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1 专题 08 整式的乘除和因式分解 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 整式乘法 幂的运算性质(基础):  am·an=am+n (m、n 为正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 【同底数幂相乘注意事项】 1)底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算,根据指数是奇偶数来确定结果的正负,并且化简到底。 2)不能疏忽指数为 1 的情况。 3)乘数 a 可以看做有理数、单项式或多项式(整体思想)。2 4)如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。 1.(2018·河北中考真题)若 2n+2n+2n+2n=2,则 n=(  ) A.﹣1 B.﹣2 C.0 D. 【答案】A 【详解】∵2n+2n+2n+2n=2, ∴4×2n=2, ∴2×2n=1, ∴21+n=1, ∴1+n=0, ∴n=﹣1, 故选 A. 2.(2012·江苏中考真题)若 3 × 9m × 27m= ,则 的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【详解】 ∵3 × 9m × 27m=3 × 32m × 33m=31+2m+3m ∴1+2m+3m=21 ∴m=4 故选 B 3.(2019·山东中考模拟)化简(﹣a2)•a5 所得的结果是( ) A.a7 B.﹣a7 C.a10 D.﹣a10 【答案】B 【详解】 (-a2)·a5=-a7. 故选 B.  (am)n=amn (m、n 为正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘. 【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。 1.(2019·浙江省温岭市第四中学中考模拟)下列计算正确的是(  ) A.a2•a3=a6 B.(a2)3=a6 C.a6﹣a2=a4 D.a5+a5=a10 1 43 【答案】B 【详解】 A、a2•a3=a5,错误; B、(a2)3=a6,正确; C、不是同类项,不能合并,错误; D、a5+a5=2a5,错误; 故选 B. 2.(2019·辽宁中考模拟)下列运算正确的是(  ) A.a2•a2=2a2 B.a2+a2=a4 C.(a3)2=a6 D.a8÷a2=a4 【答案】C 【详解】A、a2•a2=a4,错误; B、a2+a2=2a2,错误; C、(a3)2=a6,正确; D、a8÷a2=a6,错误, 故选 C. 3.(2018·浙江中考模拟)计算(﹣a3)2 的结果是(  ) A.a5 B.﹣a5 C.a6 D.﹣a6 【答案】C 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则可得:(﹣a3)2=a6.故选 C.  (ab)n=anbn (n 为正整数) 积的乘方等于各因式乘方的积. 1.(2018·湖南中考真题)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 A、错误.应该是 x3•x3=x6; B、错误.应该是 x8÷x4=x4; C、错误.(ab3)2=a2b6. D、正确. 故选 D. 3 3 9·x x x= 8 4 2x x x÷ = ( )23 6ab ab= ( )3 32 8x x=4 2.(2018·贵州中考真题)下列运算正确的是(  ) A.(﹣a2)3=﹣a5 B.a3•a5=a15 C.(﹣a2b3)2=a4b6 D.3a2﹣2a2=1 【答案】C 【详解】 解:A. (﹣a2)3=﹣a6,故此选项错误; B. a3•a5=a8 ,故此选项错误; C.(﹣a2b3)2=a4b6 ,正确; D. 3a2﹣2a2=a2,故此选项错误; 故选:C.  am ÷an=am-n (a≠0,m、n 都是正整数,且 m>n) 同底数幂相除,底数不变,指数减. 【同底数幂相除注意事项】 1.因为 0 不能做除数,所以底数 a≠0. 2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同,而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。 3.注意指数为 1 的情况,如 x8÷x= x7 ,计算时候容易遗漏或将 x 的指数当做 0. 4.多个同底数幂相除时,应按顺序计算。  a0=1 (a≠0)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l. 1.(2016·江苏中考真题)下列计算正确的是( ) A.a3 + a2 = a5 B.a3 ⋅ a2 = a5 C.