≌△DCE．
（2）解：∵△AEF≌△DCE．
AE=CD．
AD=AE+4．
∵矩形 ABCD 的周长为 32cm，
∴2（AE+AE+4）=32．
解得，AE=6（cm）．
答：AE 的长为 6cm．
2 2FC FB+ 2 23 4+28
2．（2019·西安交通大学附属中学中考模拟）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，
垂足分别为点 M，N，求证：DP＝MN．
【答案】见解析
【详解】
证明：如图，连结 PB．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．
∵在△CBP 和△CDP 中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS）．
∴DP＝BP．
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°
∴四边形 BNPM 是矩形．
∴BP＝MN．
∴DP＝MN．
3．（2017·江苏中考模拟）如图，在□ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 AC、CE、AF．
（1）求证△ABF ≌ △CDE；
（2）若 AB＝AC，求证四边形 AFCE 是矩形．29
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）、∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB＝CD,AD＝BC，∠B＝∠D．
∵ E、F 分别是 AD、BC 的中点， ∴ DE＝AE＝ AD， BF＝CF＝ BC．∴ BF＝DE，CF＝AE．
∴ △ABF≌△CDE(SAS)．
（2）∵△ABF≌△CDE(SAS)， ∴ AF＝CE． 又∵CF＝AE，
∴四边形 AFCE 是平行四边形． ∵AB＝AC, F 分别是 BC 的中点， ∴AF⊥BC．
即∠AFC＝90°． ∴四边形 AFCE 是矩形．
知识点四 菱形
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
1、 菱形具有平行四边形的所有性质；
2、菱形的四条边都相等；
几何描述：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=BC=CD=AD
3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
几何描述：∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD,AC 平分∠BAD, CA 平分∠BCD，BD 平分∠CBA，DB 平分∠ADC
3、菱形 既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对
角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
菱形的判定：
1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2、四条边相等的四边形是菱形。
A30
3、一组邻边相等的平行四边形。
菱形的面积公式：菱形 ABCD 的对角线是 AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝
【考查题型汇总】
考查题型十一 利用菱形的性质解题
1．（2018·新疆中考真题）如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是
AB，BC 边上的中点，则 MP+PN 的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】
解：如图
，
作点 M 关于 AC 的对称点 M′，连接 M′N 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值，最小值为 M′N 的长．
∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，M 是 AB 边上的中点，
∴M′是 AD 的中点，
又∵N 是 BC 边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形 ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即 MP+NP 的最小值为 1，
故选 B．
2．（2019·广西中考模拟）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AB=5，AC=6，则 BD 的长是
1
2 AC BD× ×
1
2 231
（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】A
【解析】
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OB＝ ＝ ＝4，
∴BD＝2OB＝8，
故选 A．
3．（2019·山东中考模拟）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD
的周长为 16，∠BAD＝60°,则△OCE 的面积是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【详解】∵菱形 ABCD 的周长为 16，∴菱形 ABCD 的边长为 4，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD 是等边三角形，
又∵O 是菱形对角线 AC、BD 的交点，
∴AC⊥BD，
在 Rt△AOD 中，
2 2AB OA− 2 25 3−
3 2 332
∴AO= ，
∴AC=2AO=4 ，
∴S△ACD= OD·AC= ×2×4 =4 ，
又∵O、E 分别是中点，
∴OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴ ，
∴ ，
∴S△COE= S△CAD= ×4 = ，
故选 A.
4．（2018·江苏中考真题）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
【答案】A
【解析】
由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且 AO⊥BO，
则 AB= =5，
故这个菱形的周长 L=4AB=20．
故选 A．
2 2 16 4 2 3AD OD− = − =
3
1
2
1
2 3 3
1
2
OE
AD
=
1
4
COE
CAD
S
S
=
1
4
1
4 3 3
1
2
1
2
2 2AO BO+33
5．（2018·广东中考模拟）如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，∠BAD=60°，则花坛对角线 AC
的长等于（ ）
A．6 3米 B．6 米 C．3 3米 D．3 米
【答案】A
【解析】
因为菱形周长为 24 米，所以边长为 6 米，因为∠BAD = 60°，所以∠BAO=30°，∴OA=3 3米,∴AC= 6 3
米.
