资料简介
1
高二理科数学期末冲刺课 2 讲参考答案
第一讲
原创：柔软的石头
一、函数及其性质
1．【答案】D
【解析】A、C 项为奇函数，排除；B 项在(0, + ∞)上既有单调递增区间，也有单调递减区间，排除．
只有 D 项中，푦 = ln
|x|是偶函数，且在(0, + ∞)上y = ln 푥单调递增．
2．【答案】C
【解析】由f(푥 + 1) = 1
f(푥)知，f(푥 + 2) = 1
f(푥 + 1) = f(푥)．故푓(푥)的周期为2．
因此，f(log2 9) = f(log2 9 - 2) = f(log2 9
4)．又log2 9
4
∈ (1,2)．
故f(log2 9
4) =
1
푓(log2 9
4 - 1) =
1
f(log2 9
8)．而log2 9
8 ∈ (0,1]，即f(log2 9
8) = 2
log2 9
8 = 9
8．
因此，f(log2 9) = 8
9
．
二、三角函数、平面向量及解三角形
3．【答案】B
【解析】根据三角函数定义知，tan휃 = 2，cos2 휃 ― sin2 휃 = cos2 휃 ― sin2 휃
sin2 휃 + cos2 휃 = 1 - tan2 휃
tan2 휃 + 1 = -
3
5．
4．【答案】A
【解析】依题意훼 ∈ (0,π
2)，훼 +
π
4
∈ (π
4
,3π
4 )．而cos(훼 +
π
4) = 1
3
，故s
in
(훼 +
π
4) = 2 2
3
．
故sin훼 = sin[(훼 +
π
4) ― π
4] = sin(훼 +
π
4)cos π
4
― cos(훼 +
π
4)sin π
4
= 2 2
3
× 2
2 ― 1
3 × 2
2 = 4 - 2
6
．
5．【答案】B
【解析】푔(푥) = f(푥 ― π
3) = 3
cos [2(푥 ― π
3) ― π
6] = 3 cos(2푥 ― 5π
6 )．
令2x -
5π
6 =
π
2 +kπ，k ∈ Z．即x =
2π
3 +
kπ
2
．取k = 0，故푔(푥)的一个对称中心坐标为(2π
3 ,0)．
6．【答案】A
【解析】CD = CA + AD = C퐴 +
2
3퐴B = C퐴 +
2
3(퐴퐶 + 퐶B) = 1
3
퐶A +
2
3C퐵，则휆 = 2
3
．
7．【答案】C
【解析】由|AB + AC| = 3|AB ― AC|两边平方整理得：AB
2
+ AC
2 = 4퐴퐵·퐴퐶．
又|AB| = |AC| = 3，即AB
2
= AC
2
= 9，因此퐴퐵·퐴퐶 = 9
2
．
故퐶B·CA = (AB ― AC)·CA = - 퐴퐵·퐴퐶 + AC
2 = ― 9
2 +9 = 9
2．
8．【答案】(1) π
6；(2) 3或2 3．
【解析】(1) asin
A = (푏 ― 3푐)sin퐵 +푐sin퐶，由正弦定理得：a
2 = (푏 ― 3푐)푏 + 푐2．
即b
2 + 푐2 ― 푎2 = 3푏푐．由余弦定理得：cos퐴 = 푏2 + 푐2 ― a
2
2b푐 = 3
2 ．
又퐴 ∈ (0,π)，故퐴 =
π
6．
(2) 由(1)知：퐴 =
π
6．故ABC面积S = 1
2
푏csin퐴 =
1
4
푏c．2
由正弦定理得： a
sin퐴 = 푏
sin퐵．即sin퐵 = 3
2 ．又퐵 ∈ (0,π)，故퐵 =
π
3或퐵 =
2π
3 ．
当퐵 =
π
3时，C =
π
2
，ABC为直角三角形，面积为1
2
× 2 × 2 3 = 2 3．
当퐵 =
2π
3 时，C =
π
6
，ABC为等腰三角形，面积为1
2
× 2 × 2 3 × sin π
6 = 3．
综上，ABC的面积为 3或2 3．
三、数列
9．【答案】C
【解析】设{푎푛}的公比为q，依题意有푎1 +2푎1q = 2 × 1
2
푎1q
2．
又푎1 ≠ 0，整理得：q
2
- 2q ―1 = 0．解得：q = 1 ± 2．
又等比数列{푎푛}各项均为正数，即q > 0．即q = 1 + 2．
从而a9 + 푎10
푎7 + 푎8
= q
2
= 3 + 2 2．