(2a2)3 = 6a6 D.a6 ÷ a2 = a3 【答案】B 【详解】 A 选项:a2、a3不是同类项,不能合并,故是错误的; B 选项:a2 ⋅ a3 = a5,故是错误的; C 选项:(a3)2 = a6,故是正确的; D 选项:a8 ÷ a4 = a6,故是错误的; 故选 C. 2..(2018·丹东市第十八中学中考模拟)下列计算正确的是( ). A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 2 2 4x x x+ = 8 2 4x x x÷ = 2 3 6x x x⋅ = 2 2( ) 0x x− − =5 A 选项中,因为 ,所以 A 中计算错误; B 选项中,因为 ,所以 B 中计算错误; C 选项中,因为 ,所以 C 中计算错误; D 选项中,因为 ,所以 D 中计算正确. 故选 D. 3.(2016·福建中考模拟)下列运算正确的是( ) A.2a2+a=3a3 B.(m2)3=m5 C.(x+y)2=x2+y2 D.a6÷a3=a3 【答案】D 【详解】 A、2a2 与 a 不是同类项,不能合并,故本选项错误; B、(m2)3=m2×3=m6,故本选项错误; C、(x+y)2=x2+2xy+y2,故本选项错误; D、a6÷a3=a6-3=a3,故本选项正确. 故选 D. 考查题型一 幂的运算法则的应用 1.(2019·浙江杭州外国语学校中考模拟)若 2m=5,4n=3,则 43n﹣m 的值是( ) A. B. C.2 D.4 【答案】B 【详解】 ∵2m=5,4n=3, ∴43n﹣m= = = = 故选 B. 2.(2019·海口市长流中学中考模拟)已知 x+y﹣4=0,则 2y•2x 的值是(  ) A.16 B.﹣16 C. D.8 【答案】A 【详解】 ∵x+y-4=0,∴x+y=4,∴2y·2x=2x+y=24=16. 2 2 22x x x+ = 8 2 6x x x÷ = 2 3 5x x x× = 2 2 2 2( ) 0x x x x− − = − = 9 10 27 25 34 4 n m 3 2 (4 ) (2 ) n m 3 2 3 5 27 25 1 86 故选 A. 3.(2012·山东中考真题)若3x = 4, 9y = 7,则3x-2y的值为( ) A.4 7 B.7 4 C. D.2 7 【答案】A 【详解】 ∵3x = 4, 9y = 7, ∴3x-2y = 3x 32y = 3x 9y = 4 7; 故选 A。 4.(2018·江苏中考模拟)若 ,则 的值分别为( ) A.9,5 B.3,5 C.5,3 D.6,12 【答案】B ∵(ambn)3=a9b15, ∴a3mb3n=a9b15, ∴3m=9,3n=15, ∴m=3,n=5, 故选 B. 5.(2018·湖南中考模拟)已知 am=2,an=3,则 a3m+2n 的值是(  ) A.24 B.36 C.72 D.6 【答案】C 【详解】 ∵am=2,an=3, ∴a3m+2n =a3m•a2n =(am)3•(an)2 =23×32 =8×9 =72. 故选 C. 3 9 15( )m na b a b= ,m n7 考查题型二 运用幂的原酸法则比较大小 1.(2019·杭州市余杭区乾元中学中考模拟)若 , ,则下列结论正确是( ) A.a<b B. C.a>b D. 【答案】B 【详解】 , 故选 B. 2.(2017·湖北中考模拟)已知 则 的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 解: 故选 A. 知识点二 整式乘除  单项式×单项式 单项式的乘法法则:单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含 有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式乘法易错点: 【注意】 1. 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。 2. 运算顺序:先算乘方,再算乘法。 1.(2017·安徽中考模拟) 不等于( ) 9 99 99 9a = 9 90 11 9b = a b= 1ab = ( )99 9 9 9 99 90 9 9 90 90 9 1199 9 11 11= = =9 9 9 9 9a b+ × ×= = × 31 41 6181 27 9a b c= = =, , , a b c、 、 a b c> > a c b> > a b c< < b c a> > 31 124 123 61 122a 81 3 b 3 c 9 3 a b c.= = = = = > >, , , 2( ) ( )m m ma a⋅8 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 = · = . A 中, = ,故 A 正确; B 中, =( )m= , 故 B 正确; C 中, = ,故 C 错误; D 中, = = , 故 D 正确. 故选 C. 2.(2018·山东中考模拟)计算:(−x)3·2x 的结果是 A.−2x4 B.−2x3 C.2x4 D.2x3 【答案】A 【详解】 (﹣x)3•2x=﹣x3•2x =﹣2x4. 故选:A. 3.