故选 A.
考查题型十二 菱形的面积计算
1．（2019·山东中考模拟）如图，在菱形 中， ，对角线 ，若过点 作 ，
垂足为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
连接 BD 交 AC 于 O，
∵四边形 ABCD 是菱形，
ABCD 13AB = 10AC = A AE BC⊥
E AE
8 60
13
120
13
240
1334
∴AC⊥BD，OA= AC= ×10=5，
∵AB=13=BC，
由勾股定瑆得：OB= = =12，
∴BD=2OB=24，
∵AE⊥BC，
∴S 菱形 ABCD=BC•AE= AC•BD，
13AE= ×10×24，
AE= ，
故选 C．
2．（2015·广西中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形 ABCD 的面积是（ ）
A．18 B．18 3 C．36 D．36 3
【答案】B
【解析】
试题分析：过点 A 作 AE⊥BC 于 E，如图，∵在菱形 ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BC，∴AE=3 3，∴菱形 ABCD 的面积是6 × 3 3=18 3，故选 B．
3．（2019·江苏中考模拟）如图，菱形 中 ，对角线 ， 相交于点 ，点 是
中点，且 ，则 的面积为（ ）
1
2
1
2
2 2AB OA− 2 213 5−
1
2
1
2
120
13
ABCD 60ABC∠ = AC BD O E AB
4AC = BOE∆35
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】
∵菱形 ABCD 中∠ABC=60°，
∴AB=BC，OA=OC，
∴△ABC 是等边三角形，
∵AC=4，
∴OA=2，OB=2 ，
∴△ABC 的面积= AC•OB＝ ×4×2 ＝4 ，
∵点 E 是 AB 中点，OA=OC，
∴OE 是△ABC 的中位线，
∴△BOE 的面积= △ABC 的面积= ×4 ＝ ，
故选：A．
4．（2018·广东中考模拟）一个菱形的两条对角线的长分别为 5 和 8，那么这个菱形的面积是
A．40 B．20 C．10 D．25
【答案】B
【解析】
根据菱形的面积=对角线之积的一半，可知菱形的面积为 5×8÷2=20.
故选 B.
5．（2011·湖北中考真题）已知一个菱形的周长是 20cm，两条对角线的比是 4：3，则这个菱形的面积是
（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
【答案】B
【详解】
解：设菱形的对角线分别为 8x 和 6x，
已知菱形的周长为 20cm，故菱形的边长为 5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
3 2 3 3 3
3
1
2
1
2 3 3
1
4
1
4 3 3
( )36
解得 x=1，
故菱形的对角线分别为 8cm 和 6cm，
所以菱形的面积= ×8×6=24cm2，
故选 B．
考查题型十三 菱形的判定
1．（2019·山东中考模拟）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE=DF．
（1）求证：▱ABCD 是菱形；
（2）若 AB=5，AC=6，求▱ABCD 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）S 平行四边形 ABCD =24
【详解】
（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形；
（2）连接 BD 交 AC 于 O，
∵四边形 ABCD 是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC= AC= ×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO= = =4，
∴BD=2BO=8，
1
2
1
2
1
2
2 2AB AO− 2 25 3−37
∴S 平行四边形 ABCD= ×AC×BD=24．
2．（2018·北京中考真题）如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点
， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
（1）证明：∵ ∥ ，
∴
∵ 平分
∴ ，
∴
∴
又∵
∴
又∵ ∥ ，
∴四边形 是平行四边形
又∵
∴ 是菱形
（2）解：∵四边形 是菱形，对角线 、 交于点 ．
1
2
ABCD AB DC AB AD= AC BD
O AC BAD∠ C CE AB⊥ AB E OE
ABCD
5AB = 2BD = OE
AB CD
CAB ACD∠ = ∠
AC BAD∠
CAB CAD∠ = ∠
CAD ACD∠ = ∠
AD CD=
AD AB=
AB CD=
AB CD
ABCD
AB AD=
ABCD
ABCD AC BD O38
∴ ． ， ，
∴ ．
在 中， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ． 为 中点．
∴ ．
考查题型十四 菱形的性质与判定综合
1.（2019·北京中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，BD 的垂直平分线分别交 AB、CD、BD 于 E、F、O，连接
DE、BF．
（1）求证：四边形 BEDF 是菱形；
（2）若 AB＝8cm，BC＝4cm，求四边形 DEBF 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）20cm2．
【详解】
证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF
在△BOE 和△DOF 中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，且 OB＝OD
∴四边形 BEDF 是平行四边形，
∵EF 垂直平分 BD
∴BE＝DE
AC BD⊥ 1
2OA OC AC= = 1
2OB OD BD= =
1 12OB BD= =
Rt AOB 90AOB∠ = °
2 2 2OA AB OB= − =
CE AB⊥
90AEC∠ = °
Rt AEC 90AEC∠ = ° O AC
1 22OE AC OA= = =39
∴四边形 BEDF 是菱形
