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资料简介
1
专题 12 一元二次方程
考点总结
【思维导图】
2
【知识要点】
知识点一 一元二次方程定义及一般形式
概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式 2（二次）的方程，叫做
一元二次方程。
一般形式： 。其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
【注意】
1）只含有一个未知数；
2）所含未知数的最高次数是 2；
3）整式方程。
1．（2019·四川中考模拟）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2- =4，④x2=0，⑤x2- +3=0
A．①② B．①④⑤ C．①③④ D．①②④⑤
【答案】B
【详解】
①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②含有两个未知数 x、y，不符合一元二次方程的定义，不
是一元二次方程；③方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；④符合一元二次
方程的定义，是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；综上，是一元二次方程的
是①④⑤，故选 B.
2．（2019·广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为
2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠
1
x 3
x3
常数）一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【详解】
观察表格可知 ax2+bx+c 的值与 0 比较接近的是-0.02 和 0.03，相对应的 x 的值分别为 3.24 秘 3.25，因此
方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为常数）一个解的范围是 3.24＜x＜3.25；
故选 C.
3．（2019·广东中考模拟）方程 2x2﹣3x﹣5=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3、2、5 B．2、3、5 C．2、﹣3、﹣5 D．﹣2、3、5
【答案】C
【详解】2x2﹣3x﹣5=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 2、﹣3、﹣5.
故选 C.
4．（2018·湖南中考模拟）下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
A. 是分式方程，故此选项错误；
B. 当 a≠0 时，是一元二次方程，故此选项错误；
C. 是一元二次方程，故此选项正确；
D. 是二元二次方程，故此选项错误；
故选：C.
5．（2018·湖北中考模拟）下列关于 x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1=0 B．x2+3x﹣5=0 C．x3+x=3 D．ax2+bx+c=0
【答案】B
【详解】
2
2
1 0x x
+ = 2 0ax bx c+ + =
( )( )1 2 1x x− + = 2 23 2 5 0x xy y− − =4
A. 未知数的最高次数不是 2 ，不是一元二次方程，故此选项错误；
B. 是一元二次方程，故此选项正确；
C. 未知数的最高次数是 3，不是一元二次方程，故此选项错误；
D. a=0 时，不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：B.
考查题型一 应用一元二次方程的定义求字母参数的方法
1．（2019·吉林中考模拟）若关于 x 的方程 是一元二次方程，则 m 的取值范围是
（ ）
A． . B． . C． D． .
【答案】A
【详解】
由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A．
2．（2019·四川中考模拟）若 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值是（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
【答案】C
【详解】
由题意得： ，解得：a=-2.故选 C.
3．（2017·重庆中考模拟）若方程 是一元二次方程，则 m 的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．–1
【答案】D
【详解】
因为方程 是一元二次方程,
所以 , ,
解得 且
所以 ,
( ) 2m 1 1 0x mx− + − =
m 1≠ m 1= m 1≥ m 0≠
( ) 2 22 3aa x −− =
2 2 2, 2 0a a− = − ≠
( ) ( )2 11 1 2 0mm x m x+− − + − =
( ) ( )2 11 1 2 0mm x m x+− − + − =
2 1 2m + = 1 0m − ≠
1m = ± 1m ≠
1m = −5
故选 D.
4．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校中考模拟）关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0 的常
数项为 0，则 m 等于（ ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．0
【答案】B
【详解】
根据一元二次方程的相关概念可知，m-1 0， ，解得：m=2.
故选：B.
考查题型二 一元二次方程的根的应用方法
1．（2019·四川中考模拟）若 n（ ）是关于 x 的方程 的根，则 m+n 的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【详解】
解：∵ 是关于 x 的方程 的根，
∴ ，即 n(n+m+2)=0,
∵
∴n+m+2=0,即 m+n=-2,
故选 D.
