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资料简介
1
专题 07 不等式（组）
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用符号“ ”或“ ”表示大小关系的式子，叫作不等式.像 a 3 这样用符号“ ”表示< > ≠ ≠2
不等关系的式子也是不等式。
【注意】
1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。
2.常用的不等号有“ ”五种.“ ”“ ”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边
的大小；“ ”“ ”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或
等于）；“ ”表示左右两边不相等。
3.在不等式 a>b 或 ab，则 a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质 2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于 0 的整式，不等号方向不变，即
若 a>b,c>0，则 ac>bc（或a
c > b
c）
基本性质 3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，即
若 a>b,cc，则 a>c。
基本性质 6：如果 ， ，那么 .
【注意】
a a a a
, , , ,> < ≤ ≥ ≠ > <
≥ ≤
≠
x a> x a< x a≥ x a≤
a b> c d> a c b d+ > +3
1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质 2 和性质 3 的区别，当不等式两边乘（或
除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。
2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子
不同点：
1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立
2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向
发生改变；
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
【典型例题】
1．（2019·阜宁县容山中学初一期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x < y B． C． D．
【答案】D
【详解】
A、是二元一次不等式，故错误；
B、是二元二次不等式，故选项错误
C、含有分式，不是一元一次不等式，故选项错误；
D、是一元一次不等式，
故选 D.
2．（2019·重庆市南坪中学校初二期中）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】A
【详解】
① 是一元一次不等式；② 是一元二次不等式；③ 是分式；④ 是二元
一次不等式；⑤ 是一元一次不等式；⑥ 是二元一次不等式，故正确的有两个故选 A.
【考查题型】
考查题型一 不等式性质的应用
2 2 0a b+ > 1 1x
> 3
4 x − 4 03
<
5x < ( 5) 5x x − < 1 5x
< 2 5x y y+ < + 2 5a − <
3
yx ≤
5x < ( 5) 5x x − < 1 5x
< 2 5x y y+ < +
2 5a − <
3
yx ≤4
1．（2019·四川中考真题）若 ，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：A、不等式的两边都加 3，不等号的方向不变，故 A 错误；
B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故 B 错误；
C、不等式的两边都除以 3，不等号的方向不变，故 C 错误；
D、如 ；故 D 正确；
故选：D．
2.（2019·浙江中考真题）已知四个实数 a，b，c，d，若 a>b，c>d，则（ ）
A．a+c>b+d B．a-c>b-d C．ac>bd D．
【答案】A
【详解】
A. ∵a>b，c>d，∴ a+c>b+d，正确；
B.如 a=3,b=1,c=2，d=-5 时， a-c=1，b-d =6，此时 a-c
4a
c
= − 1b
d
= − a b
c d
或 ≠
1 3x + > 4 02
y− > 0x y− > 2 5 3xx
+ ≥6
一元一次方程 一元一次不等式
解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数
（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个
不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式
子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变
解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④
合并同类项；⑤未知数的系数化
为 1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同
类项；⑤未知数的系数化为 1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除
以）是负数，不等号要改变方向
解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解
【典型例题】
1．（2018·广东中考模拟）不等式 2x－5≥－1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
解：不等式 2x-5≥-1 的解集为 x≥2．
故选 B．
2．（2019·太原市第五十三中学初二期中）用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ）
A．x≥-2 B．x≤-2 C．x＜-2 D．x＞-2
【答案】D
【详解】
解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示-2 的点是空心圆点
∴x＞-2
故选：D．
3．（2019·河北初一期末）已知2a + 3x = 6，要使x是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a > 3 B．a < 3 C．a < -3 D． -3 < a < 3
【答案】A7
【详解】
∵2a + 3x = 6
∴x=6 - 2a
3
∵x是负数，
∴6 - 2a
3 ＜0
解得a > 3
故选 A.
【考查题型汇总】
考查题型二 求一元一次不等式的特解的方法
1．（2019·江苏中考真题）不等式 的非负整数解有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【详解】
解： ，
解得： ，
则不等式 的非负整数解有：0，1，2，3 共 4 个．
故选：D．
2．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 3（x﹣1）≤5﹣x 的非负整数解有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【解析】
解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有 0、1、2 这 3 个，故答案选 C．
3．（2017·广东中考模拟）如图，直线 与 的交点的横坐标为 ，则关于
的不等式 的整数解为（ ）.
