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1 专题 07 不等式(组) 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 不等式的有关概念和性质 不等式的定义:用符号“ ”或“ ”表示大小关系的式子,叫作不等式.像 a 3 这样用符号“ ”表示< > ≠ ≠2 不等关系的式子也是不等式。 【注意】 1.方程与不等式的区别:方程表示的是相等关系,不旁式表示的是不等关系。 2.常用的不等号有“ ”五种.“ ”“ ”不仅表示左右两边的不等关系,还明确表示左右两边 的大小;“ ”“ ”也表示不等关系,前者表示“不小于”(大于或等于),后者表示“不大于”(小于或 等于);“ ”表示左右两边不相等。 3.在不等式 a>b 或 ab,则 a+c>b+c,a-c>b-c。 基本性质 2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于 0 的整式,不等号方向不变,即 若 a>b,c>0,则 ac>bc(或a c > b c) 基本性质 3:不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于 0 的整式,不等号方向改变,即 若 a>b,cc,则 a>c。 基本性质 6:如果 , ,那么 . 【注意】 a a a a , , , ,> < ≤ ≥ ≠ > < ≥ ≤ ≠ x a> x a< x a≥ x a≤ a b> c d> a c b d+ > +3 1、根据不等式的性质,可以将一个不等式变形,尤其要注意性质 2 和性质 3 的区别,当不等式两边乘(或 除以)同一个负数时,不等号的方向要改变。 2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。 不等式性质与等式性质的相同和不同点: 相同点:都可以在两边加上或减去同一个式子 不同点: 1、 对于等式两边,乘(或除)以同一个正数(或负数),结果依然成立 2、 对于不等式两边,乘(或除)以同一个正数,不等号方向不变;乘(或除)以同一个负数,不等号方向 发生改变; 解不等式的概念:求不等式的解集的过程叫作解不等式。 【典型例题】 1.(2019·阜宁县容山中学初一期末)下列不等式中,是一元一次不等式的是( ) A.x < y B. C. D. 【答案】D 【详解】 A、是二元一次不等式,故错误; B、是二元二次不等式,故选项错误 C、含有分式,不是一元一次不等式,故选项错误; D、是一元一次不等式, 故选 D. 2.(2019·重庆市南坪中学校初二期中)下列各式中,是一元一次不等式的有( ) ① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,⑥ A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】A 【详解】 ① 是一元一次不等式;② 是一元二次不等式;③ 是分式;④ 是二元 一次不等式;⑤ 是一元一次不等式;⑥ 是二元一次不等式,故正确的有两个故选 A. 【考查题型】 考查题型一 不等式性质的应用 2 2 0a b+ > 1 1x > 3 4 x − 4 03 < 5x < ( 5) 5x x − < 1 5x < 2 5x y y+ < + 2 5a − < 3 yx ≤ 5x < ( 5) 5x x − < 1 5x < 2 5x y y+ < + 2 5a − < 3 yx ≤4 1.(2019·四川中考真题)若 ,下列不等式不一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 解:A、不等式的两边都加 3,不等号的方向不变,故 A 错误; B、不等式的两边都乘以﹣3,不等号的方向改变,故 B 错误; C、不等式的两边都除以 3,不等号的方向不变,故 C 错误; D、如 ;故 D 正确; 故选:D. 2.(2019·浙江中考真题)已知四个实数 a,b,c,d,若 a>b,c>d,则( ) A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D. 【答案】A 【详解】 A. ∵a>b,c>d,∴ a+c>b+d,正确; B.如 a=3,b=1,c=2,d=-5 时, a-c=1,b-d =6,此时 a-c 4a c = − 1b d = − a b c d 或 ≠ 1 3x + > 4 02 y− > 0x y− > 2 5 3xx + ≥6 一元一次方程 一元一次不等式 解法的依据 方程得两边加(或减)同一个数 (或式子),方程的解不变 方程的两边乘(或除以)同一个 不为零的数,方程的解不变 不等式两边加(或减)同一个数(或式 子),不等号的方向不变 不等式的两边乘(或除以)同一个正数, 不等号的方向不变 不等式的两边乘(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变 解法的步骤 ①去分母;②去括号;③移项;④ 合并同类项;⑤未知数的系数化 为 1 ①去分母;②去括号;③移项;④合并同 类项;⑤未知数的系数化为 1 在步骤①和步骤⑤中,如果乘数(或除 以)是负数,不等号要改变方向 解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解 【典型例题】 1.