（2）∵四边形 BEDF 是菱形
∴BE＝DE，
在 Rt△ADE 中，DE2＝AE2+DA2，
∴BE2＝（8﹣BE）2+16，
∴BE＝5
∴四边形 DEBF 的面积＝BE×AD＝20cm2．
2．（2018·云南中考模拟）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，且 DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形 OCED 是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形 OCED 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【详解】
证明： ， ，
四边形 OCED 是平行四边形，
矩形 ABCD， ， ， ，
，
四边形 OCED 是菱形；
在矩形 ABCD 中， ， ， ，
，
，
连接 OE，交 CD 于点 F，
2 3
( )1 CE / /OD DE / /OC
∴
AC BD∴ = 1OC AC2
= 1OD BD2
=
OC OD∴ =
∴
( )2 ABC 90∠ = BAC 30∠ = AC 4=
BC 2∴ =
AB DC 2 3∴ = =40
四边形 OCED 为菱形，
为 CD 中点，
为 BD 中点，
，
，
．
知识点五 正方形
正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：
1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。
2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3、正方形对边平行且相等。
4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
正方形的判定：
1）有一个角是直角的菱形是正方形；
2）对角线相等的菱形是正方形；
3）一组邻边相等的矩形是正方形；
4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
F∴
O
1OF BC 12
∴ = =
OE 2OF 2∴ = =
OCED
1 1S OE CD 2 2 3 2 32 2
∴ = × × = × × =菱形41
正方形的面积公式：面积=边长×边长=1
2对角线×对角线
【考查题型汇总】
考查题型十五 利用正方形性质解题
1．（2019·江苏中考模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、F 分别在 AB，AD 上，若 CE=3 ，且
∠ECF=45°，则 CF 长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【详解】
解：如图，延长 FD 到 G，使 DG=BE，连接 CG、EF
∵四边形 ABCD 为正方形，在△BCE 与△DCG 中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS）
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE
∴∠GCF=45°
在△GCF 与△ECF 中
∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF
∴△GCF≌△ECF（SAS）
∴GF=EF
∵CE= ，CB=6
∴BE= = =3
∴AE=3，设 AF=x，则 DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x
∴EF= =
∴
∴x=4，即 AF=4
∴GF=5
5
10 5 5 10
3
10 5
3
2 2CE CB− 2 2(3 5) 6−
2 2AE x+ 29 x+
2 2(9 ) 9x x− = +42
∴DF=2
∴CF= = =
故选 A．
2．（2018·甘肃中考真题）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF
的位置，若四边形 AECF 的面积为 25，DE=2，则 AE 的长为（ ）
A．5 B． C．7 D．
【答案】D
【详解】
∵把△ADE 顺时针旋转△ABF 的位置，
∴四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt△ADE 中，
故选 D．
3．（2019·福建厦门双十中学思明分校中考模拟）如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE
相交于点 F，则∠BFC 为（ ）
2 2CD DF+ 2 26 2+
23 29
2 2 29,AE AD DE= + =43
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B
【详解】
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE 是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝ （180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；
故选：B．
4．（2018·湖北中考真题）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角线 AC 上的两点，
EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等，
1
2
1
2
1
3
1
444
∴S 阴= S 正方形 ABCD= ，
故选：B．
5．（2019·河南中考模拟）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正
方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y
轴正半轴上点 D′处，则点 C 的对应点 C′的坐标为
A．（ ，1） B．（2，1）
C．（2， ） D．（1， ）
【答案】C
【详解】
解：∵AD′=AD=2，
AO= AB=1，
OD′= ，
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C′（2， ），
故选 D．
考查题型十六 正方形的判定
1．（2018·浙江中考真题）如图，等边 的顶点 ， 在矩形 的边 ， 上，且
.