10．【答案】(1) a푛 = ( ― 1
2)푛―1
；(2) 푇푛 = ― (2
3
푛 + 4
9)·( ― 1
2)푛
+
4
9
．
【解析】(1) a푛 = 3푆푛 ―2．令n = 1，则a1 = 푆1，即a1 = 3푎1 ―2，解得：a1 = 1．
由a푛 = 3푆푛 ―2知，当n ≥ 2时，a푛-1 = 3푆푛-1 ―2．两式相减整理得：a푛 = -
1
2a푛―1．
故{푎푛}是以a1 = 1为首项，q = -
1
2
为公比的等比数列．即a푛 = ( ― 1
2)푛―1
．
(2) 由(1)知：푎푛 = ( ― 1
2)푛―1
，故푛푎푛 = n·( ― 1
2)푛―1
．
T푛 = 1 × ( ― 1
2)0 +2 × ( ― 1
2)1
+3 × ( ― 1
2)2 + … + (n ― 1)·( ― 1
2)푛―2 + n·( ― 1
2)푛―1
．
故 ― 1
2T푛 = 1 × ( ― 1
2)1
+ 2 × ( ― 1
2)2
+3 × ( ― 1
2)3
+ … + (n ― 1)·( ― 1
2)푛―1
+ n·( ― 1
2)푛
．
两式相减得：3
2푇푛 = ( ― 1
2)0 + ( ― 1
2)1
+ ( ― 1
2)2
+ … + ( ― 1
2)푛―1
- n·( ― 1
2)푛
=
( ― 1
2)0[1 ― ( ― 1
2)푛]
1 ― ( ― 1
2) - n·( ― 1
2)푛
= ― (푛 + 2
3)·( ― 1
2)푛
+
2
3．
故푇푛 = ― (2
3
푛 + 4
9)·( ― 1
2)푛
+
4
9
．
四、常用逻辑用语
11．【答案】D
【解析】由指数函数性质知命题p为真，而“x > 1”是“x > 2”的必要不充分条件，故命题q为假．因
此，只有p ∧ (¬푞)是真命题．
12．【答案】D
【解析】p ∨ q为真即p,q至少有一个为真，p ∧ q为真即p,q均为真，故 A 项错误．
当a < 0，b < 0时，b
a +
a
b
≥ 2也成立，故 B 项错误．
“x = 1或x = 2”的否定是“x ≠ 1且x ≠ 2”，故C 项错误．因此只有 D 项正确．
五、圆锥曲线
13．【答案】y
2
4
― 푥2
16 = 1
【解析】依题意可设双曲线方程为x
2 ―4푦2 = 휆．(휆 ≠ 0)
把点(2, 5)代入得：4 - 4 × 5 = 휆，即휆 = - 16．故双曲线的标准方程为y
2
4
― 푥2
16 = 1．3
14．【答案】B
【解析】取双曲线的右焦点F′(푐,0)，连接PF′．依题意，E为PF的中点，而O是FF′的中点．
因此，OE为PFF′的中位线，即|푃퐹′| = |OE| = 푏．
又PF为圆的切线，且切点为E．因此，OE ⊥ 푃퐹，即푃퐹′ ⊥ 푃퐹．
又由双曲线的定义知：|푃퐹| ― |푃퐹′| = 2푎，即|푃퐹| = 2a + b．
在RtPFF′中，|PF|2 + |PF′|2 = |FF′|2．
即(2푎 + 푏)2 + 푏2 = (2푐)2．利用c
2 = 푎2 + 푏2消去c
2，整理得：b = 2a．
故e =
c
a =
c
2
푎2 = 푎2 + 푏2
푎2 = 1 + 푏2
푎2 = 5．
15．【答案】D
【解析】法一：依题意F(3
4,0)，直线AB的方程为y =
3
3 x -
3
4
，设A(푥1,푦1)，B(푥2,푦2)．
联立直线与抛物线方程，消去y得：x
2 ― 21
2 푥 + 9
16 = 0．则x1 + 푥2 = 21
2 ．
由抛物线的定义知：|퐴퐵| = 푥1 + 푥2 + 3
2 = 12．
而坐标原点O到直线y =
3
3 x -
3
4
的距离为
| 3
4 |
12 + ( 3
3 )2 = 3
8
．
因此，S푂퐴퐵 = 1
2 × 12 × 3
8
= 9
4
．
法二：由抛物线的焦点弦公式知：|퐴퐵| = 2p
sin2 휃 = 3
sin2 30° = 12．
而S푂퐴퐵 = S푂퐴F + S푂퐵F =
1
2
|AF|·|OF|·sin30° +
1
2
|BF|·|OF|·sin
15
0°
=
1
