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课时跟踪检测（十八） 向量数乘运算及其几何意义
层级一 学业水平达标
1．若|a|＝5，b 与 a 的方向相反，且|b|＝7，则 a＝( )
A．57b B．－57b
C．75b D．－75b
解析：选 B b 与 a 反向，故 a＝λb(λ＜0)，|a|＝－λ|b|，则 5＝－λ×7，所以 λ＝－57，∴
a＝57b.
2．已知 a＝5e，b＝－3e，c＝4e，则 2a－3b＋c＝( )
A．5e B．－5e
C．23e D．－23e
解析：选 C 2a－3b＋c＝2×5e－3×(－3e)＋4e＝23e.
3．已知 ＝a＋5b， ＝－2a＋8b， ＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线
C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
解析：选 B ＝ ＋ ＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝ ，
又∵ 与 有公共点 B，∴A，B，D 三点共线．
4．在△ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且 ＝23 ＋13 ，又 ＝t ，则 t
的值为( )
A．13 B．23
C．12 D．53
解析：选 A 由题意可得 ＝ － ＝23 ＋13 － ＝13( － )＝
13 ，又 ＝t ，∴t＝13.
5．在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长
线交 DC 于点 F，若 ＝a， ＝b，则 ＝( )
A．13a＋b B．12a＋b
C．a＋13b D．a＋12b
解析：选 A 由已知条件可知 BE＝3DE，∴DF＝13AB，∴ ＝ ＋ ＝
＋13 ＝13a＋b.
6．若 3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则 x＝______.
解析：由已知得 3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
AB BC CD
BD BC CD AB
BD AB
CP CA CB AP AB
AP CP CA CA CB CA CB CA
AB AP AB
AB AD AF
AF AD DF AD
AB天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案：4b－3a
7．下列向量中 a，b 共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－25e2＝
4\a\vs4\al\co1(e1－\f(110)e2)＝4b；④中，当 e1，e2 不共线时，a≠λb.故填①②③.
答案：①②③
8．已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma－3b 与 a＋(2－m)b 共线，则实数 m
的值为________．
解析：因为向量 ma－3b 与 a＋(2－m)b 共线且向量 a，b 是两个不共线的向量，所以存
在实数 λ，使得 ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即(m－λ)a＋(mλ－2λ－3)b＝0，因为 a 与 b 不共线，
所以 m＝λ，mλ－2λ－3＝0，)解得 m＝－1 或 m＝3.
答案：－1 或 3
9．计算：
(1)25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a＋13b)；
(2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n 为实数)．
解：(1)原式＝\a\vs4\al\co1(\f(22415)a＋\a\vs4\al\co1(－\f(242615)b＝0.
(2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b)
＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb
＝ma－nb.
10．已知 e1，e2 是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若 a 与 b 是共线
向量，求实数 k 的值．
解：∵a 与 b 是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴λk＝2，λ＝－1，)
∴k＝－2，λ＝－1，)
∴k＝－2.
层级二 应试能力达标
1．设 a 是非零向量，λ 是非零实数，则下列结论中正确的是( )
A．a 与 λa 的方向相同天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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B．a 与－λa 的方向相反
C．a 与 λ2a 的方向相同
D．|λa|＝λ|a|
解析：选 C 只有当 λ>0 时，a 与 λa 的方向相同，a 与－λa 的方向相反，且|λa|＝λ|a|.
因为 λ2>0，所以 a 与 λ2a 的方向相同．
2．已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边 BC 的中点，且 2 ＋ ＋ ＝0，
则( )
A． ＝ B． ＝2
C． ＝3 D．2 ＝
解析：选 A ∵在△ABC 中，D 为边 BC 的中点，∴ ＋ ＝2 ，∴2( ＋
)＝0，即 ＋ ＝0，从而 ＝ .
3．已知向量 a，b 不共线，若 ＝λ1a＋b， ＝a＋λ2b，且 A，B，C 三点共线，
则关于实数 λ1，λ2 一定成立的关系式为( )
A．λ1＝λ2＝1 B．λ1＝λ2＝－1
C．λ1λ2＝1 D．λ1＋λ2＝1
解析：选 C ∵A，B，C 三点共线，
∴ ＝k (k≠0)．
∴λ1a＋b＝k(a＋λ2b)＝ka＋kλ2b.
又∵a，b 不共线，
∴λ1＝k，1＝kλ2，)∴λ1λ2＝1.
4．已知平面内有一点 P 及一个△ABC，若 ＋ ＋ ＝ ，则( )
A．点 P 在△ABC 外部 B．点 P 在线段 AB 上
C．点 P 在线段 BC 上 D．点 P 在线段 AC 上
解析：选 D ∵ ＋ ＋ ＝ ，
∴ ＋ ＋ － ＝0，
∴ ＋ ＋ ＋ ＝0，即 ＋ ＋ ＝0，
∴2 ＝ ，∴点 P 在线段 AC 上．
5．设 e1，e2 是两个不共线的向量，若向量 ke1＋2e2 与 8e1＋ke2 方向相反，则 k＝
______.
解析：∵ke1＋2e2 与 8e1＋ke2 共线，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.
OA OB OC
AO OD AO OD
AO OD AO OD
OB OC OD OA
OD OA OD AO OD
AB AC
AB AC
PA PB PC AB
PA PB PC AB
PA PB PC AB
PA PB BA PC PA PA PC
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∴k＝8λ，2＝λk，)解得 λ＝\f(12k＝4 或 λ＝－\f(12k＝－4.
∵ke1＋2e2 与 8e1＋ke2 反向，
∴λ＝－12，k＝－4.
答案：－4
6.如图所示，在▱ABCD 中， ＝a， ＝b，AN＝3NC，M
为 BC 的中点，则 ＝________(用 a，b)表示．
解析： ＝ ＋ ＝ － ＝12 －14
＝12b－14(a＋b)＝14b－14a＝14(b－a)．
答案：14(b－a)
7．已知：在四边形 ABCD 中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－3b，求证：
四边形 ABCD 为梯形．
证明：如图所示．
∵ ＝ ＋ ＋ ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴ ＝2 .
∴ 与 共线，且| |＝2| |.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且 AD＝2BC.
∴四边形 ABCD 是以 AD，BC 为两条底边的梯形．
8.如图，已知△OCB 中，点 A 是 BC 的中点，D 是将 OB 分成 2∶1
的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设 ＝a， ＝b.
(1)用 a，b 表示向量 ， ；
(2)若 ＝λ ，求 λ 的值．
解：(1)由 A 是 BC 的中点，则有 ＝12( ＋ )，
从而 ＝2 － ＝2a－b.
由 D 是将 OB 分成 2∶1 的一个内分点，得 ＝23 ，
从而 ＝ － ＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
(2)由于 C，E，D 三点共线，则 ＝μ ，
AB AD
MN
MN MC CN MC NC AD AC
AB BC CD
AD AB BC CD
AD BC
AD BC AD BC
OA OB
OC DC
OE OA
OA OB OC
OC OA OB
OD OB
DC OC OD
EC DC天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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又 ＝ － ＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
＝2a－53b，
从而(2－λ)a－b＝μ\a\vs4\al\co1(2a－\f(53)b)，
又 a，b 不共线，则 2－λ＝2μ，53)μ，解得 λ＝45.
EC OC OE
DC
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