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1 专题 14 反比例函数 单元总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 反比例函数的基础 反比例函数的概念:一般地,形如y = k x(k为常数,k ≠ o)的函数称为反比例函数。 表现形式:y = k x还可以写成y = kx - 1 和 xy= k 的形式 【注意】反比例函数y = k x的自变量 x≠0,故函数图象与 x 轴、y 轴无交点。 1.(2018·湖北襄阳七中初三月考)下列函数中,是反比例函数的是(  ) A.y=k x B.3x+2y=0 C.xy- 2=0 D.y= 2 x + 1 【详解】 解:A、k≠0 时,y=k x是反比例函数,故此选项错误; B、3x+2y=0,可变形为 y= - 3 2x,是正比例函数,不是反比例函数,故此选项错误; C、xy- 2=0 可变形为 y= 2 x 是反比例函数,故此选项正确; D、y= 2 x - 1分母是 x-1,不是反比例函数,故此选项错误.2 故选:C. 2.(2019·深圳市福田区外国语学校初三期中)下列函数是反比例函数的是( ) A.y = k x B. C.y = 2x-1 D.y=-x+5 【详解】 A 选项中,当k = 0时不是反比例函数,故该选项错误. B 选项中, 是正比例函数,故该选项错误. C 选项中,y = 2x-1是反比例函数,故该选项正确. D 选项中,y=-x+5 是一次函数,故该选项错误. 故选 C 反比例函数解析式的特征: 1.等号左边是函数y,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k(也叫做比例系数k),分 母中含有自变量x,且指数为 1. 2.比例系数k ≠ 0 3.自变量x的取值为一切非零实数。 4.函数y的取值是一切非零实数。 考查题型一 根据反比例函数概念求参数值的方法 1.(2019·黑龙江八五八农场学校初二期末)函数的图象y = (m + 1)xm2-2是双曲线,则 m 的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【详解】 解:∵函数y = (m + 1)xm2-2的图象是双曲线, ∴{ m + 1 ≠ 0 m2 - 2= - 1,解得 m=1. 故选:C. 2.(2019·莱芜市寨里镇寨里中学初三期中)若函数￿=(m+1)x|m|﹣2 是反比例函数,则￿ =(  ) A.±1 B.±3 C.﹣1 D.1 【详解】 ∵函数￿=(m+1)x|m|﹣2 是反比例函数,∴|m|﹣2=﹣1,解得:m=±1. ∵m+1≠0,∴m≠-1,∴m=1. 2 3 xy = 2 3 xy =3 故选 D. 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤(考点): 1) 设反比例函数的解析式为y = k x(k 为常数,k≠0) 2) 把已知的一对 x,y 的值带入解析式,得到一个关于待定系数 k 的方程。 3) 解方程求出 k 值 4) 将 k 值代入所设解析式中。 考查题型二 待定系数法求反比例函数解析式 1.(2019·明光市鲁山中学初三月考)函数y = k x的图象经过点(2,3),那么k等于( ) A.6 B.1 6 C.2 3 D.3 2 【详解】 ∵函数 y=k x的图象经过点(2,3), ∴点(2,3)满足 y=k x, ∴3=k 2, 解得,k=6. 故选 A. 2.(2019·芜湖市期中)下列各点中,在函数 y=-6 x图象上的是(  ) A. B.(2,3) C.( -1,6) D.( - 1 2,3) 【详解】 A.∵(-2)×(-4)=8≠-6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误; B.∵2×3=6≠-6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误; C.∵(-1)×6=-6,∴此点在反比例函数的图象上,故本选项正确; D.∵( - 1 2)×3=-3 2≠-6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误. 故选 C. 3.(2019·江苏初三月考)反比例函数 y=k x图象经过 A(1,2),B(n,﹣2)两点,则 n= (  ) A.1 B.3 C.﹣1 D.﹣3 【详解】 ( )2, 4− −4 解:∵反比例函数 y=k x 图象经过 A(1,2),B(n,﹣2)两点, ∴k=1×2=﹣2n. 