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2020年中考数学一轮复习基础考点专题14反比例函数（含解析）.docx

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2020年中考数学一轮复习基础考点专题全套（共30份）
- 2020年中考数学一轮复习基础考点专题全套（共30份）

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1 专题 14 反比例函数单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一反比例函数的基础反比例函数的概念：一般地，形如y = k x（k为常数，k ≠ o）的函数称为反比例函数。表现形式：y = k x还可以写成y = kx - 1 和 xy= k 的形式【注意】反比例函数y = k x的自变量 x≠0，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点。 1．（2018·湖北襄阳七中初三月考）下列函数中，是反比例函数的是(　　) A．y＝k x B．3x＋2y＝0 C．xy－ 2＝0 D．y＝ 2 x + 1 【详解】解：A、k≠0 时，y=k x是反比例函数，故此选项错误； B、3x+2y=0，可变形为 y= - 3 2x，是正比例函数，不是反比例函数，故此选项错误； C、xy- 2=0 可变形为 y= 2 x 是反比例函数，故此选项正确； D、y= 2 x - 1分母是 x-1，不是反比例函数，故此选项错误．2 故选：C． 2．（2019·深圳市福田区外国语学校初三期中）下列函数是反比例函数的是（） A．y = k x B． C．y = 2x-1 D．y=-x+5 【详解】 A 选项中，当k = 0时不是反比例函数，故该选项错误. B 选项中，是正比例函数，故该选项错误. C 选项中，y = 2x-1是反比例函数，故该选项正确. D 选项中，y=-x+5 是一次函数，故该选项错误. 故选 C 反比例函数解析式的特征: 1.等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为 1. 2.比例系数k ≠ 0 3.自变量x的取值为一切非零实数。 4.函数y的取值是一切非零实数。考查题型一根据反比例函数概念求参数值的方法 1．（2019·黑龙江八五八农场学校初二期末）函数的图象y = (m + 1)xm2-2是双曲线，则 m 的值是（） A．－1 B．0 C．1 D．2 【详解】解：∵函数y = (m + 1)xm2-2的图象是双曲线， ∴{ m + 1 ≠ 0 m2 - 2＝ - 1，解得 m=1．故选：C． 2．（2019·莱芜市寨里镇寨里中学初三期中）若函数＝（m+1）x|m|﹣2 是反比例函数，则＝（　　） A．±1 B．±3 C．﹣1 D．1 【详解】 ∵函数=（m+1）x|m|﹣2 是反比例函数，∴|m|﹣2=﹣1，解得：m=±1． ∵m+1≠0，∴m≠－1，∴m=1． 2 3 xy = 2 3 xy =3 故选 D．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（考点）： 1）设反比例函数的解析式为y = k x（k 为常数，k≠0） 2）把已知的一对 x，y 的值带入解析式，得到一个关于待定系数 k 的方程。 3）解方程求出 k 值 4）将 k 值代入所设解析式中。考查题型二待定系数法求反比例函数解析式 1．（2019·明光市鲁山中学初三月考）函数y = k x的图象经过点(2,3)，那么k等于（） A．6 B．1 6 C．2 3 D．3 2 【详解】 ∵函数 y=k x的图象经过点(2,3)， ∴点(2,3)满足 y=k x， ∴3=k 2，解得，k=6. 故选 A. 2．（2019·芜湖市期中）下列各点中，在函数 y=-6 x图象上的是（　　） A． B．(2,3) C．( -1,6) D．( - 1 2,3) 【详解】 A.∵(－2)×(－4)＝8≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B．∵2×3＝6≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C．∵(－1)×6＝－6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； D．∵( - 1 2)×3＝－3 2≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选 C. 3．（2019·江苏初三月考）反比例函数 y＝k x图象经过 A（1，2），B（n，﹣2）两点，则 n＝（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【详解】 ( )2, 4− −4 解：∵反比例函数 y＝k x 图象经过 A（1，2），B（n，﹣2）两点， ∴k＝1×2＝﹣2n．解得 n＝﹣1．故选：C． 4．（2019·黑龙江中考模拟）若反比例函数y = k + 3 x 的图像经过点(3, - 2)，则k的值为（） A． -9 B．3 C． -6 D．9 【详解】把点(3, - 2)代入y = k + 3 x ，可得 -2 = k + 3 3 ，解得：k=-9. 故选：A 知识点二反比例函数的图像和性质（基础）图像的画法：描点法 1.列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 2.描点（由小到大的顺序） 3.连线（从左到右光滑的曲线）图像的特征： 1.函数的图像是双曲线． 2.