(2018·广东中考模拟)不等式 2x-5≥-1 的解集在数轴上表示正确的是( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解:不等式 2x-5≥-1 的解集为 x≥2. 故选 B. 2.(2019·太原市第五十三中学初二期中)用不等式表示图中的解集,其中正确的是(  ) A.x≥-2 B.x≤-2 C.x<-2 D.x>-2 【答案】D 【详解】 解:∵表示不等式的解集的折线向右延伸,且表示-2 的点是空心圆点 ∴x>-2 故选:D. 3.(2019·河北初一期末)已知2a + 3x = 6,要使x是负数,则a的取值范围是( ) A.a > 3 B.a < 3 C.a < -3 D. -3 < a < 3 【答案】A7 【详解】 ∵2a + 3x = 6 ∴x=6 - 2a 3 ∵x是负数, ∴6 - 2a 3 <0 解得a > 3 故选 A. 【考查题型汇总】 考查题型二 求一元一次不等式的特解的方法 1.(2019·江苏中考真题)不等式 的非负整数解有(  ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】D 【详解】 解: , 解得: , 则不等式 的非负整数解有:0,1,2,3 共 4 个. 故选:D. 2.(2019·内蒙古中考模拟)不等式 3(x﹣1)≤5﹣x 的非负整数解有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 【解析】 解不等式得:3x﹣3≤5﹣x,4x≤8,x≤2,所以不等式的非负整数解有 0、1、2 这 3 个,故答案选 C. 3.(2017·广东中考模拟)如图,直线 与 的交点的横坐标为 ,则关于 的不等式 的整数解为( ). 1 2x − ≤ 1 2x − ≤ 3x ≤ 1 2x − ≤ y x m= − + ( )4 0y nx n n= + ≠ 2− x 4 0x m nx n− + > + >8 A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 当 时,对于 ,则 .故 的解集为 . 与 的交点的横坐标为 ,观察图象可知 的解集为 . 的解集为 . 为整数, . 4.(2019·内蒙古中考模拟)不等式 的最小整数解是__. 【答案】0 【详解】 解 的解集为 x>-1, ∴最小整数解为 0 考查题型三 确定不等式中字母的取值范围的方法 1.(2019·黑龙江中考真题)已知 x=4 是不等式 ax-3a-1<0 的解,x=2 不是不等式 ax-3a-1<0 的解,则实 数 a 的取值范围是____. 【答案】a≤-1. 【详解】 解:∵x=4 是不等式 ax-3a-1<0 的解, ∴4a-3a-1<0, 解得:a<1, ∵x=2 不是这个不等式的解, 1− 5− 4− 3− 0y = ( )4 0y nx n n= + ≠ 4x = − 4 0nx n+ > 4x > − y x m= − + ( )4 0y nx n n= + ≠ 2− 4x m nx n− + > + 2x < − 4 0x m nx n∴− + > + > 4 2x− < < − x 3x∴ = − 3 1 22 x − > − 3x 1 22 − > −9 ∴2a-3a-1≥0, 解得:a≤-1, ∴a≤-1, 故答案为:a≤-1. 2.(2019·四川中考真题)关于 的不等式 只有 2 个正整数解,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 解:解不等式 2x+a≤1 得: , 不等式有两个正整数解,一定是 1 和 2, 根据题意得: 解得:-5<a≤-3. 故选:C. 3.(2012·江苏中考模拟)已知关于 x 的不等式 x≥a-1 的解集如图所示,则 a 的值为__. 【答案】0 【解析】 由图可得 , , 考查题型四 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法 1.(2019·河南中考模拟)若不等式组 的解集是﹣1<x≤1,则 a=_____,b=_____. 【答案】-2 -3 【详解】 解:由题意得: 解不等式 ① 得: x>1+a , 解不等式②得:x≤ x 2 1x a+ ≤ a 5 3a− < < − 5 3a− ≤ < − 5 3a− < ≤ − 5 3a− ≤ ≤ − 1 2 ax −  12 32 a−   + ≥ 1 3 0 x a bx − >  + ≥ ① ② 3 b −10 不等式组的解集为: 1+a<x≤ 不等式组的解集是﹣1<x≤1, ..1+a=-1, =1, 解得:a=-2,b=-3 故答案为: -2, -3. 知识点三 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集概念:一般地,几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做它们所组成的不等式 组的解集。 不等式组解集的确定方法: 【注意】 1、 在求不等式组的解集的过程中,通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。 2、 利用数轴表示不等式组解集时,要把几个不等式的解集都表示出来,不能仅画公共部分。 解一元一次不等式组的一般步骤: 1. 求出不等式组中各不等式的解集 2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。 