资料简介
2019-2020 学年下学期高二期末备考精编金卷
文 科 数 学（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知 是虚数单位，则复数 的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 件产品中有 件次品，其余为合格品，现从这 件产品中任取 件，恰有一件次品的概率
为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，其中
，把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲
线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9． 是双曲线 （ ， ） 右焦点，过点 向 的一条渐近线引垂线，
垂足为 ，交另一条渐近线于点 ，若 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积
为（ ）
A． B． C． D．
11．一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为 ，如果任意转动该正方
体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）
i 4 3i
3 4iz
+= −
i− i 1− 1
2{ | log 1}M x x= < 2{ | 2 0}N x x x= + − > M N =R
( 2,2)− [ 2,2)− (0,1] (0,1)
| | 4=a | | 8=b a b 60° | 2 |+ =a b
5 3 6 3 8 2 8 3
5 2 5 2
0.4 0.6 0.8 1
1
32a
−= 2
1log 3b = 1
2
1log 3c =
a b c> > a c b> > c a b> > c b a> >
( ) 2sin( )f x xω ϕ= + 0ω > ( π)π ,2
ϕ ∈
| | 2 13AB = ( )f x 2
2 ( )g x ( )g x
( ) 2sin π
12g x x= − 2π( ) 2sin( )3
π
12g x x= − +
( ) 2sin( )3
π
6
πg x x= − + ( ) 2c 3
πosg x x=
1 ln | | sin1 ln | |
xy xx
−= ⋅+
π 1cos( )6 3
α + = 5πsin(2 )6
α + =
8
9
7
9
7
9
− 8
9
−
F
2 2
2 2: 1x yC a b
− = 0a > 0b > 的 F C
A B 2AF FB= C
2 3
3
14
3 2 2
1
16 5
3
2 5
3
32
3
16
3
1
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A． B． C． D．
12．已知函数 ，若对任意的正数 ， ，满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_______．
14．在数列 中，若 ， ，则 _____．
15．已知 为抛物线 的焦点，直线 与曲线 相交于 两点， 为坐标原
点，则 ________．
16．设 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，
则 ________；若边 上的点 满足 ，则 的面积
________．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，数列 的前 项和
．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求证：当 且 时， ．
18．（12 分）依据某地某条河流 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图
（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．
（1）试估计该河流在 月份水位的众数；
（2）我们知道若该河流 月份的水位小于 米的频率为 ，该河流 月份的水位小于 米的情况
下发生 级灾害的频率为 ，则该河流 月份的水位小于 且发生 级灾害的频率为 ，其他情
况类似．据此，试分别估计该河流在 月份发生 、 级灾害及不发生灾害的频率 ， ， ；
（3）该河流域某企业，在 月份，若没受 、 级灾害影响，利润为 万元；若受 级灾害影响，
则亏损 万元；若受 级灾害影响则亏损 万元．现此企业有如下三种应对方案：
试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中 哪种方案？说明理由．
1 5[ , ]6 6
1 5( , )6 6
1 2[ , ]6 3
1 2( , )6 3
2
2( ) log ( 1 )f x x x= + − a b ( ) (3 1) 0f a f b+ − =
3 1
a b
+
6 8 12 24
x y
2 0
4 0
2 5 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≥
− − ≤
1
1
yz x
−= +
{ }na 1 2 2a a= = ( )*
2 1 2n n na a a n+ += + ∈N 2 2019 2020log ( )a a+ =
F 2: 4C x y= 1 12y x= + C ,A B O
OABS =△
ABC△ A B C a b c ( )( ) 3a b c a b c ac+ + − + =
B = AC D 2 2BD CD AD= = = ABC△ S =
{ }na n nS 4 9a = 3 15S = { }nb n
2
n nT n a= +
{ }na { }nb
2n ≥ *n∈N
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1 3