求证：矩形 是正方形.
1
2
1
2
3
3 3
1
2
2 2AD O 3A′ − =
3
AEF∆ E F ABCD BC CD
45CEF∠ =
ABCD45
【答案】证明见解析.
【解答】∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∴矩形 是正方形.
2．（2019·湖南中考模拟）如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BD 上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，
点 G 是 BC，AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）当 AE＝3EF，DF＝1 时，求 GF 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】
ABCD
90B D C ∠ = ∠ = ∠ =
AEF∆
AE AF= 60AEF AFE∠ = ∠ =
45CEF∠ =
45CFE CEF∠ = ∠ =
180 45 60 75AFD AEB∠ = ∠ = − − =
AEB∆ ( )AFD AAS∆
AB AD=
ABCD
2 1046
（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE，
即∠DAE＝∠DCE，
在△AED 和△CED 中，
，
∴△AED≌△CED（AAS），
∴AD＝CD，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴四边形 ABCD 是正方形；
（2）在正方形 ABCD 中，AB∥CD，
∴△AEB∽△FED，
∴ ，
∵AE＝3EF，DF＝1，
∴AB＝3DF＝3，
∴CD＝AD＝AB＝3，
∴CF＝CD﹣DF＝3﹣1＝2，
∵AD∥CG，
∴△ADF∽△GCF，
∴ ，
∴CG＝2AD＝6，
在 Rt△CFG 中，GF＝ ．
考查题型十七 正方形性质与判定的综合
1．（2018·贵州中考真题）如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E、F 分别在 AB、BC 上（AE＜BE），且
∠EOF=90°，OE、DA 的延长线交于点 M，OF、AB 的延长线交于点 N，连接 MN．
DAE DCE
AED CED
DE DE
∠ = ∠
∠ = ∠
=
AB AE
DF EF
=
1
2
AD DF
CG CF
= =
2 2 222 6 2 10CF CG+ = + =47
（1）求证：OM=ON．
（2）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长．
【答案】（1）见解析；（2）MN =2 ．
【详解】
（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，
∴∠OAM=∠OBN=135°，
∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM=ON；
（2）如图，过点 O 作 OH⊥AD 于点 H，
∵正方形的边长为 4，
∴OH=HA=2，
∵E 为 OM 的中点，
∴HM=4，
则 OM= =2 ，
∴MN= OM=2 ．
2．（2018·甘肃中考真题）已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的
10
2 22 4+ 5
2 1048
中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设 AD=a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积．
【答案】见解析（2）
【详解】
（1）连接 EF，∵点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点，
∴FH∥BE，FH= BE，FH=BG，
∴∠CFH=∠CBG，
∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC，
（2）当四边形 EGFH 是正方形时，连接 GH，可得：EF⊥GH 且 EF=GH，
∵在△BEC 中，点 G，H 分别是 BE，CE 的中点，
∴ 且 GH∥BC，
∴EF⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB=EF=GH= a，
∴矩形 ABCD 的面积=
3．（2018·贵州中考模拟）如图，点 E 是正方形 ABCD 外一点，点 F 是线段 AE 上一点，△EBF 是等腰直角三
角形，其中∠EBF=90°，连接 CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF 的形状，并说明理由．
21
2 a
1
2
1 1 1 ,2 2 2GH BC AD a= = =
1
2
21 1 .2 2AB AD a a a⋅ = ⋅ =49
【答案】（1）证明见解析（2）△CEF 是直角三角形
【解析】
（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE．
在△ABF 和△CBE 中，有{
AB = CB
∠ABF = ∠CBE
BF = BE
，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．
（2）△CEF 是直角三角形．理由如下：
∵△EBF 是等腰直角三角形，
∴∠BFE=∠FEB=45°，
∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，
又∵△ABF≌△CBE，
∴∠CEB=∠AFB=135°，
∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，
∴△CEF 是直角三角形．
知识点六 梯形
梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角
梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形
.
