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爱是阳光,恨是阴影,人生是光影的交错.———朗费罗 第3课时   切线的证明与应用   1.能利用切线的性质进行有关计算推理. 2.能区分三角形的内心、外心的有关性质.    夯实基础,才能有所突破ƺƺ 1.如图,圆心O 在边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线BD 上,☉O 过点B 且与AD、DC 边均相切,则 ☉O 的半径是 (  ). A.2(2-1) B.2(2+1) C.2 2-1 D.2 2+1 (第 1 题)    (第 2 题) 2.如图,☉O 的半径为 2,点 A 的坐标为(2,2 3),直线 AB 为 ☉O 的切线,B 为切点.则点B 的坐标为(  ). A. 3 2 ,8 5 æ è ç ö ø ÷ B.(- 3,1) C. 4 5 ,9 5 ( ) D.(-1,3) 3.I是 △ABC 内心,∠A=50°,则 ∠BIC=    . 4.如图,A、B 是 ☉O 上的两点,AC 是过点A 的一条直线,如 果 ∠AOB=120°,那么当 ∠CAB 的度数等于      时, AC 才能成为 ☉O 的切线. (第 4 题)    (第 5 题)5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则 △ABC 的内 切圆半径r=    .    课内与课外的桥梁是这样架设的. 6.已 知 ☉O 的 面 积 为 64πcm 2,它 的 一 条 弦 AB 长 为 8 3cm,则以 8cm 为直径的同心圆与 AB 的位置关系是 (  ). A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 7.在 △ABC 中,∠A=90°,AC=3,AB=4,☉O 的 圆 心 在 BC 上,且 与 AB、AC 分 别 相 切 于 D、E,则 ☉O 的 半 径 为 (  ). A.12 7 B.7 12 C.7 2 D.2 3 8.如 图,在 边 长 为 2 的 正 方 形 ABCD 中,E、F、O 分 别 是 AB、CD、AD 的中点,以O 为圆心、OE 为半径画弧EF.P 是EF︵上的一个动点,连 接 OP,并 延 长 OP 交 线 段BC 于 点K,过点 P 作 ☉O 的切线,分别 交 射 线 AB 于 点 M ,交 直线BC 于点G.若BG BM =3,则BK=    . (第 8 题)9.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求 △ABC 的外 接圆的半径R 和内切圆的半径r. 10.如图,AB 是 ☉O 的直径,点 C 在 ☉O 上,过点 C 的直线 与AB 的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB. (1)求证:PC 是 ☉O 的切线; (2)求证:BC= 1 2 AB; (3)M 是弧AB 的中点,CM 交AB 于点N,若 AB=4,求 MNŰMC 的值. (第 10 题)生活的道路一旦选定,就要勇敢地走到底,决不回头.———左拉    对未知的探索,你准行! 11.下面的一道 题 目 出 自 一 本 数 学 复 习 资 料,“已 知 △ABC 的面积S=18,周长C=12,求 △ABC 的内切圆半径”. (1)你会解这道题目吗? 写出解题过程. (2)根据你所得 到 的 答 案,你 认 为 题 目 中 给 出 的 已 知 条 件是否合理? 为什么? 12.△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,∠BAC=60°,并且满 足a2 =b2 +c2 -2bcŰcosA,b,c是方程 3x2 -12x+7=0的两根,求a和 △ABC 内切圆的半径. 13.如图(1)(2)所示,图(1)是一个小朋友玩“滚铁 环”的 游 戏,铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环 相切,将这个游戏抽象为数学问题,如图(2). 已知铁环的半径为 5 个单位(每个单位为 5cm),设铁环 中心为O,铁环钩 与 铁 环 相 切 点 为 M,铁 环 与 地 面 接 触 点为 A,∠MOA=α且 sinα= 3 5 . (1)求点 M 离地面AC 的高度BM(单位:cm); (2)设人站立点 C 与点A 的水平距离AC 等于 11 个单 位,求铁环钩 MF 的长度(单位:cm) (1)    (2) (第 13 题)    解剖真题,体验情境. 14.(2012Ű湖北鄂州)如图,梯形ABCD 是等腰梯形,且AD∥ BC,O 是腰CD 的中点.以 CD 长为直径作圆,交 BC 于 点E,过E 作EH ⊥AB 于点 H . (1)求证:OE∥AB; (2)若EH= 1 2 CD,求证:AB 是 ☉O 的切线; (3)若BE=4BH,求BH CE 的值. (第 14 题) 15.(2012Ű辽宁丹东)如图,在 △ABC 中,∠BAC=30°,以 AB 为直径的 ☉O 经过点C.过点 C 作 ☉O 的切线交AB 的 延长线于点P.点 D 为圆上一点,且BC︵=CD︵,弦 AD 的 延长线交切线PC 于点E,连接BC. (1)判断OB 和BP 的数量关系,并说明理由; (2)若 ☉O 的半径为 2,求 AE 的长. (第 15 题)第 3 课时   切线的证明与应用 1.A 2.D 3.115° 4.60° 5.2 6.C 7.A 8.1 3 或 5 3 9.