1 2x − ≤
1 2x − ≤
3x ≤
1 2x − ≤
y x m= − + ( )4 0y nx n n= + ≠ 2− x
4 0x m nx n− + > + >8
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
当 时，对于 ，则 ．故 的解集为 ． 与
的交点的横坐标为 ，观察图象可知 的解集为
． 的解集为 ． 为整数， ．
4．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 的最小整数解是__．
【答案】0
【详解】
解 的解集为 x＞-1，
∴最小整数解为 0
考查题型三 确定不等式中字母的取值范围的方法
1．（2019·黑龙江中考真题）已知 x=4 是不等式 ax-3a-1＜0 的解，x=2 不是不等式 ax-3a-1＜0 的解，则实
数 a 的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【详解】
解：∵x=4 是不等式 ax-3a-1＜0 的解，
∴4a-3a-1＜0，
解得：a＜1，
∵x=2 不是这个不等式的解，
1− 5−
4− 3−
0y = ( )4 0y nx n n= + ≠ 4x = − 4 0nx n+ > 4x > − y x m= − +
( )4 0y nx n n= + ≠ 2− 4x m nx n− + > +
2x < − 4 0x m nx n∴− + > + > 4 2x− < < − x 3x∴ = −
3 1 22
x − > −
3x 1 22
− > −9
∴2a-3a-1≥0，
解得：a≤-1，
∴a≤-1，
故答案为：a≤-1．
2．（2019·四川中考真题）关于 的不等式 只有 2 个正整数解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：解不等式 2x+a≤1 得： ,
不等式有两个正整数解，一定是 1 和 2，
根据题意得：
解得：-5＜a≤-3．
故选：C．
3．（2012·江苏中考模拟）已知关于 x 的不等式 x≥a-1 的解集如图所示,则 a 的值为__.
【答案】0
【解析】
由图可得 ， ,
考查题型四 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法
1．（2019·河南中考模拟）若不等式组 的解集是﹣1＜x≤1，则 a＝_____，b＝_____．
【答案】-2 -3
【详解】
解：由题意得：
解不等式 ① 得: x>1+a ,
解不等式②得:x≤
x 2 1x a+ ≤ a
5 3a− < < − 5 3a− ≤ < − 5 3a− < ≤ − 5 3a− ≤ ≤ −
1
2
ax
−
12 32
a−
+ ≥
1
3 0
x a
bx
− >
+ ≥
①
②
3
b
−10
不等式组的解集为: 1+a＜x≤
不等式组的解集是﹣1＜x≤1,
..1+a=-1, =1,
解得:a=-2,b=-3
故答案为: -2, -3.
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式
组的解集。
不等式组解集的确定方法：
【注意】
1、 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。
2、 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
1. 求出不等式组中各不等式的解集
2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。
3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
【考查题型汇总】
考查题型五 一元一次不等式组的解集的确定方法
3
b
−
∴ 3
b
−11
1．（2018·湖南中考真题）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解不等式 x+2＞0，得：x＞-2，
解不等式 2x-4≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为-2＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
故选 C．
2．（2019·山东中考模拟）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
详解：解不等式组 得－3＜x≤2，
在数轴上表示为：
故选 D.