2·|OF|·|퐴퐵|·sin30°
=
1
2
× 3
4
× 12 × 1
2 =
9
4
．
16．【答案】(1)x
2
20 + 푦2
5
= 1；(2) 푘1 + 푘2 = 0．
【解析】(1) 设椭圆的焦距为2c．
依题意有：e =
c
a =
a
2 ― b
2
푎2 = 3
2 ，即a
2 = 4푏2．
把(4,1)代入椭圆方程中，得：
42
4푏2 + 12
푏2 = 1，解得：b
2 = 5，a
2 = 20．
故椭圆的标准方程为x
2
20 + 푦2
5 = 1．
(2) 푘1 + 푘2为定值0．设P(푥1,푦1)，Q(푥2,푦2)．
联立{푦 = 푥 + 푚
x
2
20 + 푦2
5
= 1，消去y整理得：5x
2
+8mx +4푚2 ―20 = 0．
∆ = (8푚)2 ―4 × 5(4푚2 ― 20) > 0．即 - 5 < 푚 < 5且m ≠ - 3．
则x1 + x2 = -
8m
5 ，x1x2 = 4푚2 ― 20
5 ．
即푘1 + 푘2 =
y1 ― 1
푥1 ― 4 + y2 ― 1
푥2 ― 4 = (y1 ― 1)(푥2 ― 4) + (y2 ― 1)(푥1 ― 4)
(푥1 ― 4)(푥2 ― 4) ．
而(푦1 ― 1)(푥2 ― 4) + (푦2 ― 1)(푥1 ― 4) = (푥1 + 푚 ― 1)(푥2 ― 4) + (푥2 + 푚 ― 1)(푥1 ― 4)
= 2푥1푥2 + (푚 ― 5)(푥1 + 푥2) ―8(푚 ― 1)
= 2 × 4푚2 ― 20
5 + (푚 ― 5)( ― 8푚
5 ) ―8(푚 ― 1)
= 0．
因此，푘1 + 푘2 = 0．4
第二讲
一、空间向量与立体几何
1．【答案】C
【解析】依题意BC = BA + AD + DC．
即|BC| = (BA + AD + DC)2 = BA
2
+ AD
2
+ DC
2 + 2BA·AD + 2BA·DC + 2AD·DC．
又已知AB ⊥ AD，CD ⊥ AD，即BA·AD = AD·DC = 0，BA与DC所成角为60°．
因此，|BC| = 1
2 + 12 + 12 + 2 × 1 × 1 × cos6
0
° = 2．
2．【答案】(1) 见解析；(2) 1
3；(3) ― 33
33 ．
【解析】(1) 证明：连接BD．在正方形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐶 ⊥ BD．
又E,F分别是边퐵퐶,퐶퐷的中点，即퐵퐷//EF，从而有AC ⊥ EF．
而由푃퐴 ⊥ 平面퐴퐵퐶퐷，퐵퐷 ⊂ 平面퐴퐵퐶퐷．因此PA ⊥ EF．
又PA ⊂ 平面PAC，AC ⊂ 平面PAC，PA ∩ AC = A．
故퐸퐹 ⊥ 平面PAC．而퐸퐹 ⊂ 平面NEF，即平面PAC ⊥ 平面NEF．
(2) 连接푂M．由PC//平面MEF，且平面PAC ∩ 平面MEF = OM．
故PC//OM．
则在PAC中，PM
PA =
OC
AC =
1
4
，即PM
MA =
1
3
．
(3) 如图所示建立空间直角坐标系．
故E(4,2,0)，F(2,4,0)，M(0,0,2)，N(4,4,2)．
则푀퐸 = (4,2, ― 2)，EF = ( -2,2,0)，E푁 = (0,2,2)．
设平面MEF的一个法向量为n1 = (푥1,푦1,푧1)．
则{n1·ME = 4x1 + 2y1 ― 2푧1 = 0
n1·퐸퐹 = ―2푥1 + 2푦1 = 0 ．
令푥1 = 1，则n1 = (1,1,3)．
设平面NEF的一个法向量为n2
= (푥2,푦2,푧2)．
则{n2·E푁 = 2푦2 + 2푧2 = 0
n2·퐸퐹 = ―2푥2 + 2푦2 = 0．
令z1 = 1，则n1 = ( ―1, ― 1,1)．
设二面角M - EF - N为휃，则|cos휃| =
|n1·n2|
|n1||n2| =
1
11· 3 =
33
33
．
观察得：二面角M - EF - N为钝二面角．
因此，二面角M - EF - N的余弦值为 -
33
33
．
二、导数及其应用
3．【答案】 1