解得 n=﹣1. 故选:C. 4.(2019·黑龙江中考模拟)若反比例函数y = k + 3 x 的图像经过点(3, - 2),则k的值为( ) A. -9 B.3 C. -6 D.9 【详解】 把点(3, - 2)代入y = k + 3 x ,可得 -2 = k + 3 3 ,解得:k=-9. 故选:A 知识点二 反比例函数的图像和性质(基础) 图像的画法:描点法 1.列表(应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) 2.描点(由小到大的顺序) 3.连线(从左到右光滑的曲线) 图像的特征: 1.函数的图像是双曲线. 2.图像的对称性: 图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则( , )在双曲线的另一支上. 图象关于直线 y = x 或 y= -x 对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则( , )和( , )在双曲线的另一支上. 3.k 的取值与函数图象弧度之间的关系: |k|越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.|k|越小,图象的弯曲度越大. 反比例函数的性质: k的取值 图像所在象限 函数的增减性 k>0 一、三象限 在每个象限内,y值随x的增大而减小 k>0 二、四象限 在每个象限内,y值随x的增大而增大 【注意】双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不 能一概而论 考查题型三 反比例函数图形特征与性质 1.(2018·安岳县期中)反比例函数y = - k2 x (k为常数,k ≠ 0)的图象位于( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限5 C.第二、四象限 D.第三、四象限 【解析】 ∵k≠0,∴k2>0,∴﹣k2<0,∴反比例函数y = - k2 x (k 为常数,k≠0)的图象位于第二、 四象限.故选 C. 2.(2018·深圳市龙岗区百合外国语学校初三期中)已知反比例函数 ,下列结论正 确的是( ) A.y值随着x值的增大而减小 B.图象是双曲线,是中心对称图形 C.当 x>1 时,0< y<1 D.图象可能与坐标轴相交 【详解】 A、因为反比例函数的图象在二、四象限内,所以在每个象限内,y 随 x 的增大而增大,故 本选项错误; B、反比例函数 的图象是双曲线,是中心对称图形,故本选项正确; C、当 x>1 时,y 0 时反比例函数的图象在第一、三象限, 当 k -1 C.k < 1 D.k > 1 【详解】 ∵ 函数y = k + 1 x 的图象在其所在的每一象限内,y随x的增大而增大, ∴ k + 1 < 0 解得:k < -1 故选:A 7.(2018·河南中考模拟)若点 A(﹣6,y1),B(﹣2,y2),C(3,y3)在反比例函数 y=2k2 + 3 x (k 为常数)的图象上,则 y1,y2,y3 大小关系为(  ) A.y1>y2 >y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 【详解】 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2x x< 1 2x x< 1 2y y>7 ∵2k2 +3 ≻ 0, ∴反比例函数 y=2k2 + 3 x 的图象在一、三象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而减小, ∴A(﹣6,y1),B(﹣2,y2)在第三象限,C(3,y3)在第一象限, ∴y2<y1<0,y3>0, ∴y3>y1>y2. 故选 D. 8.(2019·芜湖市期中)若反比例函数 y=1 - 2k x (k 为常数)的图象在第一、三象限,则 k 的取值范围是(  ) A.k<﹣1 2 B.k<1 2 C.k>﹣1 2 D.k>1 2 【详解】 ∵反比例函数 y=1 - 2k x (k 为常数)的图象在第一、三象限, ∴1﹣2k>0, 解得 k<1 2. 故选:B. 知识点三 k 值的意义(难点) 1)设点 P(a,b)是双曲线上y = k x任意一点,作 PA⊥x 轴于 A 点,PB⊥y 轴于 B 点,则矩形 PBOA 的面积是|k|(三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是|k| 2 ). 