3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分,这个公共部分就是不等式组的解集。 【考查题型汇总】 考查题型五 一元一次不等式组的解集的确定方法  3 b −  ∴ 3 b −11 1.(2018·湖南中考真题)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解不等式 x+2>0,得:x>-2, 解不等式 2x-4≤0,得:x≤2, 则不等式组的解集为-2<x≤2, 将解集表示在数轴上如下: 故选 C. 2.(2019·山东中考模拟)一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来,正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 详解:解不等式组 得-3<x≤2, 在数轴上表示为: 故选 D. 3.(2019·江苏中考模拟)下列四个不等式组中,解集在数轴上表示如图所示的是(  ) 2 0 2 4 0 x x + >  − ≤ 2 0 11 03 x x − ≤ + > 2 0 11 03 x x − ≤ > +12 A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 由解集在数轴上的表示可知,该不等式组为 , 故选 D. 4.(2019·广东中考模拟)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 ∵解不等式①得:x<1, 解不等式②得:x≥-1, ∴不等式组的解集为-1≤x<1, 在数轴上表示为: , 故选 A. 考查题型六 求一元一次不等式组的整数解的方法 1.(2019·台湾中考真题)阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼,如图为蛋糕的价目表.已知阿慧购买 盒 蛋糕,花费的金额不超过 元.若他将蛋糕分给 位同事,每人至少能拿到一个蛋糕,则阿慧花多少 元购买蛋糕?(  ) 2 3 x x ≥  > − 2 3 x x ≤  < − 2 3 x x ≥  < − 2 3 x x ≤  > − 2 3 x x ≤  −  2 1 3 3 1 2 x x +  + ≥ − < 2 1 3 3 1 2 x x +  + ≥ − < ① ② 10 2500 7513 A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 解:设阿慧购买 盒桂圆蛋糕,则购买 盒金爽蛋糕,依题意有 , 解得 , 是整数, , (元). 答:阿慧花 元购买蛋糕. 故选:D. 2.(2019·四川中考真题)红星商店计划用不超过 4200 元的资金,购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100 元的商品共 50 件,据市场行情,销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元,两种商品均售完.若所 获利润大于 750 元,则该店进货方案有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 【答案】C 【详解】 解:设该店购进甲种商品 件,则购进乙种商品 件, 根据题意,得: , 2150 2250 2300 2450 x ( )10 x− ( ) ( ) 350 200 10 2500 12 6 10 75 x x x x  + − ≤ + − ≥ 1 12 32 3x≤ ≤ x 3x∴ = ( )350 3 200 10 3× + × − 1050 1400= + 2450= 2450 x ( )50 x− ( ) ( ) 60 100 50 4200 10 20 50 750 x x x x  + − ≤ + − >14 解得: , ∵ 为整数,∴ 、21、22、23、24, ∴该店进货方案有 5 种, 故选:C. 3.(2019·浙江中考模拟)如图,等腰三角形 ABC 的周长为 20cm,底边 BC 长为 y(cm),腰 AB 长为 x (cm). (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)求 x 的取值范围; (3)腰长 AB=3 时,底边的长. 【答案】(1)y=20﹣2x;(2)5<x<10;(3)14. 【详解】 (1)∵等腰三角形的腰长为 x,底边长为 y,周长为 20, ∴y=20﹣2x, (2){2x > 20 - 2x 20 - 2x > 0 , 解得:5<x<10. 所以 x 的取值范围为 5<x<10. (3)将x = 3代入 y=20﹣2x 得y = 14,所以底边的长为 14. 考查题型七 求一元一次方程组中的待定字母的值 1.(2017·内蒙古中考模拟)若不等式组{2x - a < 1 x - 2b > 3的解集为﹣1<x<1,那么(a+1)(b﹣1)的值等于 _____. 【答案】4 【解析】 20 25x≤ < x 20x =15 先解不等式组,再对照已知解集 -1 < x < 1,即可求出 a、b 的值. 解不等式组,得x < a + 1 2 ,且 x > 3 + 2b对照已知解集 -1 < x < 1有 { a + 1 2 = 1 3 + 2b = -1 解得{ a = 1 b = -2 ∴ (a + 1)(b - 1) = (1 + 1)( -1 - 2) = -6 2.