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资料简介
1
专题 19 轴对称与等腰三角形
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点 1 图形的轴对称 2
轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这
条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫
做轴对称．
轴对称的性质：
1、 关于某条直线对称的两个图形是全等形。
2、 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。
轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称
图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的
垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对
应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
轴对称与轴对称图形的联系与区别
画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：
1. 找到关键点，画出关键点的对应点，
2. 按照原图顺序依次连接各点。
用坐标表示轴对称：
1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（-x，y）；
2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y）；
1．（2017·重庆中考模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】D3
【详解】
A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选 D．
2．（2018·河北中考真题）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
【答案】C
【详解】观察可知沿 l1 折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故 l1 不是对称轴；
沿 l2 折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故 l2 不是对称轴；
沿 l3 折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故 l3 是对称轴，
所以该图形的对称轴是直线 l3，
故选 C．
3．（2019·内蒙古中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴
对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；4
D．不是轴对称图形，故本选项正确．
故选 D．
4．（2018·重庆中考真题）下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【详解】
A、40°的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；
B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；
C 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；
D 矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，
故选 D.
5．（2019·山东中考真题）下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】A
【详解】
1 有两条对称轴；2 有两条对称轴；3 有四条对称轴；4 不是对称图形
故选 A.
考查题型一 画对称轴的方法5
1．（2016·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点 A（0，1），B（3，2），C（1，4）均
在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC 关于 x 轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1 沿 x 轴方向向左平移 3 个单位后得到△A2B2C2，写出顶点 A2，B2，C2 的坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．
【解析】
(1)、如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)、如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点 A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）
2．（2019·广西中考模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线
的交点的三角形）ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为（－4，5），（－2，1）． 6
（1）写出点 C 及点 C 关于 y 轴对称的点 C′的坐标；
（2）请作出△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′；
（3）求△ABC 的面积．
【答案】 （1）点 C（-1，3）， 点 Cˊ(1,3)；（2）详见解析；（3）面积为 4
【详解】
（1）点 C（-1，3），点 Cˊ(1，3)；
（2）如图所示；
（3）S△ABC＝3×4 2×3 1×2 2×4＝12﹣3﹣1﹣4＝4．
3．（2019·甘肃中考模拟）在 的正方形格点图中，有格点 和 ，且 和 关于
某直线成轴对称，请在备用图中画出 4 个这样的 ．
【答案】见详解.
【解析】
1
2
− × 1
2
− × 1
2
− ×
3 3× ABC∆ DEF∆ ABC∆ DEF∆
DEF∆7
如图，①，两个三角形关于大正方形的水平对称轴对称；②，两个三角形关于过 点的水平线对称，此时
和 重合；③，两个三角形关于大正方形的竖直对称轴对称；④，两个三角形关于大正方形的过 点的对
角线对称轴对称，此时 和 重合， 个 即为所画.
考查题型二 根据轴对称求坐标或字母的取值范围
1．（2013·江苏中考真题）已知点 P（3，2），则点 P 关于 y 轴的对称点 P1 的坐标是 ，点 P 关于原
点 O 的对称点 P2 的坐标是 ．
【答案】（－3，2）；（－3，－2）
【解析】
试题分析：关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点 P（3，2）关于 y 轴对
称的点 P1 的坐标是（－3，2）。
关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点 P（3，2）关于原点 O 对称的点 P2 的坐标是
（－3，－2）。
2．在直角坐标系中，已知点 P（-4a，7），Q（8，b+2）根据条件，求 a，b 值
1）P,Q 关于 x 轴对称
2）P,Q 关于 y 轴对称
【答案】（－2，-9）；（2，－5）
【解析】
1） 由题意可知-4a=8，-7=b+2，解得 a=-2，b=-9
2）由题意可知-4a=-8，7=b+2，解得 a=2，b=-5
考查题型三 利用轴对称解决折叠问题
1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片 ABCD，沿着 BE 折叠，使 C、D 两点分别落在点 、
处 若 ，则 的度数为
C C
F B
B E 4 DEF∆
1C 1D
. 1C BA 50∠ = ABE∠ ( )8
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设∠ABE=x，
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，
所以 50°+x+x=90°，
解得 x=20°．
故选：B
2．（2019·山东中考真题）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面
时(机翼间无缝隙)， 的度数是________.
