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2018年秋人教B版数学选修4-5练习：2.1.2　柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 Word版含解析.doc

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资料简介

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2.1.2　‎柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 课时过关·能力提升 ‎1.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是 (　　)‎ A.1 B.n C.n2 D 解析:设n个正数为x1,x2,…,xn,‎ 由柯西不等式,得 ‎(x1+x2+…+xn ‎≥‎ ‎=(1+1+…+1)2=n2,‎ 当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.‎ 答案:C ‎2.若x+y+z=1,则F=2x2+y2+3z2的最小值为(　　)‎ A.1 B‎.6 ‎C.11 D 解析:∵(2x2+y2+3z2‎ ‎≥‎ ‎=(x+y+z)2=1,‎ 当且仅当x.‎ ‎∴2x2+y2+3z2≥‎ 答案:D ‎3.设m,n,p∈(0,+∞),且m2+n2-p2=0,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A.0 B.3 ‎ C.1 D 解析:∵m,n,p∈(0,+∞),m2+n2-p2=0,‎ ‎∴2p2=2(m2+n2)=(12+12)(m2+n2)≥(m+n)2,‎ 当且仅当m=n时等号成立.‎ 答案:D ‎4.已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,则x2+4y2+z2的最小值为　　　　　. ‎ 解析:∵(x2+4y2+z2)(12+12+12)≥(x+2y+z)2=1,‎ ‎∴x2+4y2+z2≥‎ 当且仅当x=2y=z 即x.‎ 答案:‎ ‎5.已知(x-3)2+(y-3)2=6,‎ 解析:设k≠0),则kx-y=0,‎ 于是[(x-3)2+(y-3)2][k2+(-1)2]‎ ‎≥[k(x-3)-(y-3)]2=(3-3k)2.‎ 当且仅,‎ 因此6(k2+1)≥(3-3k)2,‎ 解得3-≤k≤3+‎ 故kmax=3+3+‎ 答案:3+‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6.求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2取到最小值.‎ 解:由柯西不等式,得(12+22+12)×[(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2]≥[1×(y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y-6)]2=1,‎ 即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥‎ 当且仅 即x.‎ 故当x,(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2取到最小值.‎ ‎★7.设a,b,c为正数,且a+b+c=1,求证 证 ‎·‎ ‎≥‎ ‎≥‎ 当且仅当a=b.‎ 故原不等式成立.‎ ‎★8.如图所示,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在这个三角形内任取一点P,过点P分别引三边的平行线,与各边围成以点P为顶点的三个三角形.求这三个三角形面积和的最小值,以及取得最小值时点P的位置.‎ 解:分别以OA,OB所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,则AB所在直线的方程为x+y=1,‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设点P的坐标为(x,y),以点P为顶点的三个三角形的面积和为S,则 S 因为x+y+(1-x-y)=1(定值),‎ 所以当且仅当x=y=1-x-y,‎ 即x=y,x2+y2+(1-x-y)2有最小S有最小P恰为△AOB的重心.‎ ‎★9.设f(x)=l≤a≤1,n∈N*,且n≥2,求证:f(2x)≥‎2f(x).‎ 证明∵f(2x)‎ ‎=lg ‎∴要证明f(2x)≥‎2f(x),‎ 只要证明lg ‎≥2lg 即证 ‎≥‎ 也即证明n [12x+22x+…+(n-1)2x+a·n2x]‎ ‎≥[1x+2x+…+(n-1)x+a·nx]2. (*)‎ ‎∵0≤a≤1,∴a≥a2,‎ 根据柯西不等式,得 n[12x+22x+…+(n-1)2x+a·n2x]‎ ‎≥+[(n-1)x]2+(a·nx)2}≥[1x+2x+…+(n-1)x+a·nx]2,即(*)式显然成立,故原不等式成立.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 查看更多

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