(2018·湖南中考模拟)如果单项式-3x4a-by2 与 x3ya+b 的和是单项式,那么这两个单项式的积是 ( ) A.3x6y4 B.-3x3y2 C.-3x3y2 D.-3x6y4 【答案】D 【详解】 由同类项的定义,得 , 解得 . 所以原单项式为:-3x3y2 和 x3y2,其积是-3x6y4. 2( )m ma + 2( )m ma a⋅ 2 2m ma + 3 1( ) ( )m m ma a −⋅ ( ) ( )2mm ma a⋅ 2ma 2ma 2 2m ma + ( )2 mma + 2 2m ma + ( )2 mma a⋅ 2ma + 2 2m ma + 2 2m ma + 22ma ( ) ( )3 1 mm ma a −⋅ 23m m ma a −⋅ 2 2m ma + 4 3 2 a b a b −  + = = 1 1 a b = =   9 故选:D.  单项式×多项式 单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加 【单项式乘以多项式注意事项】 1.单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同。 2.单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号。(同号相乘得正,异号相乘得负) 3.不要出现漏乘现象,运算要有顺序。 1.(2018·湖北中考真题)计算(a﹣2)(a+3)的结果是(  ) A.a2﹣6 B.a2+a﹣6 C.a2+6 D.a2﹣a+6 【答案】B 【详解】 (a﹣2)(a+3)=a2+3a-2a-6=a2+a﹣6, 故选 B. 2.(2019·山东中考真题)计算 的结果是( ) A.8m5 B.-8m5 C.8m6 D.-4m4+12m5 【答案】A 【详解】 原式=4m2•2m3 =8m5, 故选 A. 3.(2019·广西中考真题)计算: (  ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 解: ; 故选:B.  多项式×多项式 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加. 【多项式乘以多项式注意事项】 2 2 3( 2 ) ( 3 )m m m m− ⋅ − ⋅ + 2( 1)x x − = 3 1x − 3x x− 3x x+ 2x x− 2 3( 1)x x x x− = −10 多项式与多项式相乘时,多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和,每一项都包 括前面的符号,在计算时一定要注意确定各项的符号。 1.(2018·内蒙古中考模拟)计算 的结果为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 解:原式 故选 B. 2.(2018·湖北中考模拟)计算(x-2)(x+5)的结果是 A.x2+3x+7 B.x2+3x+10 C.x2+3x-10 D.x2-3x-10 【答案】C 【详解】 (x - 2)(x + 5) = x2 +5x - 2x - 10 = x2 +3x - 10. 故选:C. 3.(2015·广东中考真题)若(x+2)(x﹣1)=x2+mx+n,则 m+n=( ) A.1 B.-2 C.-1 D.2 【答案】C 【详解】 依据多项式乘以多项式的法则,进行计算(x+2)(x-1)= +x﹣2 = +mx+n,然后对照各项的系数即可求 出 m=1,n=﹣2,所以 m+n=1﹣2=﹣1. 故选:C  乘法公式 ① 完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 【扩展】 扩展一(公式变化): a2+ b2 = (a + b)2 - 2ab a2 + b2 = (a - b)2 +2ab 扩展二: (a + b)2+ (a - b)2 = 2(a2+ b2) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab ( 1)( 2)x x+ + 2 2x + 2 3 2x x+ + 2 3 3x x+ + 2 2 2x x+ + 2 22 2 3 2.x x x x x= + + + = + + 2x 2x11 扩展三: a2+ b2+ c2= (a + b + c)2-2ab-2ac-2bc ② 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 【运用平方差公式注意事项】 1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较,不能误用公式.如:(a+3b)(3a-b),不能运用平方差公 式. 2.公式中的字母 a、b 可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以,当这个字母表示一个负数、分式、 多项式时,应加括号避免出现只把字母平方,而系数忘了平方的错误. 1.