(2012·四川中考真题)如果关于 x 的不等式组:{3x - a ≥ 0 2x - b ≤ 0,的整数解仅有 1,2,那么适合这个不 等式组的整数 a,b 组成的有序数对(a,b)共有___________个. 【答案】6 【详解】 {3x - a ≥ 0① 2x - b ≤ 0②, 由①得:x ≥ a 3 ;由②得:x ≤ b 2 . ∵不等式组有解,∴不等式组的解集为:a 3 ≤ x ≤ b 2 . ∵不等式组整数解仅有 1,2,如图所示: , ∴0<a 3 ≤1,2≤b 2 <3,解得:0<a≤3,4≤b<6. ∴a=1,2,3,b=4,5. ∴整数 a,b 组成的有序数对(a,b)共有 3×2=6 个. 3.(2018·四川中考真题)若不等式组{ x - a > 2 b - 2x > 0的解集为 ,则(a + b)2009 = ________. 【答案】-1 【解析】 由不等式得 x>a+2,x<1 2b, ∵-1<x<1, ∴a+2=-1,1 2b=1 ∴a=-3,b=2, ∴(a+b)2009=(-1)2009=-1. 故答案为-1. 1 1x− < 3; 解②得,x>m, ∵不等式组 的解集是 x>3, 则 m⩽3. 故选:C. 2.(2019·四川中考真题)若关于 的代等式组 恰有三个整数解,则 的取值 范围是(  ) A. B. C. D. 或 【答案】B 【详解】 解不等式 ,得: , 解不等式 ,得: , ∵不等式组恰有三个整数解, ∴这三个整数解为 0、1、2, ∴ , 8 4 1x x x m + < −  > 8 4 1x x x m + < −  > ① ② 8 4 1x x x m + < −  > x 1 02 3 3 5 4 4( 1) 3 x x x a x a + + >  + + > + + a 31 2a 1 02 3 x x ++ > 2 5x > − ( )2 5 4 4 1 3x a x a+ + > + + 2x a< 2 2 3a< ≤17 解得 , 故选:B. 3.若关于 x 的一元一次不等式组 有解,则 m 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 解 , ∵不等式组有解,∴2m>2﹣m. ∴ .故选 C. 知识点四 列一元一次不等式(组)解应用题 列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤: (1)审:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题中不等关系,要抓住题设中的关键“字眼”, 如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. (2)设:设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. (3)列:根据题中的不等关系,列出不等式. (4)解:解出所列不等式的解集. (5)验:检验答案是否符合题意. (6)答:写出答案. 在以上步骤中,审题是基础,根据题意找出不等关系是关键,而根据不等关系列出不等式又是解题难 点.以上过程可简单表述为: . 【考查题型汇总】 考查题型九 利用一元一次不等式(组)解决实际问题的方法 1.(2019·湖北中考真题)某县有 A、B 两个大型蔬菜基地,共有蔬菜 700 吨.若将 A 基地的蔬菜全部运往 甲市所需费用与 B 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从 A、B 两基地运往甲、乙两市的运费单价如下 表: 31 2a< ≤ x 2m2 −  + 2m> 3 − 2m 3 ≤ 2m> 3 2m 3 ≤ − x 2m2 m − ⇒ + −  2m> 3 → →分析 求解 抽象 检验问题 不等式 解答18 (1)求 A、B 两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨? (2)现甲市需要蔬菜 260 吨,乙市需要蔬菜 440 吨.设从 A 基地运送 吨蔬菜到甲市,请问怎样调运可使 总运费最少? 【答案】(1)A、B 两基地的蔬菜总量分别为 300 吨和 400 吨;(2)当 A 基地运 300 吨到乙市,B 基地运 260 吨到甲市,B 基地运 140 吨到乙市时,总运费最少为 14760 元. 【详解】 (1)设 A、B 两基地的蔬菜总量分别为 吨、 吨. 根据题意得: 解得: , 答:A、B 两基地的蔬菜总量分别为 300 吨和 400 吨. (2)由题可知: ∴ ∵ . ∵4>0, ∴ 随 的增大而增大, ∴ =14760. 答:当 A 基地运 300 吨到乙市,B 基地运 260 吨到甲市,B 基地运 140 吨到乙市时,总运费最少为 14760 元. 2.