【答案】45°
【详解】
在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，
故答案为：45°
3．（2017·内蒙古中考模拟）把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝
_____．
10 20 30 40
AOB∠
22.5 2 45AOB ° °∠ = × =9
【答案】55°
【详解】
解：由翻折性质得，∠BOG＝∠B′OG，
∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG＝180°，
∴∠B′OG＝ （180°﹣∠AOB′）＝ （180°﹣70°）＝55°．
故答案为 55°．
4．（2012·江苏中考模拟）如图，△ABC 中，AC＝BC，把△ABC 沿 AC 翻折，点 B 落在点 D 处，连接 BD，若∠
ACB＝100°，则∠CBD＝_________°
【答案】10°
【解析】
三角形纸片 ABC，沿着 AC 翻折，
∴AB=AD，AC=BC，∠ACB＝100°，
∴∠BAC=CAD=40°，
∴∠ABC=40°，
∴∠BCD=160°，
∴∠CBD=∠CDB=10°
考查题型四 利用轴对称解决几何最值问题
1．（2019·吉林东北师大附中中考模拟）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格
点。点 、 、 、 均落在格点上.在图①、图②给定的网格中按要求作图.
（1）在图①中的格线 上确定一点 ，使 与 的长度之和最小;
（2）在图②中的格线 上确定一点 ，使 .
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法.
1
2
1
2
6 6×
A B M N
MN P PA PB
MN Q AQM BQM∠ = ∠10
【答案】如图①所示见解析，如图②所示见解析.
【详解】
(1)如图①所示；(2)如图②所示.
图① 图②
2．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论)
(1)画线段 AB；
(2)画射线 BC；
(3)在线段 AB 上找一点 P，使点 P 到 A．B．C 三点的距离和最小,并简要说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）作 CP⊥AB 于 P,此时 P 到 A.B.C 三点的距离和最
短，图见解析
【详解】
(1)(2)如图所示:11
(3)如图所示:
作 CP⊥AB 于 P,此时 P 到 A.B.C 三点的距离和最
理由是:根据两点之间线段最短,PA+PB 此时最
小,根据垂线段最短,得出 PC 最短,
即 PA+PB+PC 的值最小,
即点 P 到 A.B.C 三点的距离和最小。
3．（2019·天津中考模拟）如图， △ ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点 E 是AC边的中点，点 P 是AD
上的一个动点，当PC + PE最小时，∠CPE的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【详解】
解：如连接 BE，与 AD 交于点 P，此时 PE+PC 最小，
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，
∴点 B 与点 D 关于 AD 对称，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
∴BE 就是 PE+PC 的最小值，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，12
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故选：C．
知识点 2 线段的垂直平分线
概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等
的点在这条线段的垂直平分线上．
三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。交点
叫做三角形的外心。
考查题型五 利用线段的垂直平分线性质解题
1．（2019·北京市通州区姚村中学中考模拟）已知如图，在△ABC 中，∠B＝45°，点 D 是 BC 边的中点，DE
⊥BC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 CE．
（1）求∠AEC 的度数；
（2）请你判断 AE、BE、AC 三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）90°；（2）AE2+EB2＝AC2，证明见解析．
（2）根据勾股定理解答．
【详解】
解：（1）∵点 D 是 BC 边的中点，DE⊥BC，
∴DE 是线段 BC 的垂直平分线，
∴EB＝EC，13
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°；
（2）AE2+EB2＝AC2．
∵∠AEC＝90°，
∴AE2+EC2＝AC2，
∵EB＝EC，
∴AE2+EB2＝AC2．
2．（2017·福建中考模拟）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 延长线于点 E,连接 CE。
求证：∠BCE=∠A+∠ACB．
【答案】证明见解析.