等腰梯形性质：50
1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；
2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；
3）等腰梯形的两条对角线相等；
4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。
等腰梯形判定：
1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
梯形的面积公式：面积=1
2×（上底+下底）×高
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；
2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；
3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形；
4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且
这个三角形面积与原来的梯形面积相等.
5）平移腰。过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形。
6）过上底中点平移两腰。
【考查题型汇总】
考查题型十八 利用梯形的性质解题
1．（2009·辽宁中考真题）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AE∥DC，∠AEB =60°，AB =AD= 2cm，则梯
形 ABCD 的周长为 ( )51
A．6cm
B．8cm
C．10cm D．12cm
【答案】C
【解析】
解：由 AD∥BC，AE∥DC，易得四边形 ADCE 是平行四边形，所以 AE=2cm．再由∠AEB=60°，可得△ABE 是等
边三角形，所以 BE=2cm，所以梯形 ABCD 的周长为 10cm．故选 C．
2．（2012·湖北中考真题）．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 M 是 AD 的中点，且 MB=MC，若 AD=4，AB=6，
BC=8，则梯形 ABCD 的周长为（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【答案】B
【解析】
解：∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
又∵MC=MB，
∴∠MBC=∠MCB，
∴∠AMB=∠DMC，
在△AMB 和△DMC 中，
∵AM=DM，MB=MC，∠AMB=∠DMC
∴△AMB≌△DMC，
∴AB=DC，
四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=24．52
故选 B．
3．（2013·上海中考真题）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC 和 BD 交于点 O，下列条件中，能判断梯形 ABCD
是等腰梯形的是（ ）
A．∠BDC =∠BCD B．∠ABC =∠DAB C．∠ADB =∠DAC D．∠AOB =∠BOC
【答案】C
【解析】
试题分析：根据等腰梯形的判定，逐一作出判断：
A.由∠BDC =∠BCD 只能判断△BCD 是等腰三角形，而不能判断梯形 ABCD 是等腰梯形；
B.由∠ABC =∠DAB 和 AD∥BC，可得∠ABC =∠DAB=900，是直角梯形，而不能判断梯形 ABCD 是等腰梯形；
C.由∠ADB =∠DAC，可得 AO=OD，由 AD∥BC，可得∠ADB =∠DBC，∠DAC =∠ACB，从而得到∠DBC =∠ACB，
所以 OB=OC，因此 AC=DB，根据对角线相等的梯形是等腰梯形可判定梯形 ABCD 是等腰梯形；
D.由∠AOB =∠BOC 只能判断梯形 ABCD 的对角线互相垂直，而不能判断梯形 ABCD 是等腰梯形。
故选 C。
4．（2012·河北中考模拟）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD 的大小是
( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】
∵AB∥DC，AD=DC=CB，∠ABD=25°，∴∠CBD=∠CDB=∠ABD=25°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=50°，又梯形 ABCD 中，AD=DC=CB，∴为等腰梯形，
∴∠BAD=∠ABC=50°，故选 C．
5．（2015·上海中考模拟）如图，已知在梯形 中， ∥ ， ，如果对角线 与ABCD AD BC 2BC AD= AC BD53
相交于点 ，△ 、△ 、△ 、△ 的面积分别记作 、 、 、 ，那么下列结论
中，不正确的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ；
【答案】B
【详解】
因为在梯形 中， ∥ ，所以△AOD∽△COB,所以 ，因为 ，所以
，所以 ，故选 B.
