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考前过关训练(三).doc

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2017年高中数学选修4-5全册配套试卷（人教A版共21份含答案)
- 【人教A版】2017学年高中数学选修4-5全册配套试卷含答案（共21份）
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资料简介

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费考前过关训练(三)‎ 柯西不等式、排序不等式与数学归纳法 ‎ (35分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题3分,共18分)‎ ‎1.函数y=2+的最大值为　(　　)‎ A.　　　　B.-　　　　C.-3　　　　D.3‎ ‎【解析】选D.y=·+1·‎ ‎≤=3,‎ 当且仅当=,即x=0时,等号成立.‎ ‎2.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+‎3c2+6d2=5,则a的最大值是　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【解题指南】利用柯西不等式构建关于a的不等式求解.‎ ‎【解析】选B.由柯西不等式,得 ‎(2b2+‎3c2+6d2)≥(b+c+d)2,‎ 即2b2+‎3c2+6d2≥(b+c+d)2,‎ 当且仅当==时等号成立.‎ 又b+c+d=3-a,2b2+‎3c2+6d2=5-a2,‎ 故5-a2≥(3-a)2,‎ 解得1≤a≤2,即a的最大值是2.‎ ‎3.一组实数为a1,a2,a3,设c1,c2,c3是另一组数b1,b2,b3‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费的任意一个排列,则a‎1c1+a‎2c2+a‎3c3的　(　　)‎ A.最大值为a1b1+a2b2+a3b3,最小值为a1b3+a2b2+a3b1‎ B.最大值为a1b2+a2b3+a3b1,最小值为a1b3+a2b1+a3b2‎ C.最大值与最小值相等为a1b1+a2b2+a3b3‎ D.以上答案都不对 ‎【解析】选D.a1,a2,a3与b1,b2,b3的大小顺序不知,无法确定其最值.‎ ‎4.对于正整数n,下列说法不正确的是　(　　)‎ A.3n≥1+2n B.0.9n≥1-0.1n C.0.9n0,则≥≥>0且a12≥b12≥c12>0,‎ 则++≥++‎ ‎=++≥++=a10+b10+c10.‎ ‎11.a1,a2,…,an是互不相等的正数,其中ai∈[1,+∞),且i∈{1,2,3,…,n},n≥2.证明:‎ ‎(1)+>a1+a2.‎ ‎(2)++…++>n.‎ ‎【证明】(1)因为a1>0,a2>0,且a1≠a2,‎ 所以+-a1-a2==>0,所以+>a1+a2.‎ ‎(2)不妨设1≤a1=n.‎ ‎12.(2016·厦门高二检测)设an=1+++…+(n∈N+),是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)对大于1的一切正整数n都成立?证明你的结论.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】假设g(n)存在,那么当n=2时,‎ 由a1=g(2)(a2-1),即1=g(2),‎ 所以g(2)=2;‎ 当n=3时,由a1+a2=g(3)(a3-1),‎ 即1+=g(3),所以g(3)=3,‎ 当n=4时,由a1+a2+a3=g(4)(a4-1),‎ 即1++‎ ‎=g(4),所以g(4)=4,‎ 由此猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+).‎ 下面用数学归纳法证明:‎ 当n≥2,n∈N+时,等式a1+a2+a3+…+an-1=n(an-1)成立.‎ ‎(1)当n=2时,a1=1,‎ g(2)(a2-1)=2×=1,结论成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时结论成立,‎ 即a1+a2+a3+…+ak-1=k(ak-1)成立,‎ 那么当n=k+1时,a1+a2+…+ak-1+ak ‎=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=(k+1)ak-(k+1)+1‎ ‎=(k+1)=(k+1)(ak+1-1),‎ 说明当n=k+1时,结论也成立,‎ 由(1)(2)可知,对一切大于1的正整数n,存在g(n)=n使等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)成立.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费查看更多

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