2017
【解析】由f(푥) = 2푥푓′(2017) ― ln 푥得：f′(푥) = 2푓′(2017) ― 1
푥．
令x = 2017得：f′(2017) = 2푓′(2017) ― 1
2017
，即f′(2017) =
1
2017
．
4．【答案】25
【解析】f(푥)的定义域为(0, + ∞)，f′(푥) = 2푥 ― 2
푥．故f′(푥0) = 2푥0 ― 2
푥0．
而直线x +3푦 + 2 = 0的斜率为 -
1
3
．
由垂直关系得：2푥0 ― 2
푥0 = 3．解得：x0 = 2或x0 = ― 1
2（舍去）．
5．【答案】15
【解析】f′(푥) = 3푥2 +2푎푥 + 푏．依题意有{f(1) = 1 + 푎 + 푏 + 푎2 = 10
f′(1) = 3 + 2푎 + 푏 = 0 ．
解得：{a = 4
b = ―11或{ a = -3
b = 3 ．
当{ a = -3
b = 3 时，f′(푥) = 3푥2
- 6푥 + 3 = 3(푥 ― 1)2 ≥ 0，f(푥)无极值，舍去．
当{a = 4
b = ―11时，f′(푥) = 3푥2
+8푥 - 11 = (3푥 + 11)(푥 ― 1)．经检验x = 1是f(푥)的极小值点．
故a - b = 4 - ( ―11) = 15．
6．【答案】D
【解析】f(푥)的图象过点(2,0)，而f′(푥)的图象过点(4
3
,0)．
而g′(푥) =
e푥[f′(푥) ― f(푥)]
e2푥 = f′(푥) ― f(푥)
e푥 ．
故g(푥)的单调递减区间应满足f′(푥) < 푓(푥)．
由图象可知，当x ∈ (0,1)或x ∈ (4, + ∞)时，f′(푥) < 푓(푥)．
从而，函数g(푥) =
f(푥)
e푥 的单调递减区间为(0,1)，(4, + ∞)．
7．【答案】D
【解析】考查函数g(푥) = 푓(푥)
e푥 ，则g′(푥) = 푓′(푥) ― 푓(푥)
e푥 > 0．故푔(푥)单调递增．
因此，g(1) > 푔(0)，g(2) > 푔(0)．即f(1) > e푓(0)，f(2) > e2푓(0)．
8．【答案】
1
12
【解析】联立{y = 2x
y
2 = 2푥得：{x = 0
y = 0或{x = 1
2
y = 1
．
故所求封闭图形面积S = ∫1
2
0
( 2x - 2x)d푥 = (2 2
3 푥
3
2 ― 푥2)|
1
2
0
= 1
12．
9．【答案】(1) 当a ≥ 1时，f(푥)在( ―1, + ∞)上单调递增；当0 < 푎 < 1时，f(푥)在( ―1, ― 1 ― 푎)，
( 1 ― 푎, + ∞)上单调递增，在( ― 1 ― 푎, 1 ― 푎)上单调递减；
当푎 ≤ 0时，f(푥)在( 1 ― 푎, + ∞)上单调递增，在( ―1, 1 ― 푎)上单调递减；
(2) 见解析．
【解析】(1) 푓′(푥) = 푎
푥 + 1 +푥 ― 1 = 푥2 + 푎 ― 1
푥 + 1 ，定义域为( ―1, + ∞)．
当a ―1 ≥ 0即a ≥ 1时，푓′(푥) ≥ 0在( ―1, + ∞)上恒成立，f(푥)在( ―1, + ∞)上单调递增．
当a ―1 < 0即a < 1时，令푥2 + 푎 ―1 = 0，则x1 = ― 1 ― 푎，x2 = 1 ― 푎．
若 1 ― 푎 > - 1，即0 < 푎 < 1时，
令f′(푥) < 0，则x1 < 푥 < 푥2；令f′(푥) > 0，则 ―1 < 푥 < 푥1或x > 푥2．
故f(푥)在( ―1, ― 1 ― 푎)，( 1 ― 푎, + ∞)上单调递增，在( ― 1 ― 푎, 1 ― 푎)上单调递减．
若 ― 1 ― 푎 ≤ - 1，即푎 ≤ 0时，
令f′(푥) < 0，则 ―1 < 푥 < 푥2；令f′(푥) > 0，则x > 푥2．
故f(푥)在( 1 ― 푎, + ∞)上单调递增，在( ―1, 1 ― 푎)上单调递减．6
(2) 证明：由(1)知：当0 < 푎 < 1时，f(푥)有两个极值点푥1,푥2．
푥1,푥2是方程푥2 + 푎 ―1 = 0的两个极值点，即x1 + 푥2 = 0，푥1푥2 = a - 1．