3．（2019·江苏中考模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
2 0
2 4 0
x
x
+ >
− ≤
2 0
11 03
x
x
− ≤ + >
2 0
11 03
x
x
− ≤ > ＋12
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为 ，
故选 D．
4．（2019·广东中考模拟）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【详解】
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜1，
在数轴上表示为： ，
故选 A．
考查题型六 求一元一次不等式组的整数解的方法
1．（2019·台湾中考真题）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买 盒
蛋糕，花费的金额不超过 元．若他将蛋糕分给 位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少
元购买蛋糕？（ ）
2
3
x
x
≥
> −
2
3
x
x
≤
< −
2
3
x
x
≥
< −
2
3
x
x
≤
> −
2
3
x
x
≤
−
2 1 3
3 1 2
x
x
+
+ ≥ −
＜
2 1 3
3 1 2
x
x
+
+ ≥ −
＜ ①
②
10
2500 7513
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：设阿慧购买 盒桂圆蛋糕，则购买 盒金爽蛋糕，依题意有
，
解得 ，
是整数，
，
（元）．
答：阿慧花 元购买蛋糕．
故选：D．
2．（2019·四川中考真题）红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100
元的商品共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完．若所
获利润大于 750 元，则该店进货方案有( )
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种
【答案】C
【详解】
解：设该店购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，
根据题意，得： ，
2150 2250 2300 2450
x ( )10 x−
( )
( )
350 200 10 2500
12 6 10 75
x x
x x
+ − ≤ + − ≥
1 12 32 3x≤ ≤
x
3x∴ =
( )350 3 200 10 3× + × −
1050 1400= +
2450=
2450
x ( )50 x−
( )
( )
60 100 50 4200
10 20 50 750
x x
x x
+ − ≤ + − >14
解得： ，
∵ 为整数，∴ 、21、22、23、24，
∴该店进货方案有 5 种，
故选：C．
3．（2019·浙江中考模拟）如图，等腰三角形 ABC 的周长为 20cm，底边 BC 长为 y（cm），腰 AB 长为 x
（cm）.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）求 x 的取值范围；
（3）腰长 AB=3 时，底边的长．
【答案】（1）y＝20﹣2x；（2）5＜x＜10；（3）14．
【详解】
（1）∵等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，周长为 20，
∴y＝20﹣2x，
（2）{2x > 20 - 2x
20 - 2x > 0 ，
解得：5＜x＜10．
所以 x 的取值范围为 5＜x＜10.
（3）将x = 3代入 y＝20﹣2x 得y = 14，所以底边的长为 14.
考查题型七 求一元一次方程组中的待定字母的值
1．（2017·内蒙古中考模拟）若不等式组{2x - a < 1
x - 2b > 3的解集为﹣1＜x＜1，那么(a+1)(b﹣1)的值等于
_____．
【答案】4
【解析】
20 25x≤ <
x 20x =15
先解不等式组，再对照已知解集 -1 < x < 1，即可求出 a、b 的值．
解不等式组，得x < a + 1
2 ,且 x > 3 + 2b对照已知解集 -1 < x < 1有
{
a + 1
2 = 1
3 + 2b = -1
解得{ a = 1
b = -2 ∴ (a + 1)(b - 1) = (1 + 1)( -1 - 2) = -6
2．（2012·四川中考真题）如果关于 x 的不等式组：{3x - a ≥ 0
2x - b ≤ 0，的整数解仅有 1，2，那么适合这个不
等式组的整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有___________个．
【答案】6
【详解】
{3x - a ≥ 0①
2x - b ≤ 0②，
由①得：x ≥ a
3 ；由②得：x ≤ b
2 ．
∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：a
3 ≤ x ≤ b
2 ．
∵不等式组整数解仅有 1，2，如图所示：
，
∴0＜a
3 ≤1，2≤b
2 ＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6．
∴a=1，2，3，b=4，5．
∴整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有 3×2=6 个．
3．（2018·四川中考真题）若不等式组{ x - a > 2
b - 2x > 0的解集为 ，则(a + b)2009 = ________.
【答案】-1
【解析】
由不等式得 x＞a+2，x＜1
2b，
∵-1＜x＜1，
∴a+2=-1，1
2b=1
∴a=-3，b=2，
∴（a+b）2009=（-1）2009=-1．
故答案为-1．
1 1x− < 3；
解②得，x>m，
∵不等式组 的解集是 x>3，
则 m⩽3.
故选：C.