20n nb b b b b b b b +
+ + + ⇒ − + > ⇒ − < <
(0,2)M = ( , 2) (1, )N = −∞ − +∞ 2{ | 2 0} [ 2,1]N x x x= + − ≤ = −R
( ) [ 2,2)M N = = −R
2 2 2 2 2| 2 | (2 ) 4 4 4 4 4 4 8cos60 8 8 3+ = + = + ⋅ + = × + × × °+ =a b a b a a b b
5 2 a b 3 c d e
5 2 10 是( , )a b ( , )a c ( , )a d ( , )a e ( , )b c ( , )b d ( , )b e
( , )c d ( , )c e ( , )d e
6 ( , )a c ( , )a d ( , )a e ( , )b c ( , )b d ( , )b e
A = 6( ) 0.610P A = =
1
32 (0,1)a
−= ∈ 2
1log 03b = < 1
2
1log 13c = > b a c< <
(0) 2sin 1f ϕ= = 1sin 2
ϕ = 5π
6
ϕ = 5π( ) 2sin( )6f x xω= +
2 13AB = 2 2 2( ) 4 (2 13)2
T + = 12T = π
6
ω =
π 5π( ) 2sin( )6 6f x x= +
π 5π π π( ) 2sin[ ( 2) ] 2sin( π) 2sin12 6 12 12g x x x x= + + = + = −
1 ln | |( ) sin1 ln | |
xf x xx
−= ⋅+ |1 ln 0|x+ ≠ 1x e
≠ ± 0x ≠
1 1 1 1( , ) ( ,0) (0, ) ( , )e e e e
−∞ − − +∞
1 ln | | 1 ln | |( ) sin( ) sin ( )1 ln | | 1 ln | |
x xf x x x f xx x
− − −− = ⋅ − = − ⋅ = −+ − +
( )f x
11 e
> (1) sin1>0f =
2
1 1
e e
< 2
2 2 2 2
2
11 ln | |1 1 1 ( 2) 1 1( ) sin sin 3 sin 01 1 21 ln | |
ef e e e e
e
− − −= ⋅ = ⋅ = − ⋅ − ≥ − = R
2 2
1
1
) log(f
x
x
x
=
+ + ( )f x
2 2
1
1
) log(f
x
x
x
=
+ +
2
2log (( 1) )f x x x= + +−
( ) ( )f x f x= − − ( )f x
( ) (3 1) 0f a f b+ − = ( ) (1 3 )f a f b= − 1 3a b= −
3 1a b+ = 3 1 3 1 9( )( 3 ) 6b aa ba b a b a b
+ = + + = + +
为 9 92 6b a b a
a b a b
+ ≥ × = 3 1 12a b
+ ≥ 1
2a = 1
6b =
1
ABC△ 1
1
yz x
−= + ( , )P x y
( 1,1)Q − PQk 1BCk =
2020
2 1 2n n na a a+ += + 2 1 12 2n n n na a a a+ + ++ = + 2 1
1
2n n
n n
a a
a a
+ +
+
+ =+
1 2 4a a+ = 1{ }n na a+ + 4 2
2020
2019 2020 2a a+ = 2 2019 2020log ( ) 2020a a+ =
5
2 4
1 12
x y
y x
= = +
2 2 4 0x x− − =
1 1( , )A x y 2 2( ),B x y 1 2 2x x+ = 1 2 4x x = −
2 2
1 2 1 2
11 4 1 54( ) 1 4 6AB k x x x x= + + − = + + =
O 1 12y x= + 1 2 2 5
51 51 4
d = = =
+
1 1 2 5| | 5 52 2 5OABS AB d= × = × × =△
60° 3 3
2
( )( ) 3a b c a b c ac+ + − + = 2 2 2a c b ac+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= =
(0,180 )B∈ ° 60B = °
1
1 2n
n na a +
+ + =由题意不妨设 ，则 ， ，所以 ，
在 中由正弦定理得 ，
将 ， 代入化简得 ，∴ ，
∴ ， ，易得 ，∴ ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1） ， ；（2）证明见解析．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
当 时， ；
当 时， ，
可知 时不满足 ，
∴ ．
（2）由（1）知：当 时， ；
当 时， ，
∴
，
∵ ，∴ ，∴ ，
即 ．
18．【答案】（1） 米；（2） ， ， ；（3）选方案二，详见解析．
【解析】（1）由题得 ，估计该河流在 月份水位的众数为 米．
（2）依据甲图，该河流 月份的水位小于 米的频率为 ，
在 米和 米之间的频率为 ，
大于 米的频率为 ．
根据乙图，该河流在 月份发生 级灾害的频率为 ，
该河流在 月份发生 级灾害的频率为 ，
该河流在 月份不发生灾害的频率为 ，
估计 ， ， 分别为 ， ， ．
（3）由（2）若选择方案一，则该企业在 月份的平均利润
（万元）；
若选择方案二，则该企业在 月份的平均利润 （万
元）；
若选择方案三，则该企业在 月份的平均利润 （万元），
由于 ，因此企业应选方案二．
19．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵四边形 是菱形，∴ ，
又∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
在 中， ， ，
设 ，计算得 ， ，
