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课时跟踪检测(十八) 向量数乘运算及其几何意义
层级一 学业水平达标
1.若|a|=5,b 与 a 的方向相反,且|b|=7,则 a=( )
A.57b B.-57b
C.75b D.-75b
解析:选 B b 与 a 反向,故 a=λb(λ<0),|a|=-λ|b|,则 5=-λ×7,所以 λ=-57,∴
a=57b.
2.已知 a=5e,b=-3e,c=4e,则 2a-3b+c=( )
A.5e B.-5e
C.23e D.-23e
解析:选 C 2a-3b+c=2×5e-3×(-3e)+4e=23e.
3.已知 =a+5b, =-2a+8b, =3(a-b),则( )
A.A,B,C 三点共线 B.A,B,D 三点共线
C.A,C,D 三点共线 D.B,C,D 三点共线
解析:选 B = + =-2a+8b+3(a-b)=a+5b= ,
又∵ 与 有公共点 B,∴A,B,D 三点共线.
4.在△ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且 =23 +13 ,又 =t ,则 t
的值为( )
A.13 B.23
C.12 D.53
解析:选 A 由题意可得 = - =23 +13 - =13( - )=
13 ,又 =t ,∴t=13.
5.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长
线交 DC 于点 F,若 =a, =b,则 =( )
A.13a+b B.12a+b
C.a+13b D.a+12b
解析:选 A 由已知条件可知 BE=3DE,∴DF=13AB,∴ = + =
+13 =13a+b.
6.若 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则 x=______.
解析:由已知得 3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
AB BC CD
BD BC CD AB
BD AB
CP CA CB AP AB
AP CP CA CA CB CA CB CA
AB AP AB
AB AD AF
AF AD DF AD
AB天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∴x+3a-4b=0,∴x=4b-3a.
答案:4b-3a
7.下列向量中 a,b 共线的有________(填序号).
①a=2e,b=-2e;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-25e2,b=e1-110e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.
解析:①中,a=-b;②中,b=-2e1+2e2=-2(e1-e2)=-2a;③中,a=4e1-25e2=
4\a\vs4\al\co1(e1-\f(110)e2)=4b;④中,当 e1,e2 不共线时,a≠λb.故填①②③.
答案:①②③
8.已知向量 a,b 是两个不共线的向量,且向量 ma-3b 与 a+(2-m)b 共线,则实数 m
的值为________.
解析:因为向量 ma-3b 与 a+(2-m)b 共线且向量 a,b 是两个不共线的向量,所以存
在实数 λ,使得 ma-3b=λ[a+(2-m)b],即(m-λ)a+(mλ-2λ-3)b=0,因为 a 与 b 不共线,
所以 m=λ,mλ-2λ-3=0,)解得 m=-1 或 m=3.
答案:-1 或 3
9.计算:
(1)25(a-b)-13(2a+4b)+215(2a+13b);
(2)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n 为实数).
解:(1)原式=\a\vs4\al\co1(\f(22415)a+\a\vs4\al\co1(-\f(242615)b=0.
(2)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)
=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb
=ma-nb.
10.已知 e1,e2 是两个非零不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若 a 与 b 是共线
向量,求实数 k 的值.
解:∵a 与 b 是共线向量,∴a=λb,
∴2e1-e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2,
∴λk=2,λ=-1,)
∴k=-2,λ=-1,)
∴k=-2.
层级二 应试能力达标
1.设 a 是非零向量,λ 是非零实数,则下列结论中正确的是( )
A.a 与 λa 的方向相同天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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B.a 与-λa 的方向相反
C.a 与 λ2a 的方向相同
D.|λa|=λ|a|
解析:选 C 只有当 λ>0 时,a 与 λa 的方向相同,a 与-λa 的方向相反,且|λa|=λ|a|.
因为 λ2>0,所以 a 与 λ2a 的方向相同.
2.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为边 BC 的中点,且 2 + + =0,
则( )
A. = B. =2
C. =3 D.2 =
解析:选 A ∵在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,∴ + =2 ,∴2( +
)=0,即 + =0,从而 = .
3.已知向量 a,b 不共线,若 =λ1a+b, =a+λ2b,且 A,B,C 三点共线,
则关于实数 λ1,λ2 一定成立的关系式为( )
A.λ1=λ2=1 B.λ1=λ2=-1
C.λ1λ2=1 D.λ1+λ2=1
解析:选 C ∵A,B,C 三点共线,
∴ =k (k≠0).
∴λ1a+b=k(a+λ2b)=ka+kλ2b.
又∵a,b 不共线,
∴λ1=k,1=kλ2,)∴λ1λ2=1.
4.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若 + + = ,则( )
A.点 P 在△ABC 外部 B.点 P 在线段 AB 上
C.点 P 在线段 BC 上 D.点 P 在线段 AC 上
解析:选 D ∵ + + = ,
∴ + + - =0,
∴ + + + =0,即 + + =0,
∴2 = ,∴点 P 在线段 AC 上.
5.设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 ke1+2e2 与 8e1+ke2 方向相反,则 k=
______.
解析:∵ke1+2e2 与 8e1+ke2 共线,
∴ke1+2e2=λ(8e1+ke2)=8λe1+λke2.
OA OB OC
AO OD AO OD
AO OD AO OD
OB OC OD OA
OD OA OD AO OD
AB AC
AB AC
PA PB PC AB
PA PB PC AB
PA PB PC AB
PA PB BA PC PA PA PC
PA CP天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∴k=8λ,2=λk,)解得 λ=\f(12k=4 或 λ=-\f(12k=-4.
∵ke1+2e2 与 8e1+ke2 反向,
∴λ=-12,k=-4.
答案:-4
6.如图所示,在▱ABCD 中, =a, =b,AN=3NC,M
为 BC 的中点,则 =________(用 a,b)表示.
解析: = + = - =12 -14
=12b-14(a+b)=14b-14a=14(b-a).
答案:14(b-a)
7.已知:在四边形 ABCD 中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,求证:
四边形 ABCD 为梯形.
证明:如图所示.
∵ = + + =(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=-8a-2b=2(-4a-b),
∴ =2 .
∴ 与 共线,且| |=2| |.
又∵这两个向量所在的直线不重合,
∴AD∥BC,且 AD=2BC.
∴四边形 ABCD 是以 AD,BC 为两条底边的梯形.
8.如图,已知△OCB 中,点 A 是 BC 的中点,D 是将 OB 分成 2∶1
的一个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设 =a, =b.
(1)用 a,b 表示向量 , ;
(2)若 =λ ,求 λ 的值.
解:(1)由 A 是 BC 的中点,则有 =12( + ),
从而 =2 - =2a-b.
由 D 是将 OB 分成 2∶1 的一个内分点,得 =23 ,
从而 = - =(2a-b)-23b=2a-53b.
(2)由于 C,E,D 三点共线,则 =μ ,
AB AD
MN
MN MC CN MC NC AD AC
AB BC CD
AD AB BC CD
AD BC
AD BC AD BC
OA OB
OC DC
OE OA
OA OB OC
OC OA OB
OD OB
DC OC OD
EC DC天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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又 = - =(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,
=2a-53b,
从而(2-λ)a-b=μ\a\vs4\al\co1(2a-\f(53)b),
又 a,b 不共线,则 2-λ=2μ,53)μ,解得 λ=45.
EC OC OE
DC
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