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健康是人生的第一财富.———[美]爱默生 【例 1】(2012Ű 全 国 初 中 数 学 联 赛)如 图,PA 为 ☉O 的 切 线,PBC 为 ☉O 的割线,AD⊥OP 于点D,△ADC 的外接圆 与BC 的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB. 【分析】首先里射影定理得出PA2 =PDŰPO,AD2 =PD ŰOD,进而得出 PBŰPC=PDŰPO,即 D、B、C、O 四 点 共 圆,再 利 用 △PBD∽ △COD 得 出 BD ŰCD=PDŰOD= AD2,由 △BDA∽△ADC 得出AB 是 △ADC 的 外 接 圆 的 切 线,即可得出 ∠BAE=∠ACB. 【解答】  证明:连接OA、OB、OC、BD. ∵ OA⊥AP,AD⊥OP, ∴  由 射 影 定 理 可 得:PA2 =PDŰPO,AD2 =PDŰ OD. 又由切割线定理可得 PA2 =PBŰPC, ∴ PBŰPC=PDŰPO. ∴ D、B、C、O 四点共圆. ∴ ∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC, ∠PBD=∠COD. ∴ △PBD∽△COD. ∴  PD CD = BD OD. ∴ BDŰCD=PDŰOD=AD2, ∴  BD AD= AD CD . 又  ∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC, ∴ △BDA∽△ADC, ∴ ∠BAD=∠ACD, ∴ AB 是 △ADC 的外接圆的切线, ∴ ∠BAE=∠ACB. 【例 2】(2012Ű全国初中数学竞赛株洲卷)如图,☉O 的直径 为AB,☉O1 过点O,且与 ☉O 内切于点B.C 为 ☉O 上的点, OC 与 ☉O1 交于点 D,且 OD>CD.点 E 在OD 上,且 DC= DE,BE 的 延 长 线 与 ☉O1 交 于 点 F,求 证:△BOC ∽ △DO1F. 【分 析】首 先 连 接 DB,利 用 圆 周 角 定 理 得 出 ∠ODB= 90°,进而得出BC=EB,∠FBD=∠CBD,进而得出 ∠FO1D =∠FBC,再利用相似三角形的判定得出 △BOC∽△DO1F. 【解答】  连接 DB. ∵ ☉O1 过点O,且与 ☉O 内切于点B、C, ∴ BO 为 ☉O1 直径. ∴ ∠ODB=90°. ∵ DC=DE, ∴ BD 垂直平分CE. ∴ BC=EB,∠FBD=∠CBD. ∴ ∠BCE=∠BEC. ∵ BO=CO, ∴ ∠OBC=∠OCB. ∴ ∠OBC=∠BCE=∠BEC. ∴ ∠CBE=∠COB(三角形内角和定理). ∵ ∠FO1D=2∠FBD, ∴ ∠FO1D=∠FBC. ∵ CO=BO,FO1=DO1, ∴  CO FO1 = BO DO1 . ∴ △BOC∽△DO1F. 初赛题 1.(2012Ű全国初中数学竞赛河南赛区)如图,在 ☉O 中,已知CD︵ =DA︵=AB︵,给出下列 三 个 结 论:(1)DC=AB;(2)AO⊥ BD;(3)当 ∠BDC=30° 时,∠DAB=80°.其中正确的个数 是(  ). (第 1 题) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2012Ű全国初 中 数 学 竞 赛 广 东 赛 区)如 图,AB 是 ☉O 的 直 径,PA 切 ☉O 于点A,OP 交 ☉O 于点C,连接 BC.若 ∠P =30°,则 ∠B 的度数为(  ). (第 2 题)运动是一切生命的源泉.———[意]达Ű芬奇 A.10° B.20° C.30° D.60° 3.