(2018·河北中考真题)将 9.52 变形正确的是(  ) A.9.52=92+0.52 B.9.52=(10+0.5)(10﹣0.5) C.9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52 【答案】C 【详解】 9.52=(10﹣0.5)2=102﹣2×10×0.5+0.52, 或 9.52=(9+0.5)2=92+2×9×0.5+0.52, 观察可知只有 C 选项符合, 故选 C. 2.(2018·四川中考模拟)已知 x2+mx+25 是完全平方式,则 m 的值为(  ) A.10 B.±10 C.20 D.±20 【答案】B 【详解】 ∵x2+mx+25 是完全平方式, ∴m=±10, 故选:B. 3.(2018·甘肃中考模拟)已知一个圆的半径为 Rcm,若这个圆的半径增加 2cm,则它的面积增加(  ) A.4πcm2 B.(2πR+4π)cm2 C.(4πR+4π)cm2 D.以上都不对 【答案】C 【详解】 半径为 Rcm 的圆的面积是 S1=πR2,若这个圆的半径增加 2cm,则其面积是 S2=π(R+2)2,用增加后的圆的 面积减去增加前圆的面积,利用平方差公式计算即可. 详解:∵S2﹣S1=π(R+2)2﹣πR2=π(R+2﹣R)(R+2+R)=4πR+4π,12 ∴它的面积增加 4πR+4πcm2. 故选 C. 4.(2019·上海中考模拟)下列各式的变形中,正确的是( ) A.(-x-y)(-x+y)=x2-y2 B.1 x-x=1 - x x C.x2-4x+3=(x-2)2+1 D.x÷(x2+x)=1 x+1 【答案】A 【详解】 根据平方差公式可得 A 正确;根据分式的减法法则可得:B=1 - x2 x ;根据完全平方公式可得:C=(x - 2)2-1; 根据单项式除以多项式的法则可得:D= 1 x + 1.  单项式÷单项式 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它 的指数作为商的一个因式. 【同底数幂相除注意事项】 1.因为 0 不能做除数,所以底数 a≠0. 2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同,而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。 3.注意指数为 1 的情况,计算时候容易遗漏或将 x 的指数当做 0. 4.多个同底数幂相除时,应按顺序计算。 1.(2018·陕西中考模拟)下列各式中,计算正确的是(  ) A.2x+3y=5xy B.x6÷x2=x3 C.(﹣2x3y)3=﹣8x9y3 D.x2y•x3y=x5y 【答案】C 【详解】 2x+3y= 2x+3y≠5xy,故 A 错误. x6÷x2=x4,故 B 错误,x2y•x3y=x5y2,故 D 错误.选 C. 2.(2018·湖南中考真题)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 2 3 5a b ab+ = 2 2( )ab a b− = 2 4 8a a a⋅ = 6 3 3 2 2a aa =13 A、2a 与 3b 不是同类项,不能合并,故本选项错误; B、原式=a2b2,故本选项错误; C、原式=a6,故本选项错误; D、原式=2a3,故本选项正确. 故选:D. 3.(2019·江苏中考真题)如图,数轴上有 、 、 三点,O 为 原点, 、 分别表示仙女座星 系、M87 黑洞与地球的距离(单位:光年).下列选项中,与点 表示的数最为接近的是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 A. ( )÷( )=2,观察数轴,可知 A 选项不符合题意; B. ÷( )=4,观察数轴,可知 B 选项不符合题意; C. ÷( )=20,观察数轴,可知 C 选项不符合题意; D. ÷( )=40,从数轴看比较接近,可知 D 选项符合题意, 故选 D.  多项式÷单项式 一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 【解题思路】 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。 1.(2019·河南中考模拟)下列运算结果正确的是(  ) A.(x3﹣x2+x)÷x=x2﹣x B.(﹣a2)•a3=a6 C.(﹣2x2)3=﹣8x6 D.4a2﹣(2a)2=2a2 【答案】C 【详解】 A、(x3-x2+x)÷x=x2-x+1,此选项计算错误; B、(-a2)•a3=-a5,此选项计算错误; C、(-2x2)3=-8x6,此选项计算正确; D、4a2-(2a)2=4a2-4a2=0,此选项计算错误. O A B O OA OB B 65 10× 710 75 10× 810 65 10× 62.5 10× 710 62.5 10× 75 10× 62.5 10× 810 62.5 10×14 故选:C. 2.(2017·海南中考模拟)已知长方形的面积为 18x3y4+9xy2-27x2y2,长为 9xy,则宽为(  ) A.2x2y3+y+3xy B.2x2y2-2y+3xy C.2x2y3+2y-3xy D.2x2y3+y-3xy 【答案】D 由题意得: 长方形的宽 故选 D. 3.