2．（2019·四川中考真题）若关于 的代等式组 恰有三个整数解，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【详解】
解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴这三个整数解为 0、1、2，
∴ ，
8 4 1x x
x m
+ < −
>
8 4 1x x
x m
+ < −
>
①
②
8 4 1x x
x m
+ < −
>
x
1 02 3
3 5 4 4( 1) 3
x x
x a x a
+ + >
+ + > + +
a
31 2a
1 02 3
x x ++ > 2
5x > −
( )2 5 4 4 1 3x a x a+ + > + + 2x a<
2 2 3a< ≤17
解得 ，
故选：B．
3.若关于 x 的一元一次不等式组 有解，则 m 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解 ，
∵不等式组有解，∴2m＞2﹣m.
∴ .故选 C.
知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，
如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.
（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.
（4）解：解出所列不等式的解集.
（5）验：检验答案是否符合题意.
（6）答：写出答案.
在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难
点.以上过程可简单表述为: .
【考查题型汇总】
考查题型九 利用一元一次不等式（组）解决实际问题的方法
1．（2019·湖北中考真题）某县有 A、B 两个大型蔬菜基地，共有蔬菜 700 吨.若将 A 基地的蔬菜全部运往
甲市所需费用与 B 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从 A、B 两基地运往甲、乙两市的运费单价如下
表:
31 2a< ≤
x 2m2
−
+
2m> 3
− 2m 3
≤ 2m> 3
2m 3
≤ −
x 2m2 m
− ⇒ + −
2m> 3
→ →分析 求解
抽象 检验问题 不等式 解答18
（1）求 A、B 两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？
（2）现甲市需要蔬菜 260 吨，乙市需要蔬菜 440 吨.设从 A 基地运送 吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使
总运费最少？
【答案】（1）A、B 两基地的蔬菜总量分别为 300 吨和 400 吨；（2）当 A 基地运 300 吨到乙市，B 基地运 260
吨到甲市，B 基地运 140 吨到乙市时，总运费最少为 14760 元.
【详解】
（1）设 A、B 两基地的蔬菜总量分别为 吨、 吨.
根据题意得：
解得： ，
答：A、B 两基地的蔬菜总量分别为 300 吨和 400 吨.
（2）由题可知：
∴
∵
.
∵4>0，
∴ 随 的增大而增大，
∴ =14760.
答：当 A 基地运 300 吨到乙市，B 基地运 260 吨到甲市，B 基地运 140 吨到乙市时，总运费最少为 14760 元.
2．（2019·辽宁中考模拟）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的
2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
m
x y
700
20 15
x y
x y
+ =
=
300
400
x
y
=
=
0
260 0
300 0
400 (260 ) 0
m
m
m
m
≥
− ≥ − ≥
− − ≥
0 260m≤ ≤
( )20 25(300 ) 15(260 ) 24 400 260w m m m m = + − + − + − −
4 14760m= +
w m
minw19
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲、乙两种图书的
总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【答案】（1）乙图书每本价格为 20 元，则甲图书每本价格是 50 元；（2）该图书馆最多可以购买 28 本乙
图书．
【详解】
解：（1）设乙图书每本价格为 元，则甲图书每本价格是 元，
根据题意可得： ，
解得： ，
经检验得： 是原方程的根，
则 ，
答：乙图书每本价格为 20 元，则甲图书每本价格是 50 元；
（2）设购买甲图书本数为 ，则购买乙图书的本数为： ，
故 ，
解得： ，
故 ，
答：该图书馆最多可以购买 28 本乙图书．
考查题型十一 方程组与不等式组相结合解决实际问题
1．（2018·山东中考模拟）今年 3 月 12 日植树节期间，学校预购进 A，B 两种树苗．若购进 A 种树苗 3 棵，B
种树苗 5 棵，需 2100 元；若购进 A 种树苗 4 棵，B 种树苗 10 棵，需 3800 元．
(1)求购进 A，B 两种树苗的单价；
(2)若该学校准备用不多于 8000 元的钱购进这两种树苗共 30 棵，求 A 种树苗至少需购进多少棵．
【答案】（1）A 种树苗的单价为 200 元，B 种树苗的单价为 300 元；（2）10 棵
【解析】
（1）设 B 种树苗的单价为 x 元，则 A 种树苗的单价为 y 元，
可得：{ 3y + 5x = 2100
4y + 10x = 3800 ，
解得：{x = 300
y = 200 ，
答：A 种树苗的单价为 200 元，B 种树苗的单价为 300 元.