图像的对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线 y = x 或 y= -x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 3.k 的取值与函数图象弧度之间的关系： |k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．反比例函数的性质： k的取值图像所在象限函数的增减性 k>0 一、三象限在每个象限内，y值随x的增大而减小 k>0 二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论考查题型三反比例函数图形特征与性质 1．（2018·安岳县期中）反比例函数y = - k2 x （k为常数，k ≠ 0）的图象位于（） A．第一、二象限 B．第一、三象限5 C．第二、四象限 D．第三、四象限【解析】 ∵k≠0，∴k2＞0，∴﹣k2＜0，∴反比例函数y = - k2 x （k 为常数，k≠0）的图象位于第二、四象限．故选 C． 2．（2018·深圳市龙岗区百合外国语学校初三期中）已知反比例函数，下列结论正确的是（） A．y值随着x值的增大而减小 B．图象是双曲线，是中心对称图形 C．当 x＞1 时，0＜ y＜1 D．图象可能与坐标轴相交【详解】 A、因为反比例函数的图象在二、四象限内，所以在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，故本选项错误； B、反比例函数的图象是双曲线，是中心对称图形，故本选项正确； C、当 x＞1 时，y 0 时反比例函数的图象在第一、三象限，当 k -1 C．k < 1 D．k > 1 【详解】 ∵ 函数y = k + 1 x 的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大， ∴ k + 1 < 0 解得：k < -1 故选：A 7．（2018·河南中考模拟）若点 A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数 y=2k2 + 3 x （k 为常数）的图象上，则 y1，y2，y3 大小关系为（　　） A．y1＞y2 ＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【详解】 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2x x< 1 2x x< 1 2y y＞7 ∵2k2 +3 ≻ 0， ∴反比例函数 y=2k2 + 3 x 的图象在一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小， ∴A（﹣6，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，C（3，y3）在第一象限， ∴y2＜y1＜0，y3＞0， ∴y3＞y1＞y2. 故选 D. 8．（2019·芜湖市期中）若反比例函数 y＝1 - 2k x （k 为常数）的图象在第一、三象限，则 k 的取值范围是（　　） A．k＜﹣1 2 B．k＜1 2 C．k＞﹣1 2 D．k＞1 2 【详解】 ∵反比例函数 y＝1 - 2k x （k 为常数）的图象在第一、三象限， ∴1﹣2k＞0，解得 k＜1 2．故选：B．知识点三 k 值的意义（难点） 1）设点 P（a，b）是双曲线上y = k x任意一点，作 PA⊥x 轴于 A 点，PB⊥y 轴于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是|k|（三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是|k| 2 ）． 2）由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QC⊥PA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为 2|k|．8 考查题型四计算反比例函数有关图形面积的方法 1．（2019·四平市期末）如图，A、B 是曲线y = 3 x(x > 0)上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，若S阴影 = 1，则 S1+S2 的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】解：∵A、B 是曲线y = 3 x上的点，经过 A、B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段， ∴S 矩形 ACOD=S 矩形 BEOF=3，又∵S 阴影=1， ∴S1=S2=3-1=2， ∴S1+S2=4．故选：B． 2．（2018·南京市期中）在反比例函数y = 4 x的图象中，阴影部分的面积不等于 4 的是（） A． B． C． D．【详解】9 解：A、图形面积为|k|=4； B、阴影是梯形，面积为 6； C、D 面积均为两个三角形面积之和，为 2×（1 2|k|）=4．故选 B． 3)直线 y=k1x 与双曲线的关系：当 k1•k20 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．考察题型五一次函数与反比例函数综合 1．（2018·射阳县期末）关于 x 的函数 y＝kx＋k 和 y＝k x (k≠0)在同一坐标系中的图象大致是 (　　) A． B． C． D．【详解】当 k＞0 时，函数 y=kx+k 的图象在第一、二、三象限，反比例函数 y=k x的图象在第一、三象限，故选项 A 错误，选项 D 正确，当 k＜0 时，函数 y=kx+k 的图象在第二、三、四象限，反比例函数 y=k x的图象在第二、四象限，故选项 B 错误，选项 C 错误，故选 D． 2．（2018·自贡市期中）反比例函数 y=k x和一次函数 y=kx-k 在同一坐标系中的图象大致是 ( ) A． B． C． D．