(2015·福建中考真题) 下列运算正确的是( ) A.(a2)3 = a5 B.a2 + a4 = a6 C.a3 ÷ a3 = 1 D.(a3 -a) ÷ a = a2 【答案】C 【详解】 A.(a2)3 = a6,故错误; B.a2与a4布什同类项,不能进行合并; C.a3 ÷ a3 = 1,正确; D.(a3 -a) ÷ a = a2 -1,故错误, 故选 C.  整式的混合运算 运算顺序:先乘方,再乘除,后加减,有括号时先算括号里面的。 1.(2017·安徽中考模拟)设 M=(x﹣3)(x﹣7),N=(x﹣2)(x﹣8),则 M 与 N 的关系为( ) A.M<N B.M>N C.M=N D.不能确定 【答案】B 【详解】 解:∵M=(x-3)(x-7)=x2-10x+21, N=(x-2)(x-8)=x2-10x+16, M-N=(x2-10x+21)-(x2-10x+16)=5, ∴M>N. 故选 B. ( ) ( )3 4 2 2 2 2 3 2 318 9 27 9 9 2 3 9 2 3x y xy x y xy xy x y y xy xy x y y xy= + − ÷ = + − ÷ = + − .15 2.(2018·广西中考模拟)点 A(a,3)与点 B(4,b)关于 y 轴对称,则(a+b)2017 的值为(  ) A.0 B.﹣1 C.1 D.72017 【答案】B 【详解】 解:由题意,得 a=-4,b=3. (a+b)2017=(-1)2017=-1, 故选:B. 3.(2018·江苏中考真题)计算:(1)(﹣2)2×|﹣3|﹣( )0;(2)(x+1)2﹣(x2﹣x) 【答案】(1)11;(2)3x+1. 【详解】 (1)(-2)2×|-3|-( )0 =4×3-1 =12-1 =11; (2)(x+1)2-(x2-x) =x2+2x+1-x2+x =3x+1. 考查题型三 利用多项式与多项式乘积中项的特征求待定字母的值的方法 1.(2018·山东中考模拟)若(x﹣2)(x2+ax+b)的积中不含 x 的二次项和一次项,求(2a+b+1)(2a﹣b﹣ 1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b 的值. 【答案】59. 【详解】 解:(x﹣2)(x2+ax+b)=x3+ax2+bx﹣2x2﹣2ax﹣2b=x3+(a﹣2)x2+(b﹣2a)x﹣2b, ∵(x﹣2)(x2+ax+b)的积中不含 x 的二次项和一次项, ∴a﹣2=0 且 b﹣2a=0, 解得:a=2,b=4, (2a+b+1)(2a﹣b﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b 6 616 =(2a)2﹣(b+1)2﹣(a2﹣4b2)+2b =4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b =3a2+3b2﹣1, 当 a=2,b=4 时, 原式=3×22+3×42﹣1=12+48﹣1=59. 考查题型四 乘法公式的合理运用 1.(2019·乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟)计算: (1)(a+2b﹣c)(a﹣2b+c) (2)已知 6x﹣5y=10,求[(﹣2x+y)(﹣2x﹣y)﹣(2x﹣3y)2]÷4y 的值. 【答案】(1)a2﹣4b2+4bc﹣c2;(2)5. 【详解】解: (1)原式=[a+(2b﹣c)][a﹣(2b﹣c)] =a2﹣(2b﹣c)2 =a2﹣(4b2﹣4bc+c2) =a2﹣4b2+4bc﹣c2 (2)当 6x﹣5y=10 时, ∴3x﹣2.5y=5 原式=[4x2﹣y2﹣(4x2﹣12xy+9y2)]÷4y =(12xy﹣10y2)÷4y =3x﹣2.5y =5 考查题型五 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用 1.(2018·浙江中考模拟)计算:(﹣2018)2+2017×(﹣2019). 【答案】1. 【详解】 (﹣2018)2+2017×(﹣2019) =20182﹣(2018﹣1)×(2018+1) =20182﹣20182+1 =1.17 考查题型六 乘法公式的变形在解题中的应用 1.(2019·甘肃中考模拟)已知 x+ =6,则 x2+ =(  ) A.38 B.36 C.34 D.32 【答案】C 【详解】把 x+ =6 两边平方得:(x+ )2=x2+ +2=36, 则 x2+ =34, 故选:C. 2.(2018·四川中考真题)已知实数 a、b 满足 a+b=2,ab= ,则 a﹣b=(  ) A.1 B.﹣ C.±1 D.± 【答案】C 【详解】 ∵a+b=2,ab= , ∴(a+b)2=4=a2+2ab+b2, ∴a2+b2= , ∴(a-b)2=a2-2ab+b2=1, ∴a-b=±1, 故选:C. 3.(2017·江苏中考模拟)若(x+y)2=9,(x-y)2=5,则 xy 的值为( ) A.-1 B.1 C.