知识点七 四边形之间的区别与联系
四边形之间的从属关系
特殊四边形的性质与判定：
O AOB BOC COD DOA 1S 2S 3S 4S
1 3S S= 2 42S S= 2 12S S= 1 3 2 4S S S S⋅ = ⋅
ABCD AD BC 24
2
( )s AD
s BC
= 2BC AD=
4
2
1
4
s
s
= 2 44S S=54
考查题型十八 四边形综合
1．（2018·重庆中考真题）如图，在平行四边形 中，点 是对角线 的中点，点 是 上一点，
且 ，连接 并延长交 于点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，交 于点 .
ABCD O AC E BC
AB AE= EO AD F B AE H AC G55
（1）若 ， ，求 的面积；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【详解】（1） ，
，
又 在 中， ，
；
（2）过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，交 BG 于点 K，过点 G 作 GN⊥BC 于点 N，
=90°，
=45°，
=45°
，
，
，
=90°，
，
=180°，
3AH = 1HE = ABE∆
45ACB °∠ = 2DF CG=
2 7
AH 3 HE 1= =，
∴ AB AE AH HE 4= = + =
Rt ABH∆ 2 2 2 2BH AB AH 4 3 7= − = − =
ABE
1 1S AE BH 4 7 2 72 2∆∴ = = × × =
∴ AMB AME BNG∠ ∠ ∠= =
ACB∠
∴ MAC ACB NGC∠ ∠ ∠= =
AB AE=
1BM ME BE BAM EAM2
∠ ∠∴ = = =，
AE BG⊥又
AHK∠∴
AHK BMK∆ ∆在 和 中
AHK MAE AHK∠ ∠ ∠+ +56
=180°，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
AMB NBG BKM∠ ∠ ∠+ +
MAE NBG∠ ∠∴ =
BAM MAE NBG α∠ ∠ ∠= = =设
BAG MAC BAM 45 α∠ ∠ ∠∴ = + = °+
BGA ACB NBG 45 α∠ ∠ ∠= + = °+
BAG BGA∠ ∠∴ =
AB BG∴ =
AE BG∴ =
AME BNG∆ ∆在 和 中
AME BNG
MAE NBG
AE BG
∠ = ∠
∠ = ∠
=
( )AME BNG AAS∴∆ ≅ ∆
ME NG∴ =
Rt ABE NG NC∆ =在等腰 中，
2GC 2NG 2ME BE2
∴ = = =
BE 2GC∴ =
O AC 为 的中点
OA OC∴ =
ABCD四边形 为平行四边形
AD BC AD BC∴ = ，
OAF OCE∠ ∠∴ =
AFO CEO∠ ∠=
( )AFO CEO AAS∴∆ ≅ ∆
AF CE∴ =57
，
，
.
2．（2018·海南中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8cm，BC＝16cm，点 P 从点 D 出发向点 A 运动，运
动到点 A 停止，同时，点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，运动到点 C 即停止，点 P、Q 的速度都是 1cm/s．连接
PQ、AQ、CP．设点 P、Q 运动的时间为 ts．
(1)当 t 为何值时，四边形 ABQP 是矩形；
(2)当 t 为何值时，四边形 AQCP 是菱形；
(3)分别求出(2)中菱形 AQCP 的周长和面积．
【答案】（1）8；（2）6；（3）,40cm,80cm2.
【详解】
（1）当四边形 ABQP 是矩形时，BQ=AP，即：t=16-t，
解得 t=8．
答：当 t=8 时，四边形 ABQP 是矩形；
（2）设 t 秒后，四边形 AQCP 是菱形
当 AQ=CQ，即 =16-t 时，四边形 AQCP 为菱形．
解得：t=6．
答：当 t=6 时，四边形 AQCP 是菱形；
（3）当 t=6 时，CQ=10，则周长为：4CQ=40cm，
面积为：10×8=80（cm2）．
AD AF BC CE∴ − = −
DF BE=即
DF BE 2CG∴ = =
2 28 t+
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