2．（2019·中山市杨仙逸中学中考模拟）已知 y＝0 是关于 y 的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0 的一
个根，那么 m 的值是（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【答案】D
【详解】
把 y=0 代入（m-1）y2+my+4m2-4=0 得：
4m2-4=0，即 m2-1=0
解得：m1=1，m2=-1
当 m=1 时，关于 y 的方程由于二次项系数为 0，不是一元二次方程，
所以 m=-1．
故选 D．
≠ 2 3 2 0m m− + =
0n ≠ 2 2 0x mx n+ + =
( )n n 0≠ 2x mx 2n 0+ + =
2n mn 2n 0+ + =
n 0,≠6
3．（2018·河北中考模拟）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+6=0 的一个根为 x=﹣2，则代数式 6a﹣3b+6 的
值为（ ）
A．9 B．3 C．0 D．﹣3
【答案】D
【详解】
∵关于 x 的一元二次方程 的一个根为 x=−2，
∴
化简，得
2a−b+3=0，
∴2a−b=−3，
∴6a−3b=−9，
∴6a−3b+6=−9+6=−3，
故选 D.
知识点 2：解一元二次方程（重点）
方法一：配方法（最基础的解法）
配方的过程需注意：若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程 的一般步骤
移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
二次项系数化为 1：方程两边都除以二次项系数；
配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 的形式；
【注意】：1）当 时，方程无解
2）若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
1．（2019·江苏中考真题）用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
2 6 0ax bx+ + =
( ) ( )22 2 6 0a b× − + × − + = ，
2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠
2( ) ( 0)x m n n+ = ≥
0n <
2 8 9 0x x+ + =
( )24 9x + = − ( )24 7x + = − ( )24 25x + = ( )24 7x + =7
，
，
，
所以 ，
故选 D.
2.．（2018·浙江中考模拟）用配方法解一元二次方程 x2﹣6x﹣1=0 时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣3）2=1 B．（x﹣3）2=10 C．（x+3）2=1 D．（x+3）2=10
【答案】B
【详解】
x2﹣6x﹣1=0
方程移项得：x2-6x=1，
配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，
故选：B．
3.．（2015·湖北中考真题）用配方法解一元二次方程 x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9
【答案】D
【详解】
x2﹣6x﹣4=0，
x2﹣6x=4，
x2﹣6x+9=4+9，
（x﹣3）2=4+9，
故选 D.
方法二：直接开平方法（最基础的解法）
概 念 ： 形 如 的 方 程 可 以 用 直 接 开 平 方 法 解 ， 两 边 直 接 开 平 方 得 或 者
，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
【注意】
1)若 b ≥ 0，方程有两个实数根。
2 8 9 0x x+ + =
2 8 9x x+ = −
2 2 28 4 9 4x x+ + = − +
( )24 7x + =
2( ) ( 0)x a b b+ = ≥ x a b+ =
x a b+ = −8
（若 b > 0，方程有两个不相等的实数根；若 b = 0，方程有两个相等的实数根）
2)若 b ⇔
2 4
2
b b acx a
− ± −= 2 4 0b ac− ≥ ⇔ ( )f x x
0∆= ⇔ ⇔ ( )f x x
0∆< ⇔ ⇔ ( )f x x
2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠
2 4
2
b b acx a
− ± −=10
1．（2019·广西中考模拟）关于 的方程 有实数根，则 满足（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
【答案】A
【详解】
当 a=5 时，原方程变形为-4x-1=0，解得 x=- ；
当 a≠5 时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得 a≥1，即 a≥1 且 a≠5 时，方程有两个实数根，
所以 a 的取值范围为 a≥1．
故选 A．
2．（2019·福建中考模拟）不解方程，判别方程 2x2﹣3 x＝3 的根的情况( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】B
【详解】
一元二次方程的根的情况与根的判别式 有关，
，方程有两个不相等的实数根，故选 B
3．（2019·新疆中考模拟）已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实根，则k的值为（ ）
A． B． C．2 或 3 D． 或
【答案】A
【详解】
∵方程 有两个相等的实根，
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k= ．
故选：A．
考查题型三 一元二次方程根的判别式的应用方法