【详解】10 （1）当 k＞0 时，一次函数 y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当 k＜0 时，一次函数 y=kx-k 经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选 C． 3．（2018 邵阳市中考模拟）在同一直角坐标系中，函数y = k x(k ≠ 0)与y = kx + k(k ≠ 0) 的图象大致是（） A． B． C． D．【详解】 A、由反比例函数的图像可知 k＞0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于正半轴，y 随 x 增大而增大，故不正确； B、由反比例函数的图像可知 k＜0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于负半轴，y 随 x 增大而减小，故不正确； C、由反比例函数的图像可知 k＞0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于正半轴，y 随 x 增大而增大，故正确；11 D、由反比例函数的图像可知 k＜0，这时一次函数的图像是与 y 轴交于负半轴，y 随 x 增大而减小，故不正确. 故选：C. 4．（2018·湖北中考模拟）如图，已知 A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数y = m x 的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△AOB 的面积；（3）求方程kx + b - m x ≺ 0的解集（请直接写出答案）．【详解】（1）∵B（2，﹣4）在 y=m x上， ∴m=﹣8． ∴反比例函数的解析式为 y=﹣8 x． ∵点 A（﹣4，n）在 y=﹣8 x上， ∴n=2． ∴A（﹣4，2）． ∵y=kx+b 经过 A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴{ -4k + b = 2 2k + b = -4 ，解之得{k = -1 b = -2． ∴一次函数的解析式为 y=﹣x﹣2．（2）∵C 是直线 AB 与 x 轴的交点， ∴当 y=0 时，x=﹣2． ∴点 C（﹣2，0）．12 ∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=1 2×2×2+1 2×2×4=6．（3）不等式kx + b - m x < 0的解集为：﹣4＜x＜0 或 x＞2．知识点四用反比例函数解决实际问题解题步骤： 1.根据题意找等量关系。 2.列出方程，并注明自变量的取值范围。 3.解方程 4.写方程考察题型六数形结合 1．（2019·南昌市期中）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（A）是电阻 R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当 R=10Ω 时，求电流 I（A）．【详解】解：（1）由电流 I（A）是电阻 R（Ω）的反比例函数，设（k≠0），把（4，9）代入得：k=4×9=36， ∴I = 36 R ．（2）当 R=10Ω 时，I = 36 10=3.6A．考察题型七建模思想 1.（2016·广东中考真题）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均 80 千米/小时的速度用了 4 个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度 v 千米/小时与时间 t 小时的函数关系是（　　） A．v=320t B．v=320 t C．v=20t D．v=20 t 【详解】 kI R =13 由题意 vt=80×4，则 v=320 t ．故选 B． 2.（2019 宝安区中考模拟）如果等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y，则 y 与 x 的函数关系式为（） A．y＝10 x B．y＝5 x C．y＝20 x D．y＝ x 20 【详解】 ∵等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y， ∴ 1 2xy = 10， ∴y 与 x 的函数关系式为：y = 20 x ．故选 C． 3.（2019·连云港市期中）强哥驾驶小汽车（出租）匀速地从如皋火车站送客到南京绿口机场，全程为 280km，设小汽车的行驶时间为 t（单位：h），行驶速度为 v（单位：km/h），且全程速度限定为不超过 120km/h．（1）求 v 关于 t 的函数解析式；（2）强哥上午 8 点驾驶小汽车从如皋火车站出发． ①乘客需在当天 10 点 48 分至 11 点 30 分（含 10 点 48 分和 11 点 30 分）间到达南京绿口机场，求小汽车行驶速度 v 的范围； ②强哥能否在当天 10 点前到达绿口机场？说明理由．【详解】解：（1）∵vt＝280，且全程速度限定为不超过 120 千米/小时， ∴v 关于 t 的函数表达式为：v＝280 t ，（t≥7 3）．（2）①8 点至 10 点 48 分时间长为14 5 小时，8 点至 11 点 30 分时间长为 3.5 小时将 t＝3.5 代入 v＝280 t 得 v＝80；将 t＝14 5 代入 v＝280 t 得 v＝100， ∴小汽车行驶速度 v 的范围为：80≤v≤100； ②强哥不能在当天 10 点前到达绿口机场．理由如下： 8 点至 10 点前时间长为 2 小时，将 t＝2 代入 v＝280 t 得 v＝140＞120 千米/小时，超速了．故强哥不能在当天 10 点前到达绿口机场．14 考察题型八反比例函数与其他函数相结合解决实际问题 1.