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青春是不耐久藏的东西.———莎士比亚 7.弧长及扇形的面积   1.能推导出扇形弧长、面积的公式. 2.能运用公式进行弧长、面积(阴影面积)的计算.    夯实基础,才能有所突破ƺƺ 1.如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等 边扇形”.则半径为 2 的“等边扇形”的面积为(  ). A.π B.1 C.2 D.1 2π 2.半径为 1 的圆的周长等于 60° 的圆心角所对的弧长,则该 弧所在圆的半径是     . 3.弧长为 24πcm,半径为 180cm 的弧所对的圆心角的度数 为     . 4.已知扇形的圆心角为 60°,扇形的面积为 24πcm 2,则这个 扇形的弧长为     . 5.如图,在 4×4 的方格纸中(共有 16 个小方格),每个小方 格都是边长为 1 的正方形.O、A、B 分别是小正方形的顶 点,则扇 形 OAB 的 弧 长 等 于        .(结 果 保 留 根 号 及 π). (第 5 题)    (第 6 题) 6.如图,△ABC 的 3 个顶点都在 5×5 的网格(每个小正方 形的边长均为 1 个单位长度)的格点上,将 △ABC 绕点B 顺时 针 旋 转 到 △A′BC′的 位 置,且 点 A′、C′仍 落 在 格 点 上,则线段 AB 扫过的图形面积是      平方单位.(结 果保留 π) 7.如图,AB 是 ☉O 的 直 径,点 D 在 ☉O 上,∠DAB=45°, BC∥AD,CD∥AB. (1)判断直线CD 与 ☉O 的位置关系,并说明理由; (2)若 ☉O 的半径为 1,求图中阴影部分的面积.(结果保 留 π) (第 7 题)    课内与课外的桥梁是这样架设的. 8.AB⊥BC,AB=BC=2cm,OA︵与OC︵关于点O 中心对称, 则 AB,BC,OC︵,OA︵所围成的图形的面积是     cm 2. (第 8 题)9.已知扇形的弧长为 3πcm,圆心角为 30°,则这个扇形的半 径为     cm. 10.如图,两个等圆 的 圆 心 分 别 为 O1、O2,☉O1 过 点 O2,两 圆相交于 P、Q 两点,已知O1O2=6cm,则图中阴影部分 的周长是     cm. (第 10 题)   (第 11 题) 11.如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠C=60°,菱形 ABCD 在 直线l上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转 60°叫一次操作,则经过 36 次这样的操作菱形 中 心 O 所 经 过的路径总长为     .(结果保留 π) 12.如图,正三角形 ABC 的 中 心 恰 好 为 扇 形ODE 的 圆 心, 且点B 在扇形内,要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动, △ABC 与扇形重叠部分的面积总等于 △ABC 的面积的 1 3 ,扇形的圆心角应为多少度? 说明你的理由. (第 12 题)青春时期的任何事情都是考验.———史蒂文森    对未知的探索,你准行! 13. 如 图,六 边 形 ABCDEF 是 正 六 边 形,曲 线 FK1K2K3K4K5K6K7ƺƺ叫 做 “正 六 边 形 的 渐 开 线”, 其中FK1︵,K1K2ண ஥ઁઁ ,K2K3ண ஥ઁઁ ,K3K4ண ஥ઁઁ ,K4K5ண ஥ઁઁ ,K5K6ண ஥ઁઁ ƺƺ 的 圆 心依次按点 A、B、C、D、E、F 循环,其弧长分别记为l1, l2,l3,l4,l5,l6,ƺƺ.当 AB=1 时,l2013 等于(  ). (第 13 题) A.2013π 2 B.2013π 3 C.2011π 4 D.2013π 6 14.如图,图(1)中圆与正方形各边都相切,设这个圆的周长 为C1;图(2)中的四个圆的半径相等,并依次外切,且与 正方形的边相切,设这四个圆的周长为C2;图(3)中的九 个圆的半径相等,并依次外切,且与正方形的边相切,设 这九个圆的周长为C3;ƺƺ,依次规律,当正方形边长为 2 时,则C1+ C2+ C3+ƺC99+ C100=    . (第 14 题)15.在一次数学探究性学习活动中,某学习小组要制作一个 圆锥体模型,操作规则是:在一块边长为 16cm 的正方形 纸片上剪出一个扇形和一个圆,使得扇形围成圆锥的侧 面时,圆恰好是 该 圆 锥 的 底 面.他 们 首 先 设 计 了 如 图 所 示的方案一,发 现 这 种 方 案 不 可 行,于 是 他 们 调 整 了 扇 形和圆的半径,设计了如图所示的方案二(两个方案中, 圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切,方案一中扇形 的弧与正方形的两边相切). 方案一    方案二 (第 15 题) (1)请说明方案一不可行的理由. (2)判断方案二是否可行,若可行,请确定圆锥的母线长 及其底面圆半径,若不可行,请说明理由.    