1．（2019·河南中考模拟）关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是
（ ）
x 2( 5) 4 1 0a x x− − − = a
1a ≥ 1a > 5a ≠ 1a ≥ 5a ≠ 5a ≠
1
4
2
∆
2 4b ac∆ = − 2( 3 2) 4 2 ( 3)= − − × × − 42 0= >
22 3 0x kx− + =
2 6± 6± 2 3
22 3 0x kx− + =
2 6±11
A．k≤ 且 k≠1 B．k≤ C．k＜ 且 k≠1 D．k＜
【答案】A
【详解】
解：根据题意得 解得
所以 k 的范围为
故选：A．
2．（2015·四川中考真题）方程(m - 2)x2 - 3 - mx + 1
4 = 0有两个实数根，则m的取值范围（ ）
A．m > 5
2 B．m ≤ 5
2且m ≠ 2 C．m ≥ 3 D．m ≤ 3且m ≠ 2
【答案】B
【详解】
解：根据题意得
m - 2 ≠ 0，
3 - m ≥ 0，
Δ = ( - 3 - m)2 -4(m - 2) × 1
4 ≥ 0，
解得 m≤5
2且 m≠2．
故选 B．
3．（2019·安徽中考模拟）若关于 x 的一元二次方程 有实数根，则 k 的取值范围
是（ ）
A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
【答案】D
【详解】
∵关于 x 的一元二次方程 x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0 有实数根，
∴△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
故选：D．
4．（2018·广东中考模拟）关于 x 的一元二次方程 x2-2x-（m-1）=0 有两个不相等的实数根，则实数m 的取
4
3
4
3
4
3
4
3
( )1 0 4 4 3 0k k≠ ∆ × ≥﹣ 且 ＝﹣ ﹣1 ， 4
3k ≤ ，
4 13k k≤ ≠且 ．
2 22( 1) 1 0x k x k+ − + − =12
值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
【答案】A
【详解】
∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣（m﹣1）=0 有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×[﹣
（m﹣1）]=4m＞0，∴m＞0．
故选 B．
5．（2019·湖北中考模拟）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取
值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
∴m＜ ，
故选 A．
方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）
用因式分解一元二次方程 的一般步骤：
将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为 0；
将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
求解
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解
1．（2019·湖州市南浔区南浔锦绣实验学校中考模拟）若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方程 x2＋ ax－a2＝
0 的一个根，则 a 的值为（ ）
A．－1 或 4 B．－1 或－4
C．1 或－4 D．1 或 4
【答案】C
0m > 1m ≠ 0m > 0m ≥ 1m ≠ 0m ≥
x 2 3 0x x m− + = m
( )
9
4m < 9
4m
9
4m > 9
4m
9
4
2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠
3
213
【详解】
∵x=-2 是关于 x 的一元二次方程 的一个根，
∴（-2）2+ a×（-2）-a2=0，即 a2+3a-4=0，
整理，得（a+4）（a-1）=0，
解得 a1=-4，a2=1．
即 a 的值是 1 或-4．
故选 A．
2．（2019·长沙市南雅中学中考模拟）三角形两边长分别为 4 和 6，第三边是方程 x2﹣13x+36＝0 的根，则
三角形的周长为（ ）
A．14 B．18 C．19 D．14 或 19
【答案】D
【详解】
解：（x﹣4）（x﹣9）＝0，
x﹣4＝0 或 x﹣9＝0，
所以 x1＝4，x2＝9，
即三角形的第三边长为 4 或 9，
所以三角形的周长为 4+6+4＝14 或 4+6+9＝19．
故选：D．
3．（2013·宁夏中考真题）一元二次方程 的根是
A．﹣1 B．2 C．1 和 2 D．﹣1 和 2
【答案】D
【详解】
,
2 23 02x ax a+ − =
3
2
( )x x 2 2 x− = −
( )x x 2 2 x− = − ⇒
( ) ( )x x 2 x 2 0− + − = ⇒
( )( )x 2 x 1 0− + = ⇒
x 2 0 x 1 0− = + = ⇒或
1 2x 2 x 1= = −，14
故选 D.
4．（2018·四川中考模拟）已知一元二次方程 x2-8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，
则△ABC 的周长为（ ）
A．13 B．11 或 13 C．11 D．12
【答案】B
【详解】
x2-8x+15=0，
分解因式得：（x-3）（x-5）=0，
可得 x-3=0 或 x-5=0，
解得：x1=3，x2=5，
若 3 为底边，5 为腰时，三边长分别为 3，5，5，周长为 3+5+5=13；
若 3 为腰，5 为底边时，三边长分别为 3，3，5，周长为 3+3+5=11，
综上，△ABC 的周长为 11 或 13．
故选 B.