(2019·辽宁中考模拟)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的 2.5 倍,用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本. (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元? m x y 700 20 15 x y x y + =  = 300 400 x y =  = 0 260 0 300 0 400 (260 ) 0 m m m m ≥  − ≥ − ≥  − − ≥ 0 260m≤ ≤ ( )20 25(300 ) 15(260 ) 24 400 260w m m m m = + − + − + − −  4 14760m= + w m minw19 (2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本,且用于购买甲、乙两种图书的 总经费不超过 1060 元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书? 【答案】(1)乙图书每本价格为 20 元,则甲图书每本价格是 50 元;(2)该图书馆最多可以购买 28 本乙 图书. 【详解】 解:(1)设乙图书每本价格为 元,则甲图书每本价格是 元, 根据题意可得: , 解得: , 经检验得: 是原方程的根, 则 , 答:乙图书每本价格为 20 元,则甲图书每本价格是 50 元; (2)设购买甲图书本数为 ,则购买乙图书的本数为: , 故 , 解得: , 故 , 答:该图书馆最多可以购买 28 本乙图书. 考查题型十一 方程组与不等式组相结合解决实际问题 1.(2018·山东中考模拟)今年 3 月 12 日植树节期间,学校预购进 A,B 两种树苗.若购进 A 种树苗 3 棵,B 种树苗 5 棵,需 2100 元;若购进 A 种树苗 4 棵,B 种树苗 10 棵,需 3800 元. (1)求购进 A,B 两种树苗的单价; (2)若该学校准备用不多于 8000 元的钱购进这两种树苗共 30 棵,求 A 种树苗至少需购进多少棵. 【答案】(1)A 种树苗的单价为 200 元,B 种树苗的单价为 300 元;(2)10 棵 【解析】 (1)设 B 种树苗的单价为 x 元,则 A 种树苗的单价为 y 元, 可得:{ 3y + 5x = 2100 4y + 10x = 3800 , 解得:{x = 300 y = 200 , 答:A 种树苗的单价为 200 元,B 种树苗的单价为 300 元. x 2.5x 800 800 242.5x x − = 20x = 20x = 2.5 50x = x 2 8x + ( )50 20 2 8 1060x x+ +  10x 2 8 28x + 20 (2)设购买 A 种树苗 a 棵,则 B 种树苗为(30﹣a)棵, 可得:200a+300(30﹣a)≤8000, 解得:a≥10, 答:A 种树苗至少需购进 10 棵. 2.(2019·湖南中考模拟)东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完, 接着又用 900 元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的 1.5 倍,但每套进价多了 5 元. (1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元; (2)如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于 25%,那么每套悠悠球的售价至少是多 少元? 【答案】(1)第一批悠悠球每套的进价是 25 元;(2)每套悠悠球的售价至少是 35 元. 【解析】 (1)设第一批悠悠球每套的进价是 x 元,则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元, 根据题意得: , 解得:x=25, 经检验,x=25 是原分式方程的解. 答:第一批悠悠球每套的进价是 25 元. (2)设每套悠悠球的售价为 y 元, 根据题意得:500÷25×(1+1.5)y-500-900≥(500+900)×25%, 解得:y≥35. 答:每套悠悠球的售价至少是 35 元. 考查题型十二 利用不等式计算获利问题 1.(2014·四川中考真题)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台,空调的采购单价 y1(元/ 台)与采购数量 x1(台)满足 y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1 为整数);冰箱的采购单价 y2(元/台)与采 购数量 x2(台)满足 y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2 为整数). (1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的 ,且空调采购单价不低于 1200 元,问该商 家共有几种进货方案? (2)该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下, 900 5001.55x x = ×+21 问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润. 【答案】(1)5 (2)采购空调 15 台时,获得总利润最大,最大利润值为 10650 元. 