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课时提升作业十 3.2.doc

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2017年高中数学选修4-5全册配套试卷（人教A版共21份含答案)
- 【人教A版】2017学年高中数学选修4-5全册配套试卷含答案（共21份）
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资料简介

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费课时提升作业十一般形式的柯西不等式一、选择题(每小题4分,共12分)‎ ‎1.(2016·珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,‎ ax+by+cz=20,则=　(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D.‎ ‎【解析】选C.由已知得 ‎(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,‎ 结合柯西不等式,知===,所以=.‎ ‎2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是　‎ ‎(　　)‎ A.9 B‎.10 ‎ C.14 D.15‎ ‎【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+()2+()2]·[(3x)2+(2y)2+(z)2]‎ ‎=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立.‎ 故u=3x+6y+5z的最大值为9.‎ ‎3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是　(　　)‎ A.x≥1或x≤-3 B.-3≤x≤1‎ C.x≥-1或x≤3 D.-1≤x≤3‎ ‎【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+c)2,‎ 所以a+b+c≤2,又因为a+b+c≤|x+1|,‎ 所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.‎ 二、填空题(每小题4分,共8分)‎ ‎4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______.‎ ‎【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1)‎ ‎≥(2x+2y+z-1)2=81,‎ 所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9.‎ 答案:9‎ ‎5.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是________.‎ ‎【解析】(a+b+c)=‎ ‎[()2+()2+()2]≥‎ ‎=(2+3+6)2=121.‎ 当且仅当==时等号成立.‎ 答案:121‎ 三、解答题 ‎6.(10分)(2016·深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=+的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r2≥3.‎ ‎【证明】因为f(x)=+≥=3,‎ 即函数f(x)=+的最小值a=3.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费所以p+q+r=3.‎ 由柯西不等式得 ‎(p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9,‎ 于是p2+q2+r2≥3.‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是　(　　)‎ A.　　　　　B.　　　　　C.6　　　　　D.3‎ ‎【解析】选B.由柯西不等式,得 ‎(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]‎ ‎≥[x+y+(1-x-y)]2=1.‎ 即x2+y2+(1-x-y)2≥.‎ 当且仅当x=y=1-x-y.‎ 即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.‎ ‎【补偿训练】(2015·珠海高二检测)已知++…+=1,++…+=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是　(　　)‎ A.1　　　B‎.2　‎　　C.3　　　D.4‎ ‎【解析】选A.因为(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(++…+)×(++…+)=1×1.当且仅当==…=时,等号成立.‎ 所以a1x1+a2x2+…+anxn的最大值为1.‎ ‎2.(2016·长沙高二检测)已知α为锐角,则的最小值为 ‎(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A.3-2 B.3+2‎ C-1 D.+1‎ ‎【解析】选B.‎ ‎≥,‎ 当且仅当sinα=cosα时等号成立,‎ 此时==3+2.‎ 即的最小值为3+2.‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.方程2+=的解为________.‎ ‎【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解.‎ ‎【解析】由柯西不等式,得(2+)2‎ ‎=‎ ‎≤[22+()2]‎ ‎=6×=15,‎ 即2+≤.‎ 当且仅当=,‎ 即x=-时,等号成立.‎ 故原方程的根是x=-.‎ 答案:x=-‎ ‎4.(2016·西安高二检测)边长为a,b,c的三角形ABC,其面积为,外接圆半径为1,若s=++,t=++,则s与t的大小关系是________.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】由已知得absinC=,=2R=2.‎ 所以abc=1,所以++=ab+bc+ca,‎ 由柯西不等式得(ab+bc+ca)≥(++)2,‎ 所以≥(++)2.‎ 即++≥++.‎ 当且仅当a=b=c=1时等号成立.‎ 答案:s≤t 三、解答题 ‎5.(10分)(2016·石家庄高二检测)设a1>a2>…>an>an+1,求证:++…++>0.‎ ‎【证明】为了运用柯西不等式,我们将a1-an+1写成 a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1),‎ 于是[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)]·≥n2>1.‎ 即(a1-an+1)·(++…+)>1,‎ 所以++…+>,故++…++>0.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费查看更多

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