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课时提升作业十三 4.2.doc

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2017年高中数学选修4-5全册配套试卷（人教A版共21份含答案)
- 【人教A版】2017学年高中数学选修4-5全册配套试卷含答案（共21份）
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资料简介

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费课时提升作业十三用数学归纳法证明不等式举例一、选择题(每小题6分,共18分)‎ ‎1.用数学归纳法证明不等式++…+n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取　(　　)‎ A.2　　　　　B‎.3　‎　　　　C.5　　　　　D.6‎ ‎【解析】选C.当n≤4时,2nn2+1.于是n0应取5.‎ ‎【补偿训练】用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是　(　　)‎ A.假设n=k时命题成立 B.假设n=k(k∈N+)时命题成立由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 C.假设n=k(k≥5)时命题成立 D.假设n=k(k>5)时命题成立 ‎【解析】选C.由题意知n≥5,n∈N+,‎ 所以应假设n=k(k≥5)时命题成立.‎ ‎3.(2016·长春高二检测)证明1+++…+>(n∈N*),假设当n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数为　(　　)‎ A.1项 B.k-1项 C.k项 D.2k项 ‎【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+++…+,当n=k+1时,不等式左端为1+++…+++…+,左端增加了+…+,共2k项.‎ 二、填空题(每小题6分,共12分)‎ ‎4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为____________.‎ ‎【解析】当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.‎ 答案:21+1≥12+1+2‎ ‎5.(2016·南昌高二检测)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a=______,b=______,c=________.‎ ‎【解析】当n=1时,‎3a-3b+c=1,‎ 当n=2时,‎18a-9b+c=7,‎ 当n=3时,‎81a-27b+c=34,‎ 解得,a=,b=c=.‎ 答案:　　‎ 三、解答题(每小题10分,共30分)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6.(2016·广州高二检测)证明:1+++…+≥(n∈N*).‎ ‎【证明】(1)当n=1时,不等式为1≥1,显然成立.‎ ‎(2)假设当n=k时不等式成立,即1+++…+≥.‎ 那么,当n=k+1时,1+++…++≥+,而+-‎ ‎=‎ ‎=>0,‎ 即+>,‎ 所以1+++…++≥,‎ 即当n=k+1时不等式也成立.‎ 综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.‎ ‎7.(2016·济南高二检测)求证:+++…+>(n≥2,n∈N+).‎ ‎【解题指南】本题由n=k到n=k+1时的推证过程中,n=k时,首项是,尾项是,分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+1时,首项应为,尾项是,与n=k时比较,后面增加,,共三项,而不只是增加一项,且还减少了一项.‎ ‎【证明】(1)当n=2时,左边=+++=>,不等式成立.‎ ‎(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,‎ 即++…+>,‎ 则当n=k+1时,++…++++=++…++‎ ‎>+‎ ‎>+‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎=+=.‎ 所以当n=k+1时,不等式也成立.‎ 由(1)(2),知原不等式对一切n≥2且n∈N+都成立.‎ ‎8.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).‎ ‎(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an.‎ ‎(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.‎ ‎【解析】(1)a1=1,a2=,a3=,a4=,‎ 由此猜想an=(n∈N+).‎ ‎(2)当n=1时,a1=1,结论成立.‎ 假设n=k(k≥1)时,结论成立,即ak=,‎ 那么当n=k+1时,‎ ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.‎ 所以2ak+1=2+ak,‎ 所以ak+1===.‎ 这表明当n=k+1时,结论成立.‎ 所以an=(n∈N+).‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.用数学归纳法证明:1+++…+1)第一步验证n=2时,左边的项为　(　　)‎ A.1 B.1+‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 C. D.1++‎ ‎【解析】选D.当n=2时,左边最后一项为=,所以左边的项为1++.‎ ‎2.(2016·济南高二检测)已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2n-an(n∈N*),若已经算出a1=1,a2=,则猜想an=　(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.因为a1=1,a2=,由 S3=1++a3=6-a3,所以a3=,同理,a4=.‎ 猜想,得an=.‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎3.(2016·太原高二检测)在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,不等式++++≥成立.猜想在n边形A‎1A2…An中,类似成立的不等式为__.‎ ‎【解析】由题中已知不等式可猜想:‎ ‎+++…+≥(n≥3且n∈N*).‎ 答案:+++…+≥(n≥3且n∈N*)‎ ‎4.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为_‎ ‎.‎ ‎【解析】由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),知当n>1时,令x=,所以>1+n·,‎ 所以>1+n·,即(a+b)n>an+nan-1b,‎ 当n=1时,M=N,故M≥N.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费答案:M≥N 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎5.(2016·苏州高二检测)已知函数f(x)=x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,且an+1≥f′(an+1),证明:an≥2n-1(n∈N+).‎ ‎【证明】由f(x)=x3-x,得f′(x)=x2-1.‎ 因此an+1≥f′(an+1)=(an+1)2-1=an(an+2).‎ ‎(1)当n=1时,a1≥1=21-1,不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,即ak≥2k-1.‎ 当n=k+1时,‎ ak+1≥ak(ak+2)≥(2k-1)(2k-1+2)=22k-1.‎ 又k≥1,所以22k≥2k+1,‎ 所以当n=k+1时,ak+1≥2k+1-1,即不等式成立.‎ 根据(1)和(2)知,对任意n∈N+,an≥2n-1都成立.‎ ‎6.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n+1(n∈N+).‎ ‎(1)求证{an-2n}为等差数列.‎ ‎(2)设数列{bn}满足bn=2log2(an+1-n).(n∈N+)‎ 证明:…>(n∈N+).‎ ‎【证明】(1)由an+1=an+2n+1得 ‎(an+1-2n+1)-(an-2n)=1,‎ 因此{an-2n}是等差数列.‎ ‎(2)an-2n=(a1-2)+(n-1)=n-1,即an=2n+n-1,‎ bn=2log2(an+1-n)=2n.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费下面用数学归纳法证明 ‎···…·>.‎ ‎①当n=1时,左端=>=右端,不等式成立;‎ ‎②假设n=k(k≥1)时不等式成立,即 ‎···…·>,‎ 当n=k+1时,‎ ‎···…··‎ ‎>·=‎ ‎=>.‎ 由①②知不等式···…·>对于一切n∈N+都成立.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费查看更多

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