【解析】 (1)设空调的采购数量为 x 台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台, 由题意得, , 解不等式①得,x≥11, 解不等式②得,x≤15, 所以,不等式组的解集是 11≤x≤15, ∵x 为正整数, ∴x 可取的值为 11、12、13、14、15, 所以,该商家共有 5 种进货方案; (2)设总利润为 W 元, y2=﹣10x2+1300=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100, 则 W=(1760﹣y1)x1+(1700﹣y2)x2, =1760x﹣(﹣20x+1500)x+(1700﹣10x﹣1100)(20﹣x), =1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000, =30x2﹣540x+12000, =30(x﹣9)2+9570, 当 x>9 时,W 随 x 的增大而增大, ∵11≤x≤15, ∴当 x=15 时,W 最大值=30(15﹣9)2+9570=10650(元), 答:采购空调 15 台时,获得总利润最大,最大利润值为 10650 元. 2.(2018·四川中考模拟)宜兴某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是 200 元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是 400 元/台时,可售出 200 台,且售价每降低 10 元, 就可多售出 50 台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台,代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务. (1)试确定月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式;并求出自变量 x 的取值范围; (2)当售价 x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w(元)最大?最大利润22 是多少? 【答案】(1)y=﹣5x+2200(300≤x≤350);(2)售价定为 320 元/台时,商场每月销售这种空气净化器所 获得的利润 w 最大,最大利润是 72000 元. 【解析】 (1)、根据题中条件销售价每降低 10 元,月销售量就可多售出 50 台, 则月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式:y=200+50×400 - x 10 , 化简得:y=-5x+2200; (2)、根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台,代理销售商每月要完成不低于 450 台, 则 x≥300 且−5x+2200≥450 解得:300≤x≤350. 所以 y 与 x 之间的函数关系式为:y=-5x+2200(300≤x≤350); (3)、W=(x-200)(-5x+2200), 整理得:W=-5(x - 320)2+72000. ∵x=320 在 300≤x≤350 内, ∴当 x=320 时,最大值为 72000, 即售价定为 320 元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w 最大,最大利润是 72000 元. 3.(2018·山东中考模拟)今年义乌市准备争创全国卫生城市,某小区积极响应,决定在小区内安装垃圾 分类的温馨提示牌和垃圾箱,若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元,且垃圾箱的单价是温馨提 示牌单价的 3 倍. (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元? (2)该小区至少需要安放 48 个垃圾箱,如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个,且费用不超过 10000 元, 请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少元? 【答案】(1)温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元;(2)答案见解析 【详解】 (1)设温情提示牌的单价为 x 元,则垃圾箱的单价为 3x 元, 根据题意得,2x+3×3x=550, ∴x=50, 经检验,符合题意, ∴3x=150 元, 即:温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元; (2)设购买温情提示牌 y 个(y 为正整数),则垃圾箱为(100﹣y)个,23 根据题意得,意, ∴ ∵y 为正整数, ∴y 为 50,51,52,共 3 中方案; 有三种方案:①温馨提示牌 50 个,垃圾箱 50 个, ②温馨提示牌 51 个,垃圾箱 49 个, ③温馨提示牌 52 个,垃圾箱 48 个, 设总费用为 w 元 W=50y+150(100﹣y)=﹣100y+15000, ∵k=-100 ,∴w 随 y 的增大而减小 ∴当 y=52 时,所需资金最少,最少是 9800 元. 考查题型十三 运用一元一次不等式组进行方案设计 1.(2018·河南中考模拟)某校计划购买篮球、排球共 20 个.购买 2 个篮球,3 个排球,共需花费 190 元; 购买 3 个篮球的费用与购买 5 个排球的费用相同. (1)篮球和排球的单价各是多少元? (2)若购买篮球不少于 8 个,所需费用总额不超过 800 元.