(2012Ű全国初中数学竞赛广东赛区)周长为定值a 的扇形, 这个扇形的半径R 的范围是(  ). A. a 2 ,a( ) B. a 2(1+π), a 2 ( ) C.(a,2a) D.(0,a) 4.(2012Ű 全国初中数学竞赛福建赛区)如 图,矩 形 ABCD 中, AD=2,AB=3,AM=1,弧 DE 是以点A 为圆心 2 为半 径的 1 4 圆弧,弧 NB 是以点 M 为 圆 心 2 为 半 径 的 1 4 圆 弧,则图中两段弧之间的阴影部分的面积为     . (第 4 题)复赛题 5.(2012Ű全国初 中 数 学 竞 赛 福 建 赛 区)如 图.AD、AH 分 别 是 △ABC(其中 AB>AC)的角平分线、高线,M 点是AD 的 中点,△MDH 的 外 接 圆 交 CM 于 点 E,求 证 ∠AEB= 90°. (第 5 题) 6.(2012Ű湖南省益阳市数学竞赛)如图,BD 为 ☉O 的直径,AB =AC,AD 交BC 于点E,AE=2,ED=4. (1)求证:△ABE∽△ADB; (2)求 AB 的长; (3)延长 DB 到F,使 得 BF=BO,连 接 FA,试 判 断 直 线 FA 与 ☉O 的位置关系,并说明理由. (第 6 题) 7.(2012Ű全国初中数学竞赛天津赛区)如 图,分 别 以 边 长 1 为 的等边三角形 ABC 的顶点为圆心,以其边长为半径作三 个等圆,得交点 D、E,连接 C 交 ☉C 于点G,以点 E 为圆 心,EG 长为半径画弧,交边 AB 于点 M ,求 AM 的长. (第 7 题)∴ ∠MHD=∠MDH. ∵ M、D、H、E 四点共圆, ∴ ∠HEC=∠MDH. ∴ ∠MHD=∠MDH=∠HEC. ∴   ∠MHC =180°- ∠MHD =180°- ∠HEC=∠MEH. ∵ ∠CMH=∠HME, ∴ △CMH∽△HME. ∴  MH MC = ME MH ,即 MH2=MEŰMC. ∴ MA2=MEŰMC. 又  ∠CMA=∠AME, ∴ △CMA∽△AME. ∴ ∠MCA=∠MAE. ∴  ∠BHE+ ∠BAE= ∠DHE+ ∠BAD +∠MAE= ∠DHE+ ∠MAC+ ∠MCA= ∠DHE+∠DME=180°. ∴ A、B、H、E 四点共圆. ∴ ∠AEB=∠AHB. 又  AH⊥BH, ∴ ∠AHB=90°. ∴ ∠AEB=∠AHB=90°. 6.(1)∵ AB=AC, ∴ ∠ABC=∠C(等边对等角). ∵ ∠C=∠D(同弧所对的圆周角相等), ∴ ∠ABC=∠D(等量代换). 又  ∠BAE=∠DAB, ∴ △ABE∽△ADB. (2)∵ △ABE∽△ADB, ∴  AB AD= AE AB. ∴ AB2=ADŰAE=(AE+ED)ŰAE= (2+4)×2=12, AB=2 3. (3)直线FA 与 ☉O 相切,理由如下:连接OA, (第 6 题) ∵ BD 为 ☉O 的直径, ∴ ∠BAD=90°. ∴   BD = AB2+AD2 = (2 3)2+(2+4)2 =4 3, ∴ BF=BO= 1 2 BD=2 3. ∵ AB=2 3, ∴ BF=BO=AB. ∴ ∠OAF=90°. ∴  直线FA 与 ☉O 相切. 7.如图,过点 E 作EP⊥AB,连接 EA、EC,易 得 △EAC 为正三角形,故EC∥AB, (第 7 题) ∵ CG⊥AB, ∴ EC⊥CG. ∴ EM=EG= 2. ∵ ∠EAP=60°, ∴   EP = 3 2 ,AP = 1 2 ,PM = EM2-EP2 = 5 2 . ∴ AM=PM-AP= 5-1 2 . 奥 赛 园 地 1.D 2.C 3.B 4.2 5.如图,连接 MH、EH, (第 5 题) ∵ M 是 Rt△AHD 斜边AD 的中点, ∴ MA=MH=MD. 查看更多

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