2)由双曲线的对称性可知,P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上,作 QC⊥PA 的延长线于 C,则 有三角形 PQC 的面积为 2|k|.8 考查题型四 计算反比例函数有关图形面积的方法 1.(2019·四平市期末)如图,A、B 是曲线y = 3 x(x > 0)上的点,经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段,若S阴影 = 1,则 S1+S2 的值为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【详解】 解:∵A、B 是曲线y = 3 x上的点,经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段, ∴S 矩形 ACOD=S 矩形 BEOF=3, 又∵S 阴影=1, ∴S1=S2=3-1=2, ∴S1+S2=4. 故选:B. 2.(2018·南京市期中)在反比例函数y = 4 x的图象中,阴影部分的面积不等于 4 的是( ) A. B. C. D. 【详解】9 解:A、图形面积为|k|=4; B、阴影是梯形,面积为 6; C、D 面积均为两个三角形面积之和,为 2×(1 2|k|)=4. 故选 B. 3)直线 y=k1x 与双曲线 的关系: 当 k1•k20 时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点 成中心对称. 考察题型五 一次函数与反比例函数综合 1.(2018·射阳县期末)关于 x 的函数 y=kx+k 和 y=k x (k≠0)在同一坐标系中的图象大致 是 (  ) A. B. C. D. 【详解】 当 k>0 时,函数 y=kx+k 的图象在第一、二、三象限,反比例函数 y=k x的图象在第一、三象 限,故选项 A 错误,选项 D 正确, 当 k<0 时,函数 y=kx+k 的图象在第二、三、四象限,反比例函数 y=k x的图象在第二、四象 限,故选项 B 错误,选项 C 错误, 故选 D. 2.(2018·自贡市期中)反比例函数 y=k x和一次函数 y=kx-k 在同一坐标系中的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 【详解】10 (1)当 k>0 时,一次函数 y=kx-k 经过一、三、四象限,反比例函数经过一、三象限, 如图所示: (2)当 k<0 时,一次函数 y=kx-k 经过一、二、四象限,反比例函数经过二、四象限.如 图所示: 故选 C. 3.(2018 邵阳市中考模拟)在同一直角坐标系中,函数y = k x(k ≠ 0)与y = kx + k(k ≠ 0) 的图象大致是( ) A. B. C. D. 【详解】 A、由反比例函数的图像可知 k>0,这时一次函数的图像是与 y 轴交于正半轴,y 随 x 增大 而增大,故不正确; B、由反比例函数的图像可知 k<0,这时一次函数的图像是与 y 轴交于负半轴,y 随 x 增大 而减小,故不正确; C、由反比例函数的图像可知 k>0,这时一次函数的图像是与 y 轴交于正半轴,y 随 x 增大 而增大,故正确;11 D、由反比例函数的图像可知 k<0,这时一次函数的图像是与 y 轴交于负半轴,y 随 x 增大 而减小,故不正确. 故选:C. 4.(2018·湖北中考模拟)如图,已知 A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数 y=kx+b 的图 象与反比例函数y = m x 的图象的两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积; (3)求方程kx + b - m x ≺ 0的解集(请直接写出答案). 【详解】 (1)∵B(2,﹣4)在 y=m x上, ∴m=﹣8. ∴反比例函数的解析式为 y=﹣8 x. ∵点 A(﹣4,n)在 y=﹣8 x上, ∴n=2. ∴A(﹣4,2). ∵y=kx+b 经过 A(﹣4,2),B(2,﹣4), ∴{ -4k + b = 2 2k + b = -4 , 解之得{k = -1 b = -2. ∴一次函数的解析式为 y=﹣x﹣2. (2)∵C 是直线 AB 与 x 轴的交点, ∴当 y=0 时,x=﹣2. ∴点 C(﹣2,0).12 ∴OC=2. ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=1 2×2×2+1 2×2×4=6. (3)不等式kx + b - m x < 0的解集为:﹣4<x<0 或 x>2. 