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天天资源网 / 中小学试题 / 中学数学试题 / 初三下册数学试题 / 同步练习 / 九年级数学下册第二章二次函数课时训练及综合测试题（附答案） 北师大

第二章奥赛园地·数学北师大版九下-特训班.pdf

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资料简介

好脾气是一个人在社交中所能穿着的最佳服饰.———都德 【例 １】(２０１２Ű全国初中数学联赛海南赛区)如图,直线x＝１是二次函数y＝ax２ ＋bx＋c的图象的对称轴,则有(　　)． A．a＋b＋c＝０ B．b＞a＋c C．b＝２a D．abc＞０ 【分析】∵　 对称轴x＝１, ∴　 顶点的横坐标为 １, 当x＝１ 时,由图象可知,顶点的纵坐标为负数,即a＋b ＋c＜０,故答案 A 错误; ∵　x＝１,即 － b ２a＝１, ∴　b＝－２a, 故答案 C 错误; 由二次函数的图象可得a＞０,b＜０,c＜０, ∴　abc＞０．故答案 D 正确; 由图象可知当x＝－１ 时,a－b＋c＞０,故b＜a＋c;因此 答案 B 错误． 【解答】　D． 【例 ２】(２０１２Ű全国初中数学联赛)已知抛物线y＝－ １ ６ x２ ＋bx＋c的顶点为P,与x 轴的正半轴交于A(x１,０),B(x２, ０)(x１＜x２)两点,与y 轴 交 于 点C,PA 是 △ABC 的 外 接 圆 的切线．设点 M ０,－ ３ ２ ( ) ,若AM∥BC,求抛物线的解析式． 【分析】利用公式法求出抛物线的顶点坐标,再令x＝０, 求出此时对应的y 值,即点C 的纵坐标,设 △ABC 的外接圆 的圆心为D,则点 P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上, 设点D 的坐标为(３b,m)．再利用根与系数的关系求出AE 的 值,利用射影定理和切线的性质即可求出 m 的值,进而求出 c的值,最后利用相似三角形的性质求出b的值,从而求出抛 物线的解析式． 【解答】　 ∵ 　 在 抛 物 线 y＝ － １ ６ x２ ＋bx＋c 中,a′＝ － １ ６ ,b′＝b,c′＝c, ∴　 点 P 的横坐标为 － b′ ２a′＝３b, 纵坐标为４a′c′－b′２ ４a′ ＝ ３ ２ b２ ＋c． ∴　 点 P 的坐标为(３b,３ ２ b２ ＋c)． 令x＝０,则y＝c, ∴　 点C(０,c), 设 △ABC 的外接圆的圆心为D,则点 P 和点D 都在线 段AB 的垂直平分线上,设点 D 的坐标为(３b,m)． 显然,x１,x２ 是 一 元 二 次 方 程 － １ ６ x２ ＋bx＋c＝０ 的 两根, ∴　x１＝３b－ ９b２ ＋６c　,x２＝３b＋ ９b２ ＋６c, 又 　AB 的中点E 的坐标为(３b,０), ∴　AE＝ ９b２ ＋６c． ∵　PA 为 ☉D 的切线, ∴　PA⊥AD, 又 　AE⊥PD, ∴　 由射影定理可得 AE２ ＝PEŰDE,即( ９b２ ＋６c)２ ＝ ３ ２ b２ ＋c( ) Ű|m|,m＜０． ∴　m＝－６． 又 　DA＝DC,得 DA２ ＝DC２, 即( ９b２ ＋６c)２ ＋m２ ＝(３b－０)２ ＋(m－c)２, 把 m＝－６ 代入后可解得c＝－６(另一解c＝０ 舍去)． 又 　AM∥BC, ∴　 OA OB＝ OM OC ． 即３b－ ９b２ ＋６c ３b＋ ９b２ ＋６c＝ － ３ ２ －６ ． 把c＝－６ 代入,解得b＝ ５ ２ (另一解b＝－ ５ ２ 舍去)． ∴　 抛物线的解析式为y＝－ １ ６ x２ ＋ ５ ２ x－６． 初赛题 １．(２０１２Ű全国初中数学竞赛河南赛区)已知二次函数y＝２x２ ＋ bx＋１(b 为 常 数),当b 取 不 同 的 值 时,其 图 象 构 成 一 个 “抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的 值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上(图中 虚线型抛物线),这条抛物线的解析式是(　　)． (第 １ 题) A．y＝－２x２ ＋１ B．y＝－ １ ２ x２ ＋１ C．y＝－４x２ ＋１ D．y＝－ １ ４ x２ ＋１ ２．