在梯形 中， ， ， ， ，
梯形 的面积 ，
∴四棱锥 的体积为 ．
DBC α∠ = 60ABD α∠ = °− C α∠ = 120A α= °−
ABD△ sin(60 ) sin(120 )
AD BD
α α=°− °−
1AD = 2BD = 3tan 3
α = 30α = °
90A = ° 30C = ° 3AB = 1 3 3
2 2S AC AB= × × =
2 1na n= + 4( 1)
2 1( 2, )n
nb n n n ∗
== + ≥ ∈ N
{ }na d
4 1
3 1
3 9
3 23 152
a a d
S a d
= + = ×= + =
1 3
2
a
d
=
=
3 2( 1) 2 1na n n= + − = +
2 22 1 ( 1)nT n n n= + + = +
1n = 1 1 4b T= =
2n ≥ 2 2
1 ( 1) 2 1n n nb T T n n n−= − = + − = +
1n = 2 1nb n= +
4( 1)
2 1( 2, )n
nb n n n ∗
== + ≥ ∈ N
1n =
1 2
1 1
20b b
=
2n ≥
1
1 1 1 1 1( )(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n nb b n n n n+
= = × −+ + + +
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )20 2 5 7 7 9 2 1 2 3n nb b b b b b b b n n+
+ + + + = + × − + − + + −+ +
1 1 1 1 1 1 1 1( ) 2520 2 5 2 3 20 10 15 20 10 1
n
n n
n
−= + × − = + = ++ + + −
25 01n
>−
1 1
25 1010 1n
<
+ −
1 1 1 1 3
2520 20 10 2010 1n
+ < + =
+ −
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1 3
20n nb b b b b b b b +
+ + +⋅⋅⋅+ <
37.5 0.155 0.035 0.81
35+40 37.52
= 8 37.5
8 40 (0.02 0.05 0.06) 5 0.65+ + × =
40 50 (0.04 0.02) 5 0.30+ × =
50 0.01 5 0.05× =
8 1 0.65 0.10 0.30 0.20 0.05 0.60 0.155× + × + × =
8 2 0.30 0.05 0.05 0.40 0.035× + × =
8 1 0.155 0.035 0.81− − =
1p 2p 3p 0.155 0.035 0.81
8
1 500 0.81 100 0.155 1000 0.035 354.5L = × − × − × =
8 2 500 0.965 40 1000 0.035 407.5L = × − − × =
8 3 500 100 400L = − =
2 3 1L L L> >
3 1
2
ABCD BD AC⊥
ACEF ⊥ ABCD ACEF ABCD AC= BD ⊂ ABCD
BD ⊥ ACEF
ABC△ 60ABC∠ = ° 2AB =
BD AC O= 2AC = 3BO =
ACEF AF CE∥ AF AC⊥ 2AC AF= = 1CE =
ACEF 1 (1 2) 2 32S = × + × =
B ACEF− 1 1 3 3 33 3V S BO= × × = × × =（2）在平面 内作 ，且 ，连接 交 于 ，
则点 满足 ，
证明如下：
∵ ， ，∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ， ，
又菱形 中， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ．
20．【答案】（1） ；（2）存在满足条件的直线 ，其方程为 ．
【解析】（1）因为圆 ，所以圆心 为 ，半径 ．
设 ， ，
当直线 的斜率为 时，设 的方程为 ，
则 ，∴ 或 ，
当 时， ，无解，舍去；
当 时，由 ，消去 ，得 ，
所以 ， ， ，
弦长 ．
（2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，易知 时不成立，
即 ，
由题意知 ，得 ，①
由 ，消去 得 ，
，即 且 ， ， ，
∵点 和点 关于直线 对称，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ，
代入 ， 并化简，得 ，②
① ②得 ，即 ，
解得 或 ，
当 时，代入 ，解得 ，满足条件 且 ，
此时直线 的方程为 ；
当 时，代入 计算得到 ，无解，
当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，
故 ， ，此时 ，不满足，
综上所述，存在满足条件的直线 ，其方程为 ．
21．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
由导数的几何意义可知：曲线 在 处的切线斜率 ，
∴曲线 在 处的切线方程 ，即 ．
（2）若 ，则 ，
由（1）可知， ，
设函数 ，则 ，
当 时， ，则 在 单调递减；
当 时， ，则 在 单调递增，
故 ，
ABF BM AF∥ 1BM = AM BF P
P AP DE∥
AF CE∥ 1CE = BM CE∥ BM CE=
BMEC BC ME∥ BC ME=
ABCD BC AD∥ BC AD=
ME AD∥ ME AD=
ADEM AM DE∥ AP DE∥
BM AF∥ ~BPM FPA△ △
1BM = 1
2
BP BM
PF AF
= =
10 l 1y x= − +
2 2:( 1) 2N x y+ + = N ( 1,0)− 2r =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