【详解】
∵BC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 延长线于点 E，
∴CE=BE，
∴∠ECB=∠EBC，
∵∠EBC=∠A+∠ACB，
∴∠BCE=∠A+∠ACB．
3．（2014·福建中考模拟）如图，已知 DE 是 AC 的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，则△ABD 的周长为
__cm．
【答案】21
【解析】
∵DE 垂直平分，
∴AD=CD，14
∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，
又∵AB=10cm，
∴△ABD 的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．
考查题型六 证明某直线是一条线段的垂直平分线
1．（2019·上饶市第二中学初二期中）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E．
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA 的度数；
（2）求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线．
【答案】（1）65°（2）证明见解析
【详解】
（1）∵AD 平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠EAD= ∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又 AD 平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC
∴点 A 在线段 CE 的垂直平分线上，点 D 在线段 CE 的垂直平分线上，
∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线.
1
215
2．（2018·广东初二期中）如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D 是垂足，连
接 CD，且交 OE 于点 F．
（1）求证：OD=OC；
（2）求证：OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）若∠AOB=60°，请你探究 OE，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）OE=4EF．
【详解】
证明：（1）∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D，
∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，
在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC；
（2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，ED=EC，
∴点 O、点 E 在线段 CD 的垂直平分线上，
∴OE 是 CD 的垂直平分线；
（3）OE=4EF．
∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，16
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
考查题型七 垂直平分线与角平分线相结合解题
1．（2019·河北锦玉中学初二期中）如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线 DE 与∠BAC 的平分线交于点
E，EF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，EG⊥AC 于点 G．
求证：（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AF．
【答案】(1) 见解析；（2）见解析
【解析】
(1)如图，连接 BE 和 CE.
∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴BE＝CE.
∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG.
在 Rt△BFE 和 Rt△CGE 中，
BE=CE，EF=EG，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，
∴BF＝CG.
(2)∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，17
∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE.
在△AFE 和△AGE 中，
∠FAE＝∠GAE ，∠AFE＝∠AGE，AE=AE，
∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG.
∵BF＝CG，
∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋CG＝2AF.
2．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE 是 BC 的垂直平分线．试说明 BC＝
2AB．
【答案】证明见解析
【详解】
∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴BE=EC，DE⊥BC，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB．
又∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴DA=DE，
又∵BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AB=BE，
∴BC=2AB．
知识点 3 等腰三角形
等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。
等腰三角形性质：
1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
等腰三角形的判定：18
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
考查题型八 利用等腰三角形的概念解题
1．（2018·辽宁中考模拟）若等腰三角形的一个外角等于 140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．40° B．100° C．40°或 70° D．40°或 100°
【答案】D
【详解】
当这个内角为顶角时，则顶角为 40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为 40°，此时顶角为：180°−40°−40°=100°，
故选：D.
2．（2018·陕西中考模拟）等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，那么它的底边长为（ ）
A．4 或 6 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【解析】
详解：当腰为 6 时，则底边 4，此时三边满足三角形三边关系；
当底边为 6 时，则另两边长为 5、5，此时三边满足三角形三边关系；
故选 A．
3．（2018·湖南中考模拟）一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16 或 20
【答案】C
【详解】
等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 8，则第三边可能是 4，也可能是 8，
（1）当 4 是腰时，4＋4＝8，不能构成三角形；
（2）当 8 是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长＝8＋8＋4＝20．
故选 C．
4．（2017·湖北中考模拟）等腰三角形的一个角是 80°，则它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20°
【答案】B
【解析】
分 80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为 80°，19
②80°角是底角时，顶角为 180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80°或
20°．
5．（2016·贵州中考真题）已知 x，y 满足 ，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周
长是（ ）
A．20 或 16 B．20 C．16 D．以上答案都不对
【答案】B
【详解】
解：根据题意得，4-x=0，y-8=0，
解得 x=4，y=8，
①4 是腰长时，三角形的三边分别为 4、4、8，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形，
②4 是底边时，三角形的三边分别为 4、8、8，
能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为 20．
故选 B.