-4 D.4 【答案】B 【详解】 根据完全平方公式,两数和(或差)的平方,等于两数的平方和,加减两数积的 2 倍,分别化简可知 (x+y)2=x2+2xy+y2=9①,(x﹣y)2= x2-2xy+y2=5②,①-②可得 4xy=4,解得 xy=1. 故选:B 4.(2019·浙江中考模拟)已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则 m2+n2=( ) A.10 B.6 C.5 D.3 【答案】C 1 x 2 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x 3 4 5 2 5 2 3 4 5 218 【详解】 由题意得 , 把两式相加可得 ,则 故选 C. 5.(2015·湖南中考真题)已知 a+b=3,ab=2,则 a2+b2 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【详解】 根据完全平方公式得出 a2+b2=(a+b)2﹣2ab,代入求出即可.∵a+b=3,ab=2, ∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=32﹣2×2=5. 考查题型七 整式的化简求值 1.(2019·辽宁中考模拟)先化简,再求值:(x﹣2y)2+(x+y)(x﹣4y),其中 x=5,y= . 【答案】2x2﹣7xy,43 【详解】 原式=x2﹣4xy+4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2=2x2﹣7xy, 当 x=5,y= 时,原式=50﹣7=43. 2.(2017·江苏中考模拟)先化简,再求值:2 +( + )( -2 )-( - ,其中 =-3, = . 【答案】ab-b2 ; ; 【详解】 原式=2b2+a2-2ab+ab-2b2-(a2-2ab+b2) =ab-b2 ; 当 a=-3,b= 时, 原式= 考查题型八 乘法公式和几何图形相结合的应用方法 1 5 1 5 2b a b a b a 2)b a b 1 2 7 4 − 1 2 2ab b− 7 4 = −19 1.(2019·浙江中考模拟)如图,将边长为 m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边 长为 n 的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形. (1)用含 m 或 n 的代数式表示拼成矩形的周长; (2)m=7,n=4,求拼成矩形的面积. 【答案】(1)矩形的周长为 4m;(2)矩形的面积为 33. 【详解】 (1)矩形的长为:m﹣n, 矩形的宽为:m+n, 矩形的周长为:2[(m-n)+(m+n)]=4m; (2)矩形的面积为 S=(m+n)(m﹣n)=m2-n2, 当 m=7,n=4 时,S=72-42=33. 2.(2018·浙江中考真题)有一张边长为 a 厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加 b 厘 米,木工师傅设计了如图所示的三种方案: 小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,对于方案一,小明是这样验证的: a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程. 方案二: 方案三: 【答案】见解析. 【详解】20 详解:由题意可得: 方案二:a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2, 方案三:a2+ + = =a2+2ab+b2=(a+b)2. 知识点四 因式分解(难点) 因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解. 【因式分解的定义注意事项】 1.分解对象是多项式,分解结果必须是积的形式,且积的因式必须是整式,这三个要素缺一不可; 2.因式分解必须是恒等变形; 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 因式分解与整式乘法是互逆变形,因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式. 因式分解的常用方法: 提公因式法 【提公因式法的注意事项】 1)定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2)定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3)定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母最低次幂。 4)查结果:最后检查核实,应保证含有多项式的因式中再无公因式。 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用; ①平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b) ② 完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 1.