资料简介
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
课时跟踪检测（十九） 平面向量基本定理
层级一 学业水平达标
1．已知▱ABCD 中∠DAB＝30°，则 与 的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选 D 如图， 与 的夹角为∠ABC＝150°.
2．设点 O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平
面上表示其他所有向量的基底的是( )
① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 .
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选 B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中， 与 不共线， 与
不共线；而 ∥ ， ∥ ，故①③可作为基底．
3．若 AD 是△ABC 的中线，已知 ＝a， ＝b，则以 a，b 为基底表示 ＝( )
A．12(a－b) B．12(a＋b)
C．12(b－a) D．12b＋a
解析：选 B 如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点，
从而 ＝ ，即 － ＝ － ，从而 ＝12( ＋
)＝12(a＋b)．
4．在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若 ＝e1， ＝e2，则 ＝( )
A．12(e1＋e2) B．12(e1－e2)
C．12(2e2－e1) D．12(e2－e1)
解析：选 A 因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点， ＝e1， ＝e2，所以 ＝
12( ＋ )＝12(e1＋e2)，故选 A.
5．(全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点， ＝3 ，则( )
A． ＝－13 ＋43
AD CD
AD CD
AD AB DA BC CA DC OD OB
AD AB CA
DC DA BC OD OB
AB AC AD
BD DC AD AB AC AD AD AB
AC
BC DC OC
BC DC OC
BC DC
BC CD
AD AB AC天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
B． ＝13 －43
C． ＝43 ＋13
D． ＝43 －13
解析：选 A 由题意得 ＝ ＋ ＝ ＋13 ＝ ＋13 －13 ＝
－13 ＋43 .
6．已知向量 a，b 是一组基底，实数 x，y 满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则 x－y
的值为______．
解析：∵a，b 是一组基底，∴a 与 b 不共线，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴3x－4y＝6，2x－3y＝3，)解得 x＝6，y＝3，)∴x－y＝3.
答案：3
7．已知 e1，e2 是两个不共线向量，a＝k2e1＋\a\vs4\al\co1(1－\f(5k2))e2 与 b＝2e1＋3e2
共线，则实数 k＝______.
解析：由题设，知 k22＝5k23，∴3k2＋5k－2＝0，
解得 k＝－2 或 13.
答案：－2 或 13
8．如下图，在正方形 ABCD 中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则在以 a，b 为基底
时， 可表示为______，在以 a，c 为基底时， 可表示为______．
解析：以 a，c 为基底时，将 平移，使 B 与 A 重合，再由三角形法则或平行四边形
法则即得．
答案：a＋b 2a＋c
9.如图所示，设 M，N，P 是△ABC 三边上的点，且 ＝13 ，
＝13 ， ＝13 ，若 ＝a， ＝b，试用 a，b 将
， ， 表示出来．
解： ＝ －
＝13 －23 ＝13a－23b，
＝ － ＝－13 －23 ＝－13b－23(a－b)＝－23a＋13b，
AD AB AC
AD AB AC
AD AB AC
AD AC CD AC BC AC AC AB
AB AC
AB AD BD
AC AC
BD
BM BC
CN CA AP AB AB AC
MN NP PM
NP AP AN
AB AC
MN CN CM AC CB天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
＝－ ＝－( ＋ )＝13(a＋b)．
10．证明：三角形的三条中线共点．
证明：如图所示，设 AD，BE，CF 分别为△ABC 的三条中线，
令 ＝a， ＝b.则有 ＝b－a.
设 G 在 AD 上，且 AGAD＝23，则有 ＝ ＋ ＝a＋
12(b－a)＝12(a＋b)．
＝ － ＝12b－a.
∴ ＝ － ＝23 －
＝13(a＋b)－a＝13b－23a
＝23\a\vs4\al\co1(\f(12)b－a)＝23 .
∴G 在 BE 上，同理可证 ＝23 ，即 G 在 CF 上．
故 AD，BE，CF 三线交于同一点．
层级二 应试能力达标
1．在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 ＝2 ，设 ＝a， ＝b，则 可
用基底 a，b 表示为( )
A．12(a＋b) B．23a＋13b
C．13a＋23b D．13(a＋b)
解析：选 C ∵ ＝2 ，∴ ＝23 .