考查题型九 利用等腰三角形的性质求角的度数
1．（2017·山东中考真题）如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点，且 DA＝DC，BD＝BA，则∠B 的大
小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
【答案】B
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
4 8 0x y− + − =20
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选：B．
2．（2019·新疆中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，
∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【详解】
如图，连接 BB′
∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，
∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，
∴∠BAC=∠B′AC′=40°，
∵∠CAF=10°，
∴∠C′AF=10°，
∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，
∴∠ABB′=∠AB′B=40°，
故选 C．21
3．（2015·广西中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，AB 的垂直平分线 DE 分别交 AB、BC
于点 D、E，则∠BAE=（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【解析】
解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
故选 D．
4．（2018·内蒙古中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ADE 的顶点 D，E 分别在 BC，AC 上，且
∠DAE=90°，AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC 的度数为（ ）
A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
【答案】D
【详解】
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°，
又∵∠C+∠BAC=145°，
∴∠C=35°，
∵∠DAE=90°，AD=AE，22
∴∠AED=45°，
∴∠EDC=∠AED-∠C=10°，
故选 D．
5．（2019·北京中考模拟）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，点 E 分别是 BC，AC 上一点，且 DE⊥AD．若∠
BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC 的度数．
【答案】∠DEC=115°．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=50°，
∴∠C=50°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵∠BAD=55°，
∴∠DAE=25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．
考查题型十 利用等腰三角形性质定理证明角度相等的方法
1．（2016·广东中考模拟）如图，在∆ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.
求证：∠CBE=∠BAD．
【答案】见解析23
【解析】
试题解析：∵AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD．
2．（2019·四川中考真题）如图，在四边形 中， ，点 是 的中点， ．求
证： ．
【答案】证明见解析.
【详解】
∵ ，
∴ ，
∵AB//DC，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
考查题型十一 利用等角对等边证明线段/角度相等
1．（2019·陕西中考模拟）如图，∠AEF＝∠AFE，AC＝AD，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．
ABCD / /AB DC E CD AE BE=
D C∠ = ∠
AE BE=
EAB EBA∠ = ∠
DEA EAB∠ = ∠ CEB EBA∠ = ∠
DEA CEB∠ = ∠
E CD
DE CE=
ADE∆ BCE∆
DE CE
DEA CEB
AE BE
=
∠ = ∠
=
( )ADE BCE SAS∆ ≅ ∆
D C∠ = ∠24
【答案】见解析.
【详解】
解：证明：∵∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
在△AEC 与△AFD 中
，
∴△AEC≌△AFD（SSS），
∴∠C＝∠D．
考查题型十二 等腰三角形与角平分线、平行线相结合解题
1．（2018·靖远县靖安中学中考模拟）如图，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，且 MN∥BC，设 AB＝12，BC＝
24，AC＝18，则△AMN 的周长为（ ）
A．30 B．36 C．42 D．18
【答案】A
【解析】
详解：∵BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，
∴∠NBO=∠OBC，∠OCM=∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠NOB=∠OBC，∠MOC=∠OCB，
∴∠NBO=∠NOB，∠MOC=∠MCO，
∴MO=MC，NO=NB，
∵AB=12，AC=18，
∴△AMN 的周长=AM+MN+AN=AB+AC=12+18=30．
故选 A．
2．（2018·广西中考模拟）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，ED∥BC，若 AB=4，AD=2，则△AED 的周长是
AE AF
AC AD
CE DF
=
=
=25
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【解析】
详解：∵BD 平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE，
∴ =AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，故选 A．
3.（2019·重庆中考真题）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分∠ABC 交 AC
于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F．
（1）若∠C=36°，求∠BAD 的度数．
（2）若点 E 在边 AB 上，EF//AC 叫 AD 的延长线于点 F．求证：FB=FE．
【答案】（1） ；（2）见解析.
