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天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 课时跟踪检测(十八) 向量数乘运算及其几何意义 层级一 学业水平达标 1.若|a|=5,b 与 a 的方向相反,且|b|=7,则 a=(  ) A.57b          B.-57b C.75b D.-75b 解析:选 B b 与 a 反向,故 a=λb(λ<0),|a|=-λ|b|,则 5=-λ×7,所以 λ=-57,∴ a=57b. 2.已知 a=5e,b=-3e,c=4e,则 2a-3b+c=(  ) A.5e B.-5e C.23e D.-23e 解析:选 C 2a-3b+c=2×5e-3×(-3e)+4e=23e. 3.已知 =a+5b, =-2a+8b, =3(a-b),则(  ) A.A,B,C 三点共线 B.A,B,D 三点共线 C.A,C,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线 解析:选 B  = + =-2a+8b+3(a-b)=a+5b= , 又∵ 与 有公共点 B,∴A,B,D 三点共线. 4.在△ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且 =23 +13 ,又 =t ,则 t 的值为(  ) A.13 B.23 C.12 D.53 解析:选 A 由题意可得 = - =23 +13 - =13( - )= 13 ,又 =t ,∴t=13. 5.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长 线交 DC 于点 F,若 =a, =b,则 =(  ) A.13a+b B.12a+b C.a+13b D.a+12b 解析:选 A 由已知条件可知 BE=3DE,∴DF=13AB,∴ = + = +13 =13a+b. 6.若 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则 x=______. 解析:由已知得 3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0, AB BC CD BD BC CD AB BD AB CP CA CB AP AB AP CP CA CA CB CA CB CA AB AP AB AB AD AF AF AD DF AD AB天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴x+3a-4b=0,∴x=4b-3a. 答案:4b-3a 7.下列向量中 a,b 共线的有________(填序号). ①a=2e,b=-2e; ②a=e1-e2,b=-2e1+2e2; ③a=4e1-25e2,b=e1-110e2; ④a=e1+e2,b=2e1-2e2. 解析:①中,a=-b;②中,b=-2e1+2e2=-2(e1-e2)=-2a;③中,a=4e1-25e2= 4\a\vs4\al\co1(e1-\f(110)e2)=4b;④中,当 e1,e2 不共线时,a≠λb.故填①②③. 答案:①②③ 8.已知向量 a,b 是两个不共线的向量,且向量 ma-3b 与 a+(2-m)b 共线,则实数 m 的值为________. 解析:因为向量 ma-3b 与 a+(2-m)b 共线且向量 a,b 是两个不共线的向量,所以存 在实数 λ,使得 ma-3b=λ[a+(2-m)b],即(m-λ)a+(mλ-2λ-3)b=0,因为 a 与 b 不共线, 所以 m=λ,mλ-2λ-3=0,)解得 m=-1 或 m=3. 答案:-1 或 3 9.计算: (1)25(a-b)-13(2a+4b)+215(2a+13b); (2)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n 为实数). 解:(1)原式=\a\vs4\al\co1(\f(22415)a+\a\vs4\al\co1(-\f(242615)b=0. (2)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b) =2ma-na-mb-ma+mb+na-nb =ma-nb. 10.已知 e1,e2 是两个非零不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若 a 与 b 是共线 向量,求实数 k 的值. 解:∵a 与 b 是共线向量,∴a=λb, ∴2e1-e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2, ∴λk=2,λ=-1,) ∴k=-2,λ=-1,) ∴k=-2. 层级二 应试能力达标 1.设 a 是非零向量,λ 是非零实数,则下列结论中正确的是(  ) A.a 与 λa 的方向相同天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ B.a 与-λa 的方向相反 C.a 与 λ2a 的方向相同 D.|λa|=λ|a| 解析:选 C 只有当 λ>0 时,a 与 λa 的方向相同,a 与-λa 的方向相反,且|λa|=λ|a|. 因为 λ2>0,所以 a 与 λ2a 的方向相同. 2.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为边 BC 的中点,且 2 + + =0, 则(  ) A. =         B. =2 C. =3 D.2 = 解析:选 A ∵在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,∴ + =2 ,∴2( + )=0,即 + =0,从而 = . 3.已知向量 a,b 不共线,若 =λ1a+b, =a+λ2b,且 A,B,C 三点共线, 则关于实数 λ1,λ2 一定成立的关系式为(  ) A.λ1=λ2=1 B.λ1=λ2=-1 C.λ1λ2=1 D.λ1+λ2=1 解析:选 C ∵A,B,C 三点共线, ∴ =k (k≠0). ∴λ1a+b=k(a+λ2b)=ka+kλ2b. 又∵a,b 不共线, ∴λ1=k,1=kλ2,)∴λ1λ2=1. 4.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若 + + = ,则(  ) A.点 P 在△ABC 外部 B.点 P 在线段 AB 上 C.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在线段 AC 上 解析:选 D ∵ + + = , ∴ + + - =0, ∴ + + + =0,即 + + =0, ∴2 = ,∴点 P 在线段 AC 上. 5.设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 ke1+2e2 与 8e1+ke2 方向相反,则 k= ______. 解析:∵ke1+2e2 与 8e1+ke2 共线, ∴ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2. OA OB OC AO OD AO OD AO OD AO OD OB OC OD OA OD OA OD AO OD AB AC AB AC PA PB PC AB PA PB PC AB PA PB PC AB PA PB BA PC PA PA PC PA CP天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴k=8λ,2=λk,)解得 λ=\f(12k=4 或 λ=-\f(12k=-4. ∵ke1+2e2 与 8e1+ke2 反向, ∴λ=-12,k=-4. 答案:-4 6.如图所示,在▱ABCD 中, =a, =b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则 =________(用 a,b)表示. 解析: = + = - =12 -14 =12b-14(a+b)=14b-14a=14(b-a). 答案:14(b-a) 7.已知:在四边形 ABCD 中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,求证: 四边形 ABCD 为梯形. 证明:如图所示. ∵ = + + =(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b) =-8a-2b=2(-4a-b), ∴ =2 . ∴ 与 共线,且| |=2| |. 又∵这两个向量所在的直线不重合, ∴AD∥BC,且 AD=2BC. ∴四边形 ABCD 是以 AD,BC 为两条底边的梯形. 8.如图,已知△OCB 中,点 A 是 BC 的中点,D 是将 OB 分成 2∶1 的一个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设 =a, =b. (1)用 a,b 表示向量 , ; (2)若 =λ ,求 λ 的值. 解:(1)由 A 是 BC 的中点,则有 =12( + ), 从而 =2 - =2a-b. 由 D 是将 OB 分成 2∶1 的一个内分点,得 =23 , 从而 = - =(2a-b)-23b=2a-53b. (2)由于 C,E,D 三点共线,则 =μ , AB AD MN MN MC CN MC NC AD AC AB BC CD AD AB BC CD AD BC AD BC AD BC OA OB OC DC OE OA OA OB OC OC OA OB OD OB DC OC OD EC DC天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 又 = - =(2a-b)-λa=(2-λ)a-b, =2a-53b, 从而(2-λ)a-b=μ\a\vs4\al\co1(2a-\f(53)b), 又 a,b 不共线,则 2-λ=2μ,53)μ,解得 λ=45. EC OC OE DC 查看更多

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