x 2.5x
800 800 242.5x x
− =
20x =
20x =
2.5 50x =
x 2 8x +
( )50 20 2 8 1060x x+ +
10x
2 8 28x + 20
（2）设购买 A 种树苗 a 棵，则 B 种树苗为（30﹣a）棵，
可得：200a+300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥10，
答：A 种树苗至少需购进 10 棵．
2．（2019·湖南中考模拟）东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，
接着又用 900 元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但每套进价多了 5 元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套悠悠球的售价至少是多
少元？
【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是 25 元；（2）每套悠悠球的售价至少是 35 元．
【解析】
（1）设第一批悠悠球每套的进价是 x 元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，
根据题意得：
，
解得：x=25，
经检验，x=25 是原分式方程的解．
答：第一批悠悠球每套的进价是 25 元．
（2）设每套悠悠球的售价为 y 元，
根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，
解得：y≥35．
答：每套悠悠球的售价至少是 35 元．
考查题型十二 利用不等式计算获利问题
1．（2014·四川中考真题）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价 y1（元/
台）与采购数量 x1（台）满足 y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1 为整数）；冰箱的采购单价 y2（元/台）与采
购数量 x2（台）满足 y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2 为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于 1200 元，问该商
家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，
900 5001.55x x
= ×+21
问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
【答案】（1）5 （2）采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650 元．
【解析】
（1）设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意得， ，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是 11≤x≤15，
∵x 为正整数，
∴x 可取的值为 11、12、13、14、15，
所以，该商家共有 5 种进货方案；
（2）设总利润为 W 元，
y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则 W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，
=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
当 x＞9 时，W 随 x 的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当 x=15 时，W 最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650 元．
2．（2018·四川中考模拟）宜兴某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200
元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元/台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元，
就可多售出 50 台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450
台的销售任务．
（1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围；
（2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？最大利润22
是多少？
【答案】（1）y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）售价定为 320 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所
获得的利润 w 最大，最大利润是 72000 元．
【解析】
(1)、根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 台，
则月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×400 - x
10 ，
化简得：y=-5x+2200；
(2)、根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台，
则 x≥300 且−5x+2200≥450
解得：300≤x≤350．
所以 y 与 x 之间的函数关系式为：y=-5x+2200（300≤x≤350）；
(3)、W=（x-200）（-5x+2200）， 整理得：W=-5(x - 320)2+72000．
∵x=320 在 300≤x≤350 内， ∴当 x=320 时，最大值为 72000，
即售价定为 320 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w 最大，最大利润是 72000 元．
3．（2018·山东中考模拟）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾
分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且垃圾箱的单价是温馨提
示牌单价的 3 倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放 48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，且费用不超过 10000 元，
请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【答案】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元；（2）答案见解析
【详解】
（1）设温情提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元，
根据题意得，2x+3×3x=550，
∴x=50，
经检验，符合题意，
∴3x=150 元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元；
（2）设购买温情提示牌 y 个（y 为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，23
根据题意得，意，
∴
∵y 为正整数，
∴y 为 50，51，52，共 3 中方案；
有三种方案：①温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个，
②温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个，
③温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个，
设总费用为 w 元
W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000，
∵k=-100 ，∴w 随 y 的增大而减小
∴当 y=52 时，所需资金最少，最少是 9800 元．
考查题型十三 运用一元一次不等式组进行方案设计
1．（2018·河南中考模拟）某校计划购买篮球、排球共 20 个．购买 2 个篮球，3 个排球，共需花费 190 元；
购买 3 个篮球的费用与购买 5 个排球的费用相同．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若购买篮球不少于 8 个，所需费用总额不超过 800 元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写
出其中最省钱的购买方案．
【答案】（1）篮球每个 50 元，排球每个 30 元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球 8 个，排球 12 个；
②购买篮球 9，排球 11 个；③购买篮球 10 个，排球 10 个；方案①最省钱
【解析】
解：（1）设篮球每个 x 元，排球每个 y 元，依题意，得：
解得 ．
答：篮球每个 50 元，排球每个 30 元．
（2）设购买篮球 m 个，则购买排球（20-m）个，依题意，得：
50m+30（20-m）≤800．
( )
100 48
50 150 100 10000.