方法五：韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式 ax2+bx+c＝0（a ≠ 0，Δ ≥ 0）之后，设它的两个根是 和 ，则 和
与方程的系数 a，b，c 之间有如下关系：
+ ＝ ； ＝
考查题型四 一元二次方程根与系数关系的应用
1．（2017·湖北中考模拟）已知 mn≠1，且 5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A．﹣402 B． C． D．
【答案】C
【详解】
将 9n2+2010n+5=0 方程两边同除以 n2，变形得：5×（ ）2+2010× +9=0，,又 5m2+2010m+9=0，
∴m 与 为方程 5x2+2010x+9=0 的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得 m• = = ．
故选：C
2．（2019·贵州中考真题）一元二次方程 x2﹣3x+1＝0 的两个根为 x1，x2，则 x12+3x2+x1x2﹣2 的值是（ ）
1x 2x 1x
2x
1x 2x b
a
− 1x • 2x c
a
m
n
5
9
9
5
670
3
1
n
1
n
1
n
1
n
m
n
9
515
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【详解】
∵x1 为一元二次方程 x2﹣3x+1＝0 的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得 x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
3．（2017·广东中考模拟）关于的方程 的两根的平方和是 5，则 的值是( )
A．-1 或 5 B．1 C．5 D．-1
【答案】D
【详解】
设方程的两根为 、 ，则 ， ，
，
，
，
， ，
，
.
故选： .
4.（2019·湖北中考真题）关于 x 的一元二次方程 的两实数根分别为 、 ，且
，则 m 的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
2 2 0x ax a− + = a
1x 2x 1 2x x a+ = 1 2 2x x a⋅ =
2 2
21 5x x+ =
∴ ( )2
1 2 1 22 5x x x x+ − ⋅ =
∴ 2 4 5 0a a− − =
∴ 1 5a = 2 1a = −
2 8 0a a= − ≥
∴ 1a = −
D
2 4 0x x m− + = 1x 2x
1 23 5x x+ =
7
4
7
5
7
616
【详解】
解：∵x1+x2=4，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，
∴x2= ，
把 x2= 代入 x2-4x+m=0 得：（ ）2-4× +m=0，
解得：m= ，
故选：A．
5．（2019·广州市第六十五中学中考模拟）已知 a、b 为一元二次方程 的两个根，那么
的值为（ ）
A．-7 B．0 C．7 D．11
【答案】D
【详解】
解：由题意得： ，则 ，
，
故选择 D.
知识点 4： 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；
“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。
考查题型五 用一元二次方程解决平均增长率问题
1．（2018·河南中考模拟）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降
价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为 x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1＋x）2＝315 B．560（1－x）2＝315
1
2
1
2
1
2
1
2
7
4
2 2 9 0x x+ − =
2a a b+ −
2 2 9 0a a+ − = 2 9a a a+ = −
( ) ( )2 9 9 9 2 11a a b a b a b+ − = − − = − + = − − =17
C．560（1－2x）2＝315 D．560（1－x2）＝315
【答案】B
【详解】
试题分析：根据题意，设设每次降价的百分率为 x，可列方程为 560（1-x）²=315.
故选：B
2．（2013·甘肃中考真题）某超市一月份的营业额为 36 万元，三月份的营业额为 48 万元，设每月的平均
增长率为 x，则可列方程为（ ）
A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=48
【答案】D
【详解】
∵某超市一月份的营业额为 36 万元，每月的平均增长率为 x，
∴二月份的营业额为 36（1+x），三月份的营业额为 36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2.
∴根据三月份的营业额为 48 万元，可列方程为 36（1+x）2=48.
故选 D.