∴ ＝ ＋ ＝ ＋23 ＝ ＋23( － )＝13 ＋23 ＝
13a＋23b.
2．AD 与 BE 分别为△ABC 的边 BC，AC 上的中线，且 ＝a， ＝b，则 ＝
( )
A．43a＋23b B．23a＋43b
C．23a－23b D．－23a＋23b
解析：选 B 设 AD 与 BE 交点为 F，则 ＝13a， ＝23b.所以 ＝ ＋
＝23b＋13a，所以 ＝2 ＝23a＋43b.
3．如果 e1，e2 是平面 α 内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( )
A．若存在实数 λ1，λ2，使得 λ1e1＋λ2e1＝0，则 λ1＝λ2＝0
B．平面 α 内任一向量 a 都可以表示为 a＝λ1e1＋λ2e2，其中 λ1，λ2∈R
C．λ1e1＋λ2e2 不一定在平面 α 内，λ1，λ2∈R
PM MP MN NP
AB AC BC
AD AB BD
BE AE AB
BG AG AB AD AB
BE
CG CF
BD DC AB AC AD
BD DC BD BC
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC
AD BE BC
FD BF BD BF FD
BC BD天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
D．对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λ1e1＋λ2e2 的实数 λ1，λ2 有无数对
解析：选 B A 中，(λ1＋λ2)e1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即 λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定
理；C 中，λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α 内；D 中，λ1，λ2 有且只有一对．
4．已知非零向量 ， 不共线，且 2 ＝x ＋y ，若 ＝λ (λ∈R)，
则 x，y 满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选 A 由 ＝λ ，得 － ＝λ( － )，
即 ＝(1＋λ) －λ .又 2 ＝x ＋y ，
∴x＝2＋2λ，y＝－2λ，)消去 λ 得 x＋y＝2.
5．设 e1，e2 是平面内的一组基底，且 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则 e1＋e2＝________a
＋________b.
解析：由 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，)解得 e1＝\f(123113)b.
故 e1＋e2＝\a\vs4\al\co1(\f(123)b＋\a\vs4\al\co1(\f(113)b
＝23a＋\a\vs4\al\co1(－\f(13))b.
答案：23 －13
6．已知非零向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，向量 a，b 的夹角为 120°，且|b|＝2|a|，则
向量 a 与 c 的夹角为________．
解析：由题意可画出图形，
在△OAB 中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量 a 与 c 的夹角为 90°.
答案：90°
7．设 e1，e2 是不共线的非零向量，且 a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b 可以作为一组基底；
(2)以 a，b 为基底，求向量 c＝3e1－e2 的分解式；
(3)若 4e1－3e2＝λa＋μb，求 λ，μ 的值．
解：(1)证明：若 a，b 共线，则存在 λ∈R，使 a＝λb，
则 e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由 e1，e2 不共线，得λ＝1，3λ＝－2)⇒λ＝1，23).
∴λ 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底．
(2)设 c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
OA OB OP OA OB PA AB
PA AB OA OP OB OA
OP OA OB OP OA OB天添资源网 http://www.ttzyw.com/
天添资源网 http://www.ttzyw.com/
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1)⇒m＝2，n＝1.)∴c＝2a＋b.
(3)由 4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3)⇒λ＝3，μ＝1.)
故所求 λ，μ 的值分别为 3 和 1.
8．若点 M 是△ABC 所在平面内一点，且满足： ＝34 ＋14 .
(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．
(2)若 N 为 AB 中点，AM 与 CN 交于点 O，设 ＝x ＋y ，求 x，y 的值．
解：(1)如图，由 ＝34 ＋14 可知 M，B，C 三点共线，
令 ＝λ ⇒ ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ( －
)＝(1－λ) ＋λ ⇒λ＝14，所以 S△ABMS△ABC＝14，即面积之
比为 1∶4.
(2)由 ＝x ＋y ⇒ ＝x ＋y2 ， ＝x4 ＋y ，由 O，
M，A 三点共线及 O，N，C 三点共线⇒x＋\f(y2x4)＋y＝1⇒x＝\f(4767).
AM AB AC
BO BM BN
AM AB AC
BM BC AM AB BM AB BC AB AC
AB AB AC
BO BM BN BO BM BA BO BC BN
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记