要证2f(푥2) - x1 > 0，即证2f(푥2) + x2 > 0，即2푎ln(푥2 + 1) + 푥22 ― 푥2 > 0．
即2(푥2 + 1)ln(푥2 + 1) ― 푥2 > 0．
当0 < 푎 < 1时，x2 = 1 ― 푎 ∈ (0,1)．
令푔(푥) = 2(x + 1)ln(푥 + 1) ― 푥，x ∈ (0,1)．
则g′(푥) = 2ln(푥 + 1) +1 > 0．
故g(푥)在(0,1)上单调递增，即푔(푥) > 푔(0) = 0．
因此，2(푥2 + 1)ln(푥2 + 1) ― 푥2 > 0，原命题得证．
三、复数
10．【答案】C
【解析】z =
(2 ― i)2
i
= 3 ― 4i
i
= 4 ― 3i．即|푧| = 4
2 + ( ―3)2 = 5．
11．【答案】B
【解析】a + i
1 + i =
(a + i)(1 ― i)
(1 + i)(1 ― i) = (푎 + 1) + (푎 ― 1)i
2 ．要使得a + i
1 + i是纯虚数，则有{푎 + 1 = 0
푎 ― 1 ≠ 0，即a = - 1．
12．【答案】B
【解析】依题意有z·2i ― (1 + i)( ―i) = 0，即z = ― 1 + i
2
．
因此，푧 = ― 1
2
+ 1
2
i，在复平面内的对应点(1
2, ― 1
2)位于第二象限．
四、推理与证明
13．【答案】C
【解析】设正四面体퐴퐵퐶퐷的棱长为1，易求得：AM = 6
3
，又O到四面体各面的距离都相等．
所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r = 3V
푆表
，解得：OM = r = 6
12
．
故AO = AM - OM = 6
4
，即
퐴푂
푂푀 = 3．
五、计数原理
14．【答案】C
【解析】在集合푆的三元素子集中，只有{1,2,9}不合要求．
故满足条件的集合퐴的个数为C3
9 - 1 = 84 - 1 = 83．
15．【答案】B
【解析】恰有两个空位相邻，即3个空位中两个空位相邻，且与另一个不相邻．
处理时，需注意座位无区别，不需排序．先排4人就座，A44 = 24种情况．
再在4人形成的5个空位中任选2个，一个安排2个空位，另一个安排1个空位．
A25 = 20种情况．故恰有两个空位相邻的不同坐法种数为24 × 20 = 480．
16．【答案】D
【解析】令x = 1得：(1 + a
x)(2푥 - 1
x)5
的展开式中各项系数之和为(1 + 푎)(2 ― 1)5 = 2．
解得：a = 1．
(2푥 - 1
x)5
的展开式中，含x项的系数为C2
5 × 2
3 × ( ―1)2 = 80．7
故(1 + 1
x)(2푥 - 1
x)5
的展开式中，常数项为1 × 80 = 80．
17．【答案】 - 30
【解析】法一：要得到x
3，5个括号中要取1个2x
2，1个x，3个 - 1，或3个x，2个 - 1．
即x
3的系数为C1
5 × 2 × C14 × 1 × C
33 × ( ―1)3 + C
35 × 1 × C
22 × ( ―1)2 = ―40 + 10 = ―30．
法二：(2푥2 + 푥 ― 1)5 = [2푥2 + (푥 ― 1)]5．
展开式中只有C55(푥 ― 1)5与C45(2푥2)1(푥 ― 1)4
中含有x
3．
对于C55(푥 ― 1)5，展开式中x
3的系数为C55C35( ―1)2 = 10．
对于C45(2푥2)1(푥 ― 1)4
，展开式中x
3的系数为C45C3
4 × 2
1 × ( ―1)3 = - 40．
故x
3的系数为10 - 40 = - 30．
法三：(2푥2 + 푥 ― 1)5 = [(2푥 ― 1)(푥 + 1)]5．
故其展开式的通项公式为Ci5(2푥 ― 1)5―i(푥 + 1)푖．
要得到x
3，只存在于C55(푥 + 1)5和C45(2푥 ― 1)4(푥 + 1)1两项的展开式中．
即x
3的系数为C55C25 + C45[C
24 × 2
2 × ( ―1)2 + C14 × 2