3．（2018·安徽中考模拟）某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降 ，春节后生产呈现良好上升
势头，四月份比一月份增长 ，设三、四月份的月平均增长率为 x，则下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设一月份的产量为 a，由题意可得，
，
则 ，
故选 D．
考查题型六 用一元二次方程解决“每每型”问题
1．（2018·海南中考模拟）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为扩大销
售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价 1 元，平均每天可多销售 2 件，
若商场每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价（ ）
20%
15% ( )
( )( )2 1 20% 1 1 15%x− + = + ( ) 21 15% (1 ) 1 20%x+ + = −
( )( )2 1 15% 1 1 20%x+ + = − ( ) 21 20% (1 ) 1 15%x− + = +
( ) ( )2a 1 20% (1 x) a 1 15%− + = +
( ) 21 20% (1 x) 1 15%− + = +18
A．5 元 B．10 元 C．20 元 D．10 元或 20 元
【答案】C
【详解】
设每件衬衫应降价 x 元，则每天可销售（20+2x）件，
根据题意得：（40-x）（20+2x）=1200，
解得：x1=10，x2=20．
∵扩大销售，减少库存，
∴x=20．
故选 C．
2．（2019·忻城县民族中学中考模拟）宾馆有 50 间房供游客居住，当每间房每天定价为 180 元时，宾馆会
住满；当每间房每天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每
天支出 20 元的费用.当房价定为 元时，宾馆当天的利润为 10890 元.则有( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
房价定为 元，由题意得
，
故选 C.
3.（2019·山东中考模拟）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、
增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每
降低 1 元，平均每天可多售出 2 件.
（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？
【答案】（1）26；（2）每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元.
【详解】
x
(180 20) 50 1089010
xx + − − =
18050 50 20 1089010
xx
− − − × =
180( 20) 50 1089010
xx
− − − = ( 180) 50 50 20 1089010
xx + − − × =
x
( ) x 180x 20 50 1089010
− − − = 19
（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+2×3=26 件．
（2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得 x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于 25 元，
∴x2=20 应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元．
考查题型七 用一元二次方程解决几何图形问题
1．（2019·广西中考模拟）如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小正
方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的小正方
形的边长．设剪去的小正方形边长是 xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32
【答案】B
【详解】
设剪去的小正方形边长是 xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，
根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．
故选：B．
2（2019·广西中考真题）扬帆中学有一块长 ，宽 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一
的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为 ，则可列方程为（ ）
30m 20m
xm20
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设花带的宽度为 ，则可列方程为 ，
故选：D．
3．（2012·广东中考模拟）在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形
挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，那么 满足的方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，设金色纸边的宽为 ，
得出方程：（80+2x）（50+2x）=5400，
整理后得：
故选：B.
4．（2019·安徽中考模拟）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道
路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为 570m2，道路的宽为 xm，则可列方程为（ ）
( )( ) 330 20 20 304x x− − = × × ( )( ) 130 2 20 20 304x x− − = × ×
130 2 20 20 304x x+ × = × × ( )( ) 330 2 20 20 304x x− − = × ×
xm 3(30 2 )(20 ) 20 304x x− − = × ×
80cm 50cm
25400cm xcm x
2 130 1400 0x x+ − = 2 65 350 0x x+ − =
2 130 1400 0x x− − = 2 65 350 0x x− − =
xcm
2 65 350 0x x+ − =21
A．32×20﹣2x2＝570 B．32×20﹣3x2＝570
C．（32﹣x）（20﹣2x）＝570 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
【答案】D
【详解】
解：设道路的宽为 xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，
故选：D．
考查题型八 用一元二次方程解决传播问题
1．（2019·黑龙江中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数
目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长
出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故选：C．
2．（2018·安徽中考模拟）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送
1035 张照片，如果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x+1)=1035 B．x(x-1)=1035 C． x(x+1)=1035 D． x(x-1)=1035
【答案】B
【详解】
如果全班有 x 名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有 x 名学生，那么总共送的张数应该是 x（x-1）
张，即可列出方程．
∵全班有 x 名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是 x（x-1）=1035．
43
4 5 6 7
x
21 43x x+ + =
1 7x = − 2 6x =
1
2
1
222
故选 B
3．（2019·天津中考模拟）某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了 36
场比赛.如果全队有 名队员，根据题意下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：设有 x 名队员，每个队员都要赛（x-1）场，但两人之间只有一场比赛，
故 ，
故选：C．
x
( 1) 36x x − = ( 1) 36x x + = ( 1) 362
x x − = ( 1) 362
x x + =
1 ( 1) 362 x x − =
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