知识点四 用反比例函数解决实际问题 解题步骤: 1.根据题意找等量关系。 2.列出方程,并注明自变量的取值范围。 3.解方程 4.写方程 考察题型六 数形结合 1.(2019·南昌市期中)蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流 I(A)是电阻 R(Ω) 的反比例函数,其图象如图所示. (1)求这个反比例函数的表达式; (2)当 R=10Ω 时,求电流 I(A). 【详解】 解:(1)由电流 I(A)是电阻 R(Ω)的反比例函数,设 (k≠0), 把(4,9)代入得:k=4×9=36, ∴I = 36 R . (2) 当 R=10Ω 时,I = 36 10=3.6A. 考察题型七 建模思想 1.(2016·广东中考真题)一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以平均 80 千米/小时的速度用 了 4 个小时到达乙地,当他按原路匀速返回时.汽车的速度 v 千米/小时与时间 t 小时的函 数关系是(  ) A.v=320t B.v=320 t C.v=20t D.v=20 t 【详解】 kI R =13 由题意 vt=80×4, 则 v=320 t . 故选 B. 2.(2019 宝安区中考模拟)如果等腰三角形的面积为 10,底边长为 x,底边上的高为 y, 则 y 与 x 的函数关系式为( ) A.y=10 x B.y=5 x C.y=20 x D.y= x 20 【详解】 ∵等腰三角形的面积为 10,底边长为 x,底边上的高为 y, ∴ 1 2xy = 10, ∴y 与 x 的函数关系式为:y = 20 x . 故选 C. 3.(2019·连云港市期中)强哥驾驶小汽车(出租)匀速地从如皋火车站送客到南京绿口机 场,全程为 280km,设小汽车的行驶时间为 t(单位:h),行驶速度为 v(单位:km/h),且 全程速度限定为不超过 120km/h. (1)求 v 关于 t 的函数解析式; (2)强哥上午 8 点驾驶小汽车从如皋火车站出发. ①乘客需在当天 10 点 48 分至 11 点 30 分(含 10 点 48 分和 11 点 30 分)间到达南京绿口机 场,求小汽车行驶速度 v 的范围; ②强哥能否在当天 10 点前到达绿口机场?说明理由. 【详解】 解:(1)∵vt=280,且全程速度限定为不超过 120 千米/小时, ∴v 关于 t 的函数表达式为:v=280 t ,(t≥7 3). (2)①8 点至 10 点 48 分时间长为14 5 小时,8 点至 11 点 30 分时间长为 3.5 小时 将 t=3.5 代入 v=280 t 得 v=80;将 t=14 5 代入 v=280 t 得 v=100, ∴小汽车行驶速度 v 的范围为:80≤v≤100; ②强哥不能在当天 10 点前到达绿口机场.理由如下: 8 点至 10 点前时间长为 2 小时,将 t=2 代入 v=280 t 得 v=140>120 千米/小时,超速了. 故强哥不能在当天 10 点前到达绿口机场.14 考察题型八 反比例函数与其他函数相结合解决实际问题 1.(2019·文登区期末)为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召,建设生态文明,某工 厂自 2019 年 1 月开始限产并进行治污改造,其月利润y (万元)与月份x之间的变化如图所示, 治污完成前是反比例函数图象的一部分,治污完成后是一次函数图象的部分,下列选项错误 的是( ) A.4 月份的利润为50万元 B.污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 D.9 月份该厂利润达到200万元 【详解】 设反比例函数解析式为y = k x(x ≠ 0) 根据题意,图像过点(1,200),则可得出y = 200 x (x ≠ 0) 当x = 4时,y = 50,即 4 月份的利润为50万元,A 选项正确; 设一次函数解析式为 根据题意,图像过点(4,50)和(6,110) 则有{ 4k + b = 50 6k + b = 110 解得{ k = 30 b = -70 ∴一次函数解析式为y = 30x - 70,其斜率为 30,即污改造完成后每月利润比前一个月增 加30万元,B 选项正确; 治污改造完成前后,1-6 月份的利润分别为 200 万元、100 万元、200 3 万元、50 万元、110 万 元,共有 3 个月的利润低于100万元,C 选项错误; 9 月份的利润为30 × 9 - 70 = 200万元,D 选项正确; 故答案为 C. 2.