l 1− l y x b= − +
|1 | 2
2
b+ = 1b = 3b = −
3b = − 2
3y x
y x
= − −
=
1b = 2
1y x
y x
= − +
=
x 2 1 0y y+ − =
1 2 1y y+ = − 1 2 1y y⋅ = − 2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 5y y y y y y− = + − ⋅ =
1 22
1| | 1 | | 10( 1)AB y y= + − =−
l l y kx m= + 0k =
0( 0)kx y m k− + = ≠
2
2
1
k m
k
− + =
+
2 2 2 2 0m k mk− − − =
2
y kx m
y x
= +
=
x 2 0ky y m− + =
1 4 0Δ km= − > 1
4km < 0k ≠ 1 2
1y y k
+ = 1 2
my y k
=
M ( 1,0)N − y x=
(0, 1)M −
1 1( , 1)MA x y= +
2 2( , 1)MB x y= +
MA MB⊥ 0MA MB⋅ =
1 2 1 2( 1)( 1) 0x x y y+ + + =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y y kx m= +
1 1y kx m= + 2 2y kx m= +
2 2 2 2
1 2 1 2(1 ) ( )( ) 0k y y k m y y m k+ + − + + + =
1 2
1y y k
+ = 1 2
my y k
= 2 2 0m k mk k+ + + =
+ 22 2 0m mk k− + − = ( 1)(2 2) 0m m k− − + =
1m = 1 12m k= −
1m = 2 2 2 2 0m k mk− − − = 1k = − 1
4km < 0k ≠
l 1y x= − +
1 12m k= − 2 2 2 2 0m k mk− − − = 27 4 4 0k k− + =
l 2 1x = −
1 2 1y = − 2 2 1y = − − 0MA MB⋅ ≠
l 1y x= − +
2y =
2( ) [2( 1) ] 2(1 )xf x a x ax e a x′ = − + ⋅ + − (0) 0f ′ =
( )y f x= (0,2) 0k =
( )y f x= (0,2) 2 0 ( 0)y x− = × − 2y =
2
3a = 2 22 1( ) (2 2 )3 3
xf x x x e x= − + ⋅ +
22 2 2 2( ) ( ) [( 1) 1]3 3 3 3
x xf x x x e x x x e′ = − + ⋅ + = − ⋅ +
( ) ( 1) 1xg x x e= − ⋅ + ( ) xg x x e′ = ⋅
( ,0)x∈ −∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ,0)−∞
(0, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞
( ) (0) 0g x g≥ =又 ，
故当 时， ，则 在 单调递减；
当 时， ，则 在 单调递增，
故 ．
22．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题意知 的直角坐标方程为 ，
由 ，可得 的极坐标方程为 ，
化简整理得 ．
（2）由题意得直线 的极坐标方程为 ，
所以 ，可得 ．
同理 ，可得 ，
所以 ．
23．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
不等式 ，即 或 或 ，
解得 或 或 ，
故此不等式的解集为 ．
（2）因为 ，
因为 ，有 成立，
所以只需 ，化简得 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 ．2( ) ( )3f x x g x′ = ⋅
( ,0)x∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( ,0)−∞
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
( ) (0) 2f x f≥ =
2
2
2
sin 1cos 4
θθ ρ+ = 4 7 47
+
1C
2
2 14
yx + =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 1C
2 2
2 2 sincos 14
ρ θρ θ + =
2
2
2
sin 1cos 4
θθ ρ+ =
l π
3
θ =
3
8cos
π
0
θ
ρ θ
=
+ =
π( 4, )3A −
2
2
2
π
3
sin 1cos 4
θ
θθ ρ
=
+ =
4 7 π( , )7 3B
4 7| | | | 47A BAB ρ ρ= − = +
5 3( , ] [ , )2 2
−∞ − +∞ ( , 1] [1, )−∞ − +∞
1a = ( ) | 1| | 2 |f x x x= − + +
( ) 4f x ≥ 2
2 1 4
x
x
< −
− − ≥
2 1
3 4
x− ≤ ≤
≥
1
2 1 4
x
x
>
+ ≥
5
2x ≤ − x∈∅ 3
2x ≥
5 3( , ] [ , )2 2
−∞ − +∞
( ) | | | 2| |( ) ( 2)| | 2|f x x a x x a x a= − + + ≥ − − + = +
0x∃ ∈R 0( ) |2 1|f x a≤ +
| 2| |2 1|a a+ ≤ + 2 1 0a − ≥ 1a ≤ − 1a ≥
a ( , 1] [1, )−∞ − +∞
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