（2019·文登区期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自 2019 年 1 月开始限产并进行治污改造，其月利润y (万元)与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（） A．4 月份的利润为50万元 B．污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 D．9 月份该厂利润达到200万元【详解】设反比例函数解析式为y = k x(x ≠ 0) 根据题意，图像过点（1,200），则可得出y = 200 x (x ≠ 0) 当x = 4时，y = 50，即 4 月份的利润为50万元，A 选项正确；设一次函数解析式为根据题意，图像过点（4,50）和（6,110）则有{ 4k + b = 50 6k + b = 110 解得{ k = 30 b = -70 ∴一次函数解析式为y = 30x - 70，其斜率为 30，即污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元，B 选项正确；治污改造完成前后，1-6 月份的利润分别为 200 万元、100 万元、200 3 万元、50 万元、110 万元，共有 3 个月的利润低于100万元，C 选项错误； 9 月份的利润为30 × 9 - 70 = 200万元，D 选项正确；故答案为 C. 2.（2015·河北中考模拟）已知反比例函数 y=k x的图象如图，则二次函数 y=2kx2-4x+k2 的图 y kx b= +15 象大致为（） A． B． C． D．【详解】 ∵函数 y= 的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当 x=﹣1 时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1， ∴抛物线 y=2kx2﹣4x+k2 开口向下，对称为 x=﹣ = ，﹣1＜＜0， ∴对称轴在﹣1 与 0 之间，故选：D． 3.（2018·安丘市期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间 x（分钟）成正比例，药物燃尽后，y 与 x 成反比例（如图所示）．已知药物点燃后 4 分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为 8 毫克．（1）求药物燃烧时，y 与 x 之间函数的表达式；（2）求药物燃尽后，y 与 x 之间函数的表达式；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 2 毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间有多长？16 【详解】（1）药物燃烧时，设 y=kx，将（4，8）代入，得：8=4k，解得 k=2，则 y=2x；（2）药物燃尽后，设 y=m x，将（4，8）代入，得：8=m 4，解得：m=32，则 y=32 x ；（3）在 y=2x 中，当 y=2 时，2x=2，解得 x=1；在 y=32 x 中，当 y=2 时，32 x =2，解得 x=16；则此次消毒有效时间为 16﹣1=15 分钟．考察题型九反比例函数与几何知识相结合解决问题 1．（2019·贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 在第一象限内，边 BC 与 x 轴平行，A，B 两点的纵坐标分别为 4，2，反比例函数 y = k x（x＞0）的图象经过 A，B 两点，若菱形 ABCD 的面积为 2 5，则 k 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【详解】过点 A 作 x 轴的垂线，交 CB 的延长线于点 E，17 ∵A，B 两点在反比例函数 y = k x（x＞0）的图象，且纵坐标分别为 4，2， ∴A（k 4，4），B（k 2，2）， ∴AE＝2，BE = 1 2k - 1 4k = 1 4k， ∵菱形 ABCD 的面积为 2 5， ∴BC×AE＝2 5，即 BC = 5， ∴AB＝BC = 5，在 Rt△AEB 中，BE = AB2 - AE2 = 1 ∴1 4k＝1， ∴k＝4．故选：C． 2.（2018·江苏中考模拟）如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，﹣4），顶点 C 在 x 轴的正半轴上，函数 y=k x（k＜0）的图象经过点 B，则 k 的值为（　　） A．﹣12 B．﹣32 C．32 D．﹣36 【详解】解： ∵O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，﹣4），顶点 C 在 x 轴的正半轴上， ∴OA=5，AB∥OC， ∴点 B 的坐标为（8，﹣4）， ∵函数 y=k x（k＜0）的图象经过点 B，18 ∴﹣4=k 8，得 k=﹣32. 故选 B. 3．（2017·德州市期末）如图，已知双曲线y = k x(k < 0)经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C．若点 A 的坐标为（ -6，4），则△AOC 的面积为 A．12 B．9 C．6 D．4 【解析】 ∵点A( - 6,4)，D是OA中点 ∴D点坐标( - 3,2) ∵D( - 3,2)在双曲线y = k x(k < 0)上，代入可得2 = k -3 ∴k = -6 ∵点C在直角边AB上，而直线边AB与x轴垂直 ∴点C的横坐标为-6 又∵点C在双曲线y = -6 x ∴点C坐标为( - 6,1) ∴AC = ( - 6 + 6)2 + (1 - 4)2 = 3 从而SΔAOC = 1 2 × AC × OB = 1 2 × 3 × 6 = 9，故选 B 查看更多

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