(2015·河北中考模拟)已知反比例函数 y=k x的图象如图,则二次函数 y=2kx2-4x+k2 的图 y kx b= +15 象大致为( ) A. B. C. D. 【详解】 ∵函数 y= 的图象经过二、四象限,∴k<0, 由图知当 x=﹣1 时,y=﹣k>1,∴k<﹣1, ∴抛物线 y=2kx2﹣4x+k2 开口向下, 对称为 x=﹣ = ,﹣1< <0, ∴对称轴在﹣1 与 0 之间, 故选:D. 3.(2018·安丘市期末)为了预防“流感”,某学校对教室采用药熏法进行消毒,已知药物 燃烧时,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克/立方米)与药物点燃后的时间 x(分钟)成 正比例,药物燃尽后,y 与 x 成反比例(如图所示).已知药物点燃后 4 分钟燃尽,此时室 内每立方米空气中含药量为 8 毫克. (1)求药物燃烧时,y 与 x 之间函数的表达式; (2)求药物燃尽后,y 与 x 之间函数的表达式; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 2 毫克时,才能有效杀灭空气中的病菌, 那么此次消毒有效时间有多长?16 【详解】 (1)药物燃烧时,设 y=kx, 将(4,8)代入,得:8=4k, 解得 k=2, 则 y=2x; (2)药物燃尽后,设 y=m x, 将(4,8)代入,得:8=m 4, 解得:m=32, 则 y=32 x ; (3)在 y=2x 中,当 y=2 时,2x=2,解得 x=1; 在 y=32 x 中,当 y=2 时,32 x =2,解得 x=16; 则此次消毒有效时间为 16﹣1=15 分钟. 考察题型九 反比例函数与几何知识相结合解决问题 1.(2019·贵州中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 在第一象限内,边 BC 与 x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为 4,2,反比例函数 y = k x(x>0)的图象经过 A,B 两点,若菱形 ABCD 的面积为 2 5,则 k 的值为(  ) A.2 B.3 C.4 D.6 【详解】 过点 A 作 x 轴的垂线,交 CB 的延长线于点 E,17 ∵A,B 两点在反比例函数 y = k x(x>0)的图象,且纵坐标分别为 4,2, ∴A(k 4,4),B(k 2,2), ∴AE=2,BE = 1 2k - 1 4k = 1 4k, ∵菱形 ABCD 的面积为 2 5, ∴BC×AE=2 5,即 BC = 5, ∴AB=BC = 5, 在 Rt△AEB 中,BE = AB2 - AE2 = 1 ∴1 4k=1, ∴k=4. 故选:C. 2.(2018·江苏中考模拟)如图,O 是坐标原点,菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为(3,﹣4), 顶点 C 在 x 轴的正半轴上,函数 y=k x(k<0)的图象经过点 B,则 k 的值为(  ) A.﹣12 B.﹣32 C.32 D.﹣36 【详解】 解: ∵O 是坐标原点,菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为(3,﹣4),顶点 C 在 x 轴的正半轴上, ∴OA=5,AB∥OC, ∴点 B 的坐标为(8,﹣4), ∵函数 y=k x(k<0)的图象经过点 B,18 ∴﹣4=k 8,得 k=﹣32. 故选 B. 3.(2017·德州市期末)如图,已知双曲线y = k x(k < 0)经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中 点 D,且与直角边 AB 相交于点 C.若点 A 的坐标为( -6,4),则△AOC 的面积为 A.12 B.9 C.6 D.4 【解析】 ∵点A( - 6,4),D是OA中点 ∴D点坐标( - 3,2) ∵D( - 3,2)在双曲线y = k x(k < 0)上,代入可得2 = k -3 ∴k = -6 ∵点C在直角边AB上,而直线边AB与x轴垂直 ∴点C的横坐标为-6 又∵点C在双曲线y = -6 x ∴点C坐标为( - 6,1) ∴AC = ( - 6 + 6)2 + (1 - 4)2 = 3 从而SΔAOC = 1 2 × AC × OB = 1 2 × 3 × 6 = 9,故选 B 查看更多

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