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资料简介

在生活中迈步犹如在泥泞中行走.———雨果 【例】 (2012Ű山西省太原市初中数学竞赛)已知 tan∠POQ =1,A 为 ∠POQ 内一点,OA=2 2,点 B 在OP 上,点 C 在 OQ 上,则 △ABC 的周长的最小值是(  ). A.4 B.5 C.3 2 D.4 2 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值以及二点 之间线段最短问题,同时也考查了轴对称问题.可作点 A 关 于OP,OQ 的对称点A′,A″,连接A′A″,交 OP 于点B,交 OQ 于点C.则 △ABC 的周长等于A′A″为所求的最小值.则根据 三角函数即可求解. 【解答】  作点 A 关于OP,OQ 的对称点A′,A″,连接 A′ A″,交OP 于点B,交 OQ 于点C,则 △AB′C′的周长等于A′ A″为所求的 最 小 值,连 接 OA′,OA″,则 OA′=OA″=OA= 2 2,且 ∠A′OA″=2∠POQ.已知 tan∠POQ=1, ∴ ∠POQ=45°. 又  ∠A′OA″=90°, ∴ A′A″= 2OA′=4. 故选 A. 初赛题 1.(2012Ű福 建 赛 区)如 图,一 个 长 为 10m 的 梯 子 斜 靠 在 墙 上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m,如果梯子的顶 端下滑 1m,那么梯子的底端的滑动距离(  ). A. 等于 1m B. 大于 1m C. 小于 1m D. 不能确定 (第 1 题)    (第 2 题) 2.(2012Ű贵州赛区)如图,在四边形 ABCD 中,∠A= ∠C= 90°,∠ABC=60°,AD =4,CD =10,则 BD 的 长 等 于 (  ). A.4 13 B.8 3 C.12 D.10 3 3.(2012Ű 广 东 赛 区 )在 Rt△ABC 中,∠A =90°,tanB = 3tanC,则 sinB=    . 复赛题 4.(2012Ű全国初中数学竞赛)已知角 A、B 是两个锐角,且满 足 sin 2A+cos 2B=5t 4 ,cos 2A+sin 2B=3t2 4 ,则实数t的所 有可能值的和为(  ). A.- 8 3 B.- 5 3 C.1 D.11 3 5.(2012Ű全 国 初 中 数 学 竞 赛 广 东 赛 区)如 图,客 轮 在 海 上 以 30km/h 的速度由 B 向C 航行,在 B 处测得灯塔A 的方 位角为北偏东 80°,测得C 处的方位角为南偏东 25°,航行 1 小时后到 达 C 处,在 C 处 测 得 A 的 方 位 角 为 北 偏 东 20°,则C 到A 的距离是(  ). (第 5 题) A.15 6km B.15 2km C.15(6+ 2)km D.5(6+3 2)km 6.(2012Ű湖南赛区)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 sinA,sinB 是方程x2 - 2x-k=0 的两根.求 ∠A 和 ∠B 的度数及 k 的值. 7.(2012Ű“数学周报杯”全国初中数学竞赛)如图,正方形 ABCD 的边长 为 2 15,E、F 分 别 是 AB,BC 的 中 点,AF 与 DE、DB 分别交于点 M 、N,求 △DMN 的面积. (第 7 题)奥 赛 园 地 1.B 2.A 3. 3 2  4.C 5.D 6.∵ sinA 和 sinB 是方程x2- 2x-k=0 的 两个根, ∴ sinA+sinB= 2 ,sinAŰsinB=-k. ∵  在 Rt△ABC 中,∠C=90°, ∴ sin2A+sin2B=1. ∴ 2+2k=1. 解得k=- 1 2 . 故原方程可以变为x2- 2x+ 1 2 =0, 解得 sinA=sinB= 2 2 . 故 ∠A=∠B=45°. .连接 DF,记正方形 ABCD 的边长为 2a.由 题设易知 △BFN∽△DAN, ∴  AD BF = AN NF= DN BN = 2 1 . 由此,得 AN=2NF,即 AN= 2 3 AF. 在 Rt△ABF 中,AB=2a,BF=a, ∴ AF= AB2+BF2 = 5a. ∴ cos∠BAF= AB AF=2 5 5 . 由题设可知 △ADE≌△BAF, ∴ ∠AED=∠AFB. ∴ ∠AME =180°-∠BAF-∠AED =180°-∠BAF-∠AFB =90°. ∴ AM=AE. cos∠BAF=2 5 5 a. MN=AN-AM= 2 3 AF-AM=4 5 15 a, S△MND S△AFD = MN AF = 4 15 . 又  S△AFD = 1 2 Ű(2a)Ű(2a)=2a2, ∴ S△MND = 4 15 S△AFD = 8 15 a2. ∵ a= 15, ∴ S△MND =8. (第 7 题) 查看更多

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