【详解】
解：（1）
D 为 BC 的中点，
ADEC
54BAD °∠ =
AB AC=
C ABC∴∠ = ∠
36C °∠ =
36ABC °∴∠ =
AD BC∴ ⊥
90 90 36 54BAD ABC° ° ° °∴∠ = − ∠ = − =26
（2） BE 平分
又
4．（2018·浙江中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，交 AC 于点 E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数．
【答案】(1)见解析;(2) 40°.
【详解】
（1）∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD=∠ECD．
∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．
（2）∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．
等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定：
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是 60º的等腰三角形是等边三角形。
（ 4）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
ABC∠
ABE EBC∴∠ = ∠
/ /EF BC
EBC BEF∴∠ = ∠
EBF FEB∴∠ = ∠
BF EF∴ =27
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线
考查题型十三 利用等边三角形性质进行计算
1．（2018·山东中考模拟）如图：已知等边 中， 是 的中点， 是 延长线上的一点，
且 ， ，垂足为 ，
求证： 是 的中点．
【答案】见解析
【详解】
证明：如图，连接 BD，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘.
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E=30∘.
∵BD 是 AC 边上的中线，
∴BD 平分∠ABC，
即∠DBC=30∘，
∴∠DBE=∠E.
∴DB=DE.
又∵DM⊥BE，
∴DM 是 BE 边上的中线，即 M 是 BE 的中点.
2．（2019·太仓市陆渡中学中考模拟）如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，点 D 是 AB 上一点，过点 D 作
DE⊥BC 交 BC 于点 E，交 CA 延长线于点 F．
ABC D AC E BC
CE CD= DM BC⊥ M
M BE28
（1）证明：△ADF 是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求 EC 的长，
【答案】（1）见解析；（2）EC＝4．
【详解】
（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF 是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝ BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
3．（2016·宁夏中考真题）在等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC、AC 上，若 CD=2，过点 D 作 DE∥AB，过
点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延长线于点 F，求 EF 的长．
1
229
【答案】证明过程见解析
【解析】
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC 是等边三角形， ∴DE=DC=2，
在 RT△DEC 中，∵∠DEC=90°，DE=2， ∴DF=2DE=4，
∴EF= = =2 ．
考查题型十四 等边三角形性质在全等证明中的应用
1．（2018·西安电子科技大学附属中学太白校区中考模拟）已知：如图,点 D 在等边△ABC 的边 AB 上，作 DG
∥BC，交 AC 于点 G，点 F 在边 AC 上，连接 DF 并延长，交 BC 的延长线于点 E，FE=FD．求证：AD=CE.
【答案】证明见解析.
【解析】
∵DG∥BC，∴∠DGF=∠ECF,在△DFG 和△EFC 中， ，
∴△DFG≌△EFC(AAS)， ∴GD=CE，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60∘，
∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG 是等边三角形，
∴AD=GD， ∴AD=CE.
DGF ECF
DFG EFC
FD EF
∠ = ∠
∠ = ∠
=30
2．（2013·江苏中考模拟）如图，等边△ABC 中，D 是 AB 边上的一动点，以 CD 为一边，向上作等边△EDC，
连接 AE．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)判断 AE 与 BC 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）AE∥BC，理由见解析.
【详解】
（1）∵△ABC 与△EDC 是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC
又∵∠BCD=∠ACB－∠ACD，∠ACE=∠DCE－∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE．
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）AE∥BC，理由如下：
∵ACE≌△BCD，
∴∠ABC=∠CAE=60°
又∵∠ACB=60°，
∴∠CAE=∠ACB
∴ AE∥BC．
3．（2018·浙江师范大学附属秀洲实验学校中考模拟）如图，等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC
外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ.
（2）判断△APQ 的形状，并说明理由．31
【答案】（1）证明见解析；（2）△APQ 为等边三角形．证明见解析.
【解析】
（1）∵ △ABC 为等边三角形，
∴ AB=AC．
∵ ∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，
∴ △ABP≌△ACQ（SAS）．
（2）解：△APQ 为等边三角形．
证明如下：
∵ △ABP≌△ACQ．
∴ AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°．
∴ △APQ 是等边三角形．
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