请你求出满足要求的所有购买方案,并直接写 出其中最省钱的购买方案. 【答案】(1)篮球每个 50 元,排球每个 30 元. (2)满足题意的方案有三种:①购买篮球 8 个,排球 12 个; ②购买篮球 9,排球 11 个;③购买篮球 10 个,排球 10 个;方案①最省钱 【解析】 解:(1)设篮球每个 x 元,排球每个 y 元,依题意,得: 解得 . 答:篮球每个 50 元,排球每个 30 元. (2)设购买篮球 m 个,则购买排球(20-m)个,依题意,得: 50m+30(20-m)≤800. ( ) 100 48 50 150 100 10000. y y y − ≥  + − ≤ 50 52y≤ ≤ , 0< 2 3 190 3 5 x y x y + =  = 50 30 x y =  = :24 解得:m≤10. 又∵m≥8,∴8≤m≤10. ∵篮球的个数必须为整数,∴ 只能取 8、9、10. ∴满足题意的方案有三种:①购买篮球 8 个,排球 12 个,费用为 760 元;②购买篮球 9,排球 11 个,费用 为 780 元;③购买篮球 10 个,排球 10 个,费用为 800 元. 以上三个方案中,方案①最省钱. 2.(2019·广西中考模拟)某文化商店计划同时购进 A、B 两种仪器,若购进 A 种仪器 2 台和 B 种仪器 3 台, 共需要资金 1700 元;若购进 A 种仪器 3 台,B 种仪器 1 台,共需要资金 1500 元. (1)求 A、B 两种型号的仪器每台进价各是多少元? (2)已知 A 种仪器的售价为 760 元/台,B 种仪器的售价为 540 元/台.该经销商决定在成本不超过 30000 元的前提下购进 A、B 两种仪器,若 B 种仪器是 A 种仪器的 3 倍还多 10 台,那么要使总利润不少于 21600 元,该经销商有哪几种进货方案? 【答案】(1)A、B 两种型号的仪器每台进价各是 400 元、300 元;(2)有三种具体方案:①购进 A 种仪器 18 台,购进 B 种仪器 64 台;②购进 A 种仪器 19 台,购进 B 种仪器 67 台;③购进 A 种仪器 20 台,购进 B 种仪器 70 台. 【详解】 解:(1)设 A、B 两种型号的仪器每台进价各是 x 元和 y 元. 由题意得: , 解得: . 答:A、B 两种型号的仪器每台进价各是 400 元、300 元; (2)设购进 A 种仪器 a 台,则购进 A 种仪器(3a+10)台. 则有: , 解得 . 由于 a 为整数, ∴a 可取 18 或 19 或 20. 所以有三种具体方案: m 2 3 1700 3 1500 x y x y + =  + = 400 300 x y =  = 400 300(3 10) 30000 (760 400) (540 300)(3 10) 21600 a a a a + +  − + − +   7 1017 209 13a≤ ≤25 ①购进 A 种仪器 18 台,购进 B 种仪器 64 台; ②购进 A 种仪器 19 台,购进 B 种仪器 67 台; ③购进 A 种仪器 20 台,购进 B 种仪器 70 台. 3.(2019·贵州中考真题)某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动.旅游公司有 A,B 两种客车可供租用,A 型客车每辆载客量 45 人,B 型客车每辆载客量 30 人.若租用 4 辆 A 型客车和 3 辆 B 型客车共需费用 10700 元;若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车共需费用 10300 元. (1)求租用 A,B 两型客车,每辆费用分别是多少元; (2)为使 240 名师生有车坐,且租车总费用不超过 1 万元,你有哪几种租车方案?哪种方案最省钱? 【答案】(1)租用 A,B 两型客车,每辆费用分别是 1700 元、1300 元;(2)共有三种租车方案,方案一: 租用 A 型客车 2 辆,B 型客车 5 辆,费用为 9900 元,方案二:租用 A 型客车 4 辆,B 型客车 2 辆,费用为 9400 元,方案三:租用 A 型客车 5 辆,B 型客车 1 辆,费用为 9800 元,方案二:租用 A 型客车 4 辆,B 型客车 2 辆最省钱. 【详解】 (1)设租用 A,B 两型客车,每辆费用分别是 x 元、y 元, , 解得, , 答:租用 A,B 两型客车,每辆费用分别是 1700 元、1300 元; (2)设租用 A 型客车 a 辆,租用 B 型客车 b 辆, , 解得, , , , ∴共有三种租车方案, 方案一:租用 A 型客车 2 辆,B 型客车 5 辆,费用为 9900 元, 方案二:租用 A 型客车 4 辆,B 型客车 2 辆,费用为 9400 元, 方案三:租用 A 型客车 5 辆,B 型客车 1 辆,费用为 9800 元, 由上可得,方案二:租用 A 型客车 4 辆,B 型客车 2 辆最省钱. 4 3 10700 3 4 10300 x y x y + =  + = 1700 1300 x y =  = 45 30 240 1700 1300 10000 a b a b + ≥  + ≤ 2 5 a b =  = 4 2 a b =  = 5 1 a b =  = 查看更多

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