(2019·安徽中考模拟)下列分解因式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】A. ,故 A 选项错误; B. ,故 B 选项错误; C. ,故 C 选项正确; [ ( )] 2 a a b b+ + [ ( )] 2 a a b b+ + 2 2 21 1 2 2a ab b ab b+ + + + 2 4 ( 4)x x x x− + = − + 2 ( )x xy x x x y+ + = + 2( ) ( ) ( )x x y y y x x y− + − = − 2 4 4 ( 2)( 2)x x x x− + = + − ( )2 4 4x x x x− + = − − ( )2 1x xy x x x y+ + = + + ( ) ( ) ( )2x x y y y x x y− + − = −21 D. =(x-2)2,故 D 选项错误, 故选 C. 2.(2018·江苏中考模拟)把多项式 x2+ax+b 分解因式,得(x+1)(x-3),则 a、b 的值分别是( ) A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3 C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-3 【答案】B 【详解】 (x+1)(x-3) =x2-3x+x-3 =x2-2x-3 所以 a=2,b=-3, 故选 B. 3.(2018·广西中考真题)下列各式分解因式正确的是(  ) A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2﹣4xy+9y2=(2x﹣3y)2 C.2x2﹣8y2=2(x+4y)(x﹣4y) D.x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y) 【答案】A 【详解】A、x2+6xy+9y2=(x+3y)2,正确; B、2x2﹣4xy+9y2 无法分解因式,故此选项错误; C、2x2﹣8y2=2(x+2y)(x﹣2y),故此选项错误; D、x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)2,故此选项错误, 故选 A. 4.(2019·山东中考模拟)多项式 4a﹣a3 分解因式的结果是(  ) A.a(4﹣a2) B.a(2﹣a)(2+a) C.a(a﹣2)(a+2) D.a(2﹣a)2 【答案】B 【详解】 4a﹣a3=a(4﹣a2)=a(2﹣a)(2+a). 故选:B. 5.(2018·安徽中考模拟)将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是(  ) A.a2-1 2 4 4x x− +22 B.a2+a C.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+1 【答案】C 【详解】 先把四个选项中的各个多项式分解因式,即 a2﹣1=(a+1)(a﹣1),a2+a=a(a+1),a2+a﹣2=(a+2)(a﹣1), (a+2)2﹣2(a+2)+1=(a+2﹣1)2=(a+1)2,观察结果可得四个选项中不含有因式 a+1 的是选项 C;故答 案选 C. 考查题型九 利用公式法解决代数式求值问题的方法 1.(2018·河南中考模拟)已知 a﹣b=1,则 a3﹣a2b+b2﹣2ab 的值为(  ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 【答案】C 【详解】 a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2(a﹣b)+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2=1. 故选 C. 2.(2017·陕西中考模拟)已知实数 x 满足 ,那么 的值是(  ) A.1 或﹣2 B.﹣1 或 2 C.1 D.﹣2 【答案】D 【详解】 ∵x2+ =0 ∴(x+ )2-2+x+ =0, ∴[(x+ )+2][(x+ )﹣1]=0, ∴x+ =1 或﹣2. ∵x+ =1 无解, ∴x+ =﹣2. 故选:D. 3.(2019·江苏中考模拟)若 x2+mx-15=(x+3)(x+n),则 m 的值为( ) 2 2 1 1 0x xx x + + + = 1x x + 2 1 1xx x + + 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x23 A.-5 B.5 C.-2 D.2 【答案】C 【详解】 ∵x2+mx-15=(x+3)(x+n),∴x2+mx-15=x2+nx+3x+3n, ∴3n=-15,m=n+3,解得 n=-5,m=-5+3=-2. 查看更多

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