(２０１２Ű全国初中数学竞赛广东赛区)如图所示,二次函数y＝ ax２ ＋bx＋c(a≠０)的图象经过点(－１,２),且与x 轴交点 的横坐标分别为x１,x２,其中 －２＜x１＜－１,０＜x２＜１,下 列结论: ①abc＞０;②４a－２b＋c＜０; ③２a－b＜０;④b２ ＋８a＞４ac．无论你怎样地表示愤怒,都不要做出任何无法挽回的事来.———培根 其中正确的有(　　)． (第 ２ 题) A．１ 个 B．２ 个 C．３ 个 D．４ 个 ３．(２０１２Ű全国初中数学竞赛福建赛区)二次函数y＝x２ －ax＋２的图象关于x＝１ 对称,则y 的最小值是 　　　　． 复赛题 ４．(２０１２Ű全国初中数学竞赛湖南赛区)已知二次函数y＝x２ ＋ (m＋３)x＋m＋２,当 －１＜x＜３ 时,恒有y＜０;关于x 的 方程x２ ＋(m＋３)x＋m＋２＝０ 的两个实数根的倒数和大 于 － ９ １０ ．求 m 的取值范围． ５．(２０１２Ű全国初中数学竞赛福建赛区)抛物线y＝ax２ ＋bx＋c 的图象于x 轴交于点M(x１,０),N(x２,０),且经过点A(０, １),其中 ０＜x１＜x２,过点 A 的直线l交x 轴于点C,与抛 物线交于点B(异于点 A),满足 △CAN 是等腰直角三角 形,且S△BMN ＝ ５ ２ S△AMN ,求解析式． ６．(２０１２Ű全国初中数学竞赛河南赛区)如 图,在 平 面 直 角 坐 标 系中,直角梯形OABC 的顶点A、B 的坐标分别是(５,０)、 (３,２),点 D 在线段OA 上,BD＝BA,点 Q 是线段BD 上 一个动点,点 P 的坐标是(０,３),设直线 PQ 的解析式为y ＝kx＋b． (１)求k的取值范围; (２)当k为取值范围内的最大整数时,若抛物线y＝ax２ － ５ax 的顶点在直线PQ、OA、AB、BC 围成 的 四 边 形 内 部,求a的取值范围． (第 ６ 题)奥 赛 园 地 １．A　２．D　３．１ ４．① 由题意可得,方程x２＋(m＋３)x＋m＋２ ＝０ 与x 轴有两个交点,故有Δ＞０,即(m＋３)２－４(m＋２)＞０,解得 m≠１,又y＝x２＋(m＋３)x＋m＋２＝(x＋１)(x＋m＋２),当y＜０ 时,x 可取两个范围为 －１＜x＜－m －２ 或 －m－２＜x＜－１,而由题意,得当 －１＜x＜３ 时,恒有y＜０,故可得,当y＜０ 时,x 的取值范围为 －１＜x ＜－m－２,得出 －m－２＞３,解得 m＜－５; ② 由题意,得方程x２＋(m＋３)x＋m＋２＝０有实数根,故有Δ≥０,即(m＋３)２－４(m＋２)≥０,解得 m 可取任意实数, 又 １x１ ＋ １x２ ＝ x１＋x２ x１x２ ＝－(m＋３)m＋２ ＞－ ９ １０, 解得 －１２＜m＜－２,综合 ①② 可得 －１２＜m＜－５． ５．由条件知该抛物线开口向上,与x 轴的两个 交点在y 轴 的 右 侧,由 于 △CAN 是 等 腰 直 角三角形,故点C 在x 轴的左侧,且 ∠CAN ＝９０°,故 ∠ACN＝４５°,从而C(－１,０),N(１,０)． 于是直线l的方程为y＝x＋１． 设B(x３,y３),由 S△BMN ＝ ５ ２ S△AMN ,知y３ ＝ ５ ２ , 从而x３＝ ３ ２ ,即B ３ ２ ,５ ２ ( ) ． 综上可知,该抛物线通过点 A(０,１), B ３ ２ ,５ ２ ( ) ,N(１,０)． 于是 １＝c, ５ ２ ＝ ９ ４ a＋ ３ ２ b＋c, ０＝a＋b＋c, { 解得a＝４,b＝－５,c＝１． 故所求抛物线的解析式为y＝４x２－５x＋１． ６．(１)直线y＝kx＋b经过点P(０,３), ∴　b＝３． ∵　B(３,２),A(５,０),BD＝BA, ∴　 点 D 的坐标是(１,０), ∴　BD 的解析式是y＝x－１(１≤x≤３)． 联立方程组,得 y＝x－１, y＝kx＋３, { ∴　x＝ ４ １－k, ∴　１≤ ４ １－k≤３, 解得 －３≤k≤－ １ ３ ． (２)∵　－３≤k≤－ １ ３ 且k为最大整数, ∴　k＝－１． 则直线 PQ 的解析式为y＝－x＋３,又 　 抛 物 线 y＝ax２ －５ax 的 顶 点 坐 标 是 ５ ２ ,－２５a ４ ( ) ． 解方程组 x＝ ５ ２ , y＝x＋３, { 得x＝ ５ ２ ,y＝ １ ２ , 即直线 PQ 与对称轴为x＝ ５ ２ 的交点坐标 为 ５ ２ ,１ ２ ( ) , ∴　 １ ２ ＜－２５a ４ ＜２． 解得 － ８ ２５＜a＜－ ２ ２５ ． 查看更多

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