y
y y
− ≥
+ − ≤
50 52y≤ ≤ ，
0<
2 3 190
3 5
x y
x y
+ =
=
50
30
x
y
=
=
：24
解得：m≤10．
又∵m≥8，∴8≤m≤10．
∵篮球的个数必须为整数，∴ 只能取 8、9、10．
∴满足题意的方案有三种：①购买篮球 8 个，排球 12 个，费用为 760 元；②购买篮球 9，排球 11 个，费用
为 780 元；③购买篮球 10 个，排球 10 个，费用为 800 元．
以上三个方案中，方案①最省钱．
2．（2019·广西中考模拟）某文化商店计划同时购进 A、B 两种仪器，若购进 A 种仪器 2 台和 B 种仪器 3 台，
共需要资金 1700 元；若购进 A 种仪器 3 台，B 种仪器 1 台，共需要资金 1500 元．
（1）求 A、B 两种型号的仪器每台进价各是多少元？
（2）已知 A 种仪器的售价为 760 元/台，B 种仪器的售价为 540 元/台．该经销商决定在成本不超过 30000
元的前提下购进 A、B 两种仪器，若 B 种仪器是 A 种仪器的 3 倍还多 10 台，那么要使总利润不少于 21600
元，该经销商有哪几种进货方案？
【答案】（1）A、B 两种型号的仪器每台进价各是 400 元、300 元；（2）有三种具体方案：①购进 A 种仪器
18 台，购进 B 种仪器 64 台；②购进 A 种仪器 19 台，购进 B 种仪器 67 台；③购进 A 种仪器 20 台，购进 B
种仪器 70 台．
【详解】
解：（1）设 A、B 两种型号的仪器每台进价各是 x 元和 y 元．
由题意得： ，
解得： ．
答：A、B 两种型号的仪器每台进价各是 400 元、300 元；
（2）设购进 A 种仪器 a 台，则购进 A 种仪器（3a+10）台．
则有： ，
解得 ．
由于 a 为整数，
∴a 可取 18 或 19 或 20．
所以有三种具体方案：
m
2 3 1700
3 1500
x y
x y
+ =
+ =
400
300
x
y
=
=
400 300(3 10) 30000
(760 400) (540 300)(3 10) 21600
a a
a a
+ +
− + − +
7 1017 209 13a≤ ≤25
①购进 A 种仪器 18 台，购进 B 种仪器 64 台；
②购进 A 种仪器 19 台，购进 B 种仪器 67 台；
③购进 A 种仪器 20 台，购进 B 种仪器 70 台．
3．（2019·贵州中考真题）某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有
A，B 两种客车可供租用，A 型客车每辆载客量 45 人，B 型客车每辆载客量 30 人．若租用 4 辆 A 型客车和 3
辆 B 型客车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车共需费用 10300 元．
（1）求租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
【答案】（1）租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元；（2）共有三种租车方案，方案一：
租用 A 型客车 2 辆，B 型客车 5 辆，费用为 9900 元，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆，费用为 9400
元，方案三：租用 A 型客车 5 辆，B 型客车 1 辆，费用为 9800 元，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2
辆最省钱．
【详解】
（1）设租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 x 元、y 元，
，
解得， ，
答：租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元；
（2）设租用 A 型客车 a 辆，租用 B 型客车 b 辆，
，
解得， ， ， ，
∴共有三种租车方案，
方案一：租用 A 型客车 2 辆，B 型客车 5 辆，费用为 9900 元，
方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆，费用为 9400 元，
方案三：租用 A 型客车 5 辆，B 型客车 1 辆，费用为 9800 元，
由上可得，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆最省钱．
4 3 10700
3 4 10300
x y
x y
+ =
+ =
1700
1300
x
y
=
=
45 30 240
1700 1300 10000
a b
a b
+ ≥
+ ≤
2
5
a
b
=
=
4
2
a
b
=
=
5
1
a
b
=
=
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