∵ ∠ACB=90°, ∴ AB 是 △ABC 的外接圆的直径, AB= AC2+BC2 =5. ∴ R= 5 2 . (第 9 题) 如图,设点I 为 △ABC 的内心,分别 过 点I 作ID⊥AC,IE⊥BC,IF⊥AB,垂足依次为 D、E、F,则ID=IE=IF.连接AI,则 △ADI ≌△AFI, ∴ AD=AF. 同理可得CD=CE,BF=BE. 易知四边形 DCEI是正方形,若设 △ABC 的内切圆的半径为r,则 AF=AD=4-r,BF=BE=3-r, ∴ (4-r)+(3-r)=5. ∴ r=1. ∴ △ABC 的内切圆的半径为 1. 10.(1)∵ OA=OC, ∴ ∠A=∠ACO. ∵ ∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB, ∴ ∠A=∠ACO=∠PCB. ∵ AB 是 ☉O 的直径, ∴ ∠ACO+∠OCB=90°. ∴ ∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP. ∵ OC 是 ☉O 的半径, ∴ PC 是 ☉O 的切线. (2)∵ PC=AC, ∴ ∠A=∠P. ∴ ∠A=∠ACO=∠PCB=∠P. ∵ ∠COB=∠A+∠ACO, ∠CBO=∠P+∠PCB. ∴ ∠CBO=∠COB. ∴ BC=OC. ∴ BC= 1 2 AB. (3)8. 11.(1)如 图,连 接 OD、OE、OF、OA、OB、OC,则S△ABC =S△AOB +S△BOC +S△AOC, 即S= 1 2 ar+ 1 2 br+ 1 2 cr= 1 2 (a+b+c) r= 1 2 Cr. ∴ r=2S C =2×18 12 =3. (第 11 题)(2)题目所给的条件不合理. ∵  由r=3 时,三 角 形 内 切 圆 的 面 积 为 πr2=9π,而 9π>18,这是不可能的, ∴  题目给的条件不合理. 12.设O 为 △ABC 的内心,作 OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为 D、E,连接OA. ∵ b,c是方程 3x2-12x+7=0 的两根, ∴ b+c=4,bc= 7 3 . 又  a2=b2+c2-2bcŰcos∠BAC,∠BAC =60°, ∴ a2 =(b+c)2-2bc-2bcŰcos60° =42-2× 7 3 -2× 7 3 × 1 2 =9. 而  a>0, ∴ a=3. ∵ O 是 △ABC 的内心, ∴ OD、OE 是 ☉O 的半径. 又  ∠ADO=∠AEO=90°,OD=OE, OA=OA, ∴ Rt△ADO≌Rt△AEO. 又  ∠BAC=60°, ∴ ∠DAO=30°. ∴ OD=ADŰtan30°. 又  AD= b+c-a 2 = 1 2 , ∴ OD= 1 2 × 3 3 = 3 6 . ∴ a的值为 3,△ABC内切圆的半径为 3 6 . 13.过 M 作与AC 平行的直 线,与 OA,FC 分 别相交于 H ,N, (1)在 Rt△OHM 中,∠OHM=90°,OM= 5(单位),HM=OM×sinα=3(单位), ∴ OH=4, MB=HA=5-4=1(单位). MB=1×5=5(cm). (第 13 题) (2)∵   ∠MOH + ∠OMH = ∠OMH + ∠FMN=90°, ∴ ∠FMN=∠MOH=α. ∴  FN FM =sinα= 3 5 . 即得FN= 3 5 FM. ∴ Rt△FMN 中,∠FNM=90°MN=BC=AC-AB=11-3=8(单位). 由勾股定理FM2=FN2+MN2,即 FM2= 3 5 FM( )2 +82. 解得FM=10(单位). ∴ FM=10×5=50(cm). 14.(1)∵  等腰梯形 ABCD, ∴ AB=CD,∠B=∠C. 又  OE=OC, ∴ ∠1=∠C. ∴ ∠1=∠B, ∴ OE∥AB. (2)过点O 作OG⊥AB 于点G. ∵ EH⊥AB, ∴ OG∥EH. 又  OE∥AB, ∴  四边形OGHE 是平行四边形. ∴ EH=OG. 又  EH= 1 2 CD, ∴ OG= 1 2 CD,CD 为直径. ∴ OG 是 ☉O 为半径,又  OG⊥AB, ∴ AB 是 ☉O 的切线. (3)连接 DE,∵ DC 为直径, ∴ ∠DEC=90°. 设BH=x, ∵ BE=4BH, ∴ BE=4x. 由勾股定理EH= (4x)2-x2 = 15x, 又  EH= 1 2 DC, ∴ DC=2 15x. ∵ ∠B=∠C, ∴ Rt△BEH∽Rt△CDE. ∴  BH CE = BE DC= 4x 2 15x=2 15 15 . (第 14 题)15.(1)OB=BP. 理由:连接OC,∵ PC 切 ☉O 于点C, (第 15 题) ∴ ∠OCP=90°. ∵ OA=OC,∠OAC=30°, ∴ ∠OAC=∠OCA=30°. ∴ ∠COP=60°. ∴ ∠P=30°. 在 Rt△OCP 中,OC= 1 2 OP=OP=BP. (2)由(1),得OB= 1 2 OP, ∵ ☉O 的半径是 2, ∴ AP=3OB=3×2=6. ∵ BC︵=CD︵, ∴ ∠CAD=∠BAC=30°. ∴ ∠BAD=60°. ∵ ∠P=30°, ∴ ∠E=90°. 在 Rt△AEP 中, AE= 1 2 AP= 1 2 ×6=3. 查看更多

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