3 × ( ―1)1] = 10 + 5(24 ― 32) = ―30．
六、随机变量及其分布
18．【答案】B
【解析】依题意，x = 4，而点(x,푦)必在回归方程푦 = 2푥 +7上．故푦 = 2x +7 = 15．
19．【答案】(1) 有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；
(2) X的分布列为
X 0 1 2 3
P
1
27 2
9 4
9 8
27
X的数学期望为EX = 2．
【解析】(1) 依题意，K
2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2
(푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) =
110(40 × 30 ― 20 × 20)2
60 × 50 × 60 × 50
≈ 7.822 > 6.635．
故有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关．
(2) 依题意X~퐵(3,2
3)．即X可取0,1,2,3．
则P(푋 = 0) = C
0
3(2
3)0(1
3)3
= 1
27，P(푋 = 1) = C
1
3(2
3)1(1
3)2
= 2
9，
P(푋 = 2) = C
2
3(2
3)2(1
3)1
= 4
9，P(푋 = 3) = C
3
3(2
3)3(1
3)0
= 8
27．
X 0 1 2 3
P
1
27 2
9 4
9 8
27
X的数学期望为EX = 3 × 2
3 = 2．
20．【答案】(1) 휉的分布列为
휉 0 1 2 3
P
1
12 5
12 5
12 1
12
(2) 见解析．
【解析】(1) 记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A．
设袋中白球个数为푥，푃(A) = 1 ― C210―푥
C210
= 7
9．解得：x = 5．即白球有5个．
因此，휉可取0,1,2,3．8
푃（휉 = 0） = C35
C310
= 1
12；푃（휉 = 1） = C15C25
C310
= 5
12；푃（휉 = 2） = C15C25
C310
= 5
12；푃（휉 = 3） = C35
C310
=
1
12．
故휉的分布列为
휉 0 1 2 3
P
1
12 5
12 5
12 1
12
(2) 证明：设袋中有5푛个球，依题意其中2n个黑球，n ≥ 1．
记“从袋子任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件B．
则푃(B) = 1 ― C23푛
C25푛
= 1 ― 3(3푛 ― 1)
5(5푛 ― 1) = 16
25 +
6
5
25푛 ― 5．
显然，当n = 1时，푃(B)取得最大值
16
25 +
6
5
25 ― 5 =
7
10
．
六、极坐标与参数方程
21.【答案】(1) 퐶:푥2
3 + 푦2 = 1，푙:푦 = ―푥 + 2；(2) 2 2．
【解析】(1) 曲线C满足椭圆的定义，由椭圆定义知：长轴长为2a = 2 3，又焦距为2c = 2 2．
即b
2 = 푎2 ― 푐2 = 1，故曲线C的方程为
푥2
3 + 푦2 = 1．
直线l的方程为y - 1 = tan 3휋
4 (푥 ― 1)，整理得：x + y - 2 = 0．
(2) 曲线C的参数方程为{x = 3cos휃
푦 = sin휃 （휃为参数），设Q( 3cos휃 , sin휃)．
则点푄到直线푙的距离d =
| 3cos휃 + sin휃 ― 2|
12 + 12 =
|2 sin(휃 + π
3) ― 2|
2 ．
又sin(휃 + π
3) ∈ [ ―1,1]，故当sin(휃 + π
3) = - 1时，d取得最大值
| ―2 ― 2|
2 = 2 2．
作者：陈炜鸿
手机：18819452367
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