解剖真题,体验情境. 16.(2012Ű福建莆田)若扇形的圆心角为 60°,弧长为 2π,则扇 形的半径为     . 17.(2012Ű四川自贡)如图,△ABC 是正三角形,曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线,其中弧CD、弧 DE、弧 EF 的圆 心依次是A、B、C,如果 AB=1,那么曲线 CDEF 的长是     . (第 17 题)18.(2012Ű浙江金 华)如 图,已 知 AB 是 ☉O 的 直 径,点 C、D 在 ☉O 上,点E 在 ☉O 外,∠EAC=∠D=60°. (1)求 ∠ABC 的度数; (2)求证:AE 是 ☉O 的切线; (3)当BC=4 时,求劣弧 AC 的长. (第 18 题)7.弧长及扇形的面积 1.C 2.6 3.24° 4.4πcm 5. 2 2π 6.13π 4 7.(1)直线CD 与 ☉O 相切.理由如下:连接OD. ∵ OA=OD,∠DAB=45°, ∴ ∠ODA=45°. ∴ ∠AOD=90°. ∵ CD∥AB, ∴ ∠ODC=∠AOD=90°,即OD⊥CD. 又   点 D 在 ☉O 上, ∴  直线CD 与 ☉O 相切. (2)∵ BC∥AD,CD∥AB, ∴  四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ CD=AB=2. ∴ S梯形OBCD =(OB+CD)ŰOD 2 =(1+2)×1 2 = 3 2 . ∴  图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 S梯形OBCD - S扇形OBD = 3 2 - 1 4π×12= 3 2 - π 4 . 8.2 9.18 10.12π 11.(8 3+4)π 12.当扇形的圆心角为 120° 时,△ABC 与扇形 重叠部分的面积为 △ABC 面积的 1 3 ,无论 绕点O 怎样旋转,重叠部分都等于 △OAB 的面积.理由如下:连接OB、OC. ∴ S△OBC = 1 3 S△ABC . ∵ ∠BOC=120°,∠OBC=∠OCB=30°. 当 ∠DOE=120° 时,若扇 形 ODE 的 两 条 半 径OD、OE 分 别 与 OB、OC 重 合,则 重 合 部 分 的 面 积 为 S△OBC ;若OD、OE 不 与 OB、OC 重 合,设 OD 交 AB 于点G,OE 交BC 于点 H ,则 ∠BOG= ∠COH,OB=OC,∠OBG= ∠OCH=30°. ∴ △OBG≌△OCH. ∴ S△OBG +S△OBH =S△OCH +S△OBH , 即S四边形OGBH =S△OBC = 1 3 S△ABC . 13.B 14.10100π  提示:解决此题关键求圆的半径,图 1 中圆的半径为 1,这 个 圆 的 周 长 C1= 2π,图 2 中圆的半径为 2 4 = 1 2 ,这四个圆 的周长C2=4×2π× 1 2 =4π,图 3 中圆的 半径为 2 6 = 1 3 ,这九个圆的周长 C3=9× 2π× 1 3 =6π,ƺƺ,第 100 个 图 中 圆 的 半 径为 2 200= 1 100,C100 =1002 ×2π× 1 100= 200π,所以C1+C2+C3+ƺC99+C100=2π +4π+6π+ƺ+200π=10100π. 15.(1)理由如下:假设方案一可行, 扇形的弧长 =16× π 2 =8π,圆锥底面周长 =2πr,则圆的半径为 4cm.由于所给正方 形纸片的对角线长为 =16 2cm,而制作这 样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长 为 16+4+4 2=20+4 2(cm)>16 2cm假设不成立,故方案一不可行. (2)方案二可行,求解过程如下:设圆锥底面圆的半径为rcm,圆锥的母线 长为Rcm,则(1+ 2)r+R=16 2, ① 2πr=2πR 4 . ②由 ①②,可得R=64 2 5+ 2 =320 2-128 23 , r=16 2 5+ 2 =80 2-32 23 . 故所求圆锥的母线长为320 2-128 23 ,底面 圆的半径为80 2-32 23 . 16.6 17.4π 18.(1)∵ ∠ABC 与 ∠D 都是弧AC 所对的 圆周角, ∴ ∠ABC=∠D=60°. (2)∵ AB 是 ☉O 的直径, ∴ ∠ACB=90°. ∴ ∠BAC=30°. ∴ ∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60° =90°. 即BA⊥AE. ∴ AE 是 ☉O 的切线. (3)如图,连接OC, ∵ OB=OC,∠ABC=60°, ∴ △OBC 是等边三角形. ∴ OB=BC=4,∠BOC=60°. ∴ ∠AOC=120°. ∴  劣弧 AC 的长为120ŰπŰ4 180 = 8 3π. (第 18 题) 查看更多

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