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江苏省南通中学20192020 学年第二学期期中考试高一数学试卷 含答案及解析
资料简介
1
江苏省南通中学 2019~2020 学年第二学期期中考试
高一数学试卷
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1.直线 xy 3 的倾斜角为（ ）
30 .A 60 B. 120 C. 150 D.
【答案】 B
2.在 ABC 中,角 CBA ,, 的对边分别是 cba ,, ,已知 Aba sin22 ,则 Bsin 的值为（ ）
2 A. 2
2 B. 2
1 C. 2
3 D.
【答案】 B
3.若直线过点 3,3 和点 4,0 ，则该直线的方程为（ ）
43
3 A. xy 43
3 B. xy
63 C. xy 43 D. xy
【答案】 A
4.已知角 的始边为 x 轴非负半轴，终边经过点 )2,1(P ，则
cossin
sin
的值为（ ）
3
1 A.
3
1 B. 3
2 C.
3
2 D.
【答案】 D
5.已知圆C ： 486 22 yx ，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ ）
10043 A. 22 yx 100)4(3 .B 22 yx2
2543 C. 22 yx 2543 D. 22 yx
【答案】 C
6.函数 14sin2 2
xy 是（ ）
A. 最小正周期为 的奇函数 .B 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为
2
的奇函数 D. 最小正周期为
2
的偶函数
【答案】 A
7.一艘轮船按照北偏东 40 方向，以 18 海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南
偏东 20 方向上，经过 20 分钟的航行，轮船与灯塔的距离为 36 海里，则灯塔与轮船原来
的距离为（）
6 A. 海里 12 B. 海里 6 C. 海里或12海里 36 D. 海里
【答案】 A
8.已知圆C 与 x 轴的正半轴相切于点 ,A 圆心在直线 xy 2 上，若点 A 在直线 04 yx
的左上方且到该直线的距离等于 2 ，则圆C 的标准方程为（ ）
442 A. 22 yx 16)4(2 .B 22 yx
442 C. 22 yx 1642 D. 22 yx
【答案】 D
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程。
解：由题意可知，圆C 与 x 轴的正半轴相切于点 A ，设 0,aA ，点 A 到直线 04 yx 的
距离为 2 ， 2
2
4 a ，则 2a 或 6a （舍去），点 0,2A
圆心在直线 xy 2 上，则圆心为 4,2 ， 4r ，所以圆的标准方程为 1642 22 yx
所以选 D3
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每道题 5 分）
9.点 P 是直线 03 yx 上的动点，由点 P 向圆 422 yxO： 做切线，则切线长可能
为（ ）
A.
2
2 B.
2
1 C.1 D.
2
3
【答案】ACD
10.在 ABC 中，角 A ， B 的对边分别为 a ，b ，根据下列条件解三角形，其中只有一解的
为（ ）
A. 60,30,50 Aba B. 30,65,30 Aba
C. 30,50,30 Aba D. 30,60,30 Aba
【答案】AD
11.在 ABC 中，若 BbAa coscos ，则 ABC 的形状可能为（ ）
A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【答案】ABCD
【解析】根据正弦定理
B
b
A
a
sinsin
BbAa coscos
BBAA cossincossin
即 BA 2sin2sin
2,02,2 BA
BA 22 或 BA 22
即 BA 或
2
BA
ABC 可能为：直角三角形，等腰三角形，等腰三角形，等边三角形4
12.已知圆 sin2cos1: 2 yxM
项，其中正确的是（ ）
A. 对任意实数 k 与 ，直线l 和圆 M 有公共点
B. 存在实数 k 与 ，直线l 和圆 M 相离
C. 对任意实数 k ，必存在实数 ，使得直线l 与圆 M 相切
D. 对任意实数 ，必存在实数 k ，使得直线l 与圆 M 相切
【答案】AC
【解析】A 选项，由题意知圆 M 的圆心为点 sin2,cos1 M ，半径为 1r ，
直线l 的方程可写作 21 xky ，过定点 2,1A ，因为点 A 在圆上，
所以直线l 与圆 M 相切或相交，任意实数 k 与 ，直线l 和圆 M 有公共点。
B 选项，由以上分析知不存在实数 k 与 ，直线l 和圆 M 相离，B 错误。
C 选项，当直线l 与圆 M 相切时，点 A 恰好为直线l 与圆 M 的切点，故直线 AM 与
直线l 与垂直,
①当 0k 时，直线 AM 与 x 轴垂直，则 1cos1 ，
即 0cos ，解得 Zkk
2
，存在 ，使得直线l 与圆 M 相切；
②当 0k 时，若直线 AM 与直线l 垂直，则 0cos ，
直线 AM 的斜率为
tan
1
cos
sin
1cos1
2sin2
AMk ，
所以 1kkAM ，即
kk AM
1 ，
此时对任意的 0k ，均存在实数 ，使得
k
1
tan
1
，则直线 AM 与
直线l 垂直，综上所述，对任意实数 k ，必存在实数 ，使得直线l 与圆 M 相切。
D 选项，点 sin2,cos1 M 到直线l 的距离为
1
sincos
2
k
kd
，
令 0 ，当 0k 时， 0d ；当 0k 时， 1
1 22
k
k
k
kd ，
即此时 1d 恒成立，直线 l 与圆 M 必相交，
故此时不存在实数 k ，使得直线l 与圆 M 相切。D 错误。
2 1，直线l : kx y k 2 0 ，下列四个选5
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分）
13.化简 cos( )
sin( )2
．
【答案】1
14.已知点 (1， )( 0)a a 到直线 : 2 0l x y 的距离为 1，则 a 的值为 ．
【答案】 12
15.若 tan( 2 ) 2 ， tan 3 ，则 tan + ．
【答案】 1
16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 2 2
1 : 8C x y 与圆 2 2
2 : 2 0C x y x y a 相交于
A 、 B 两点．若圆 1C 上存在点 P ，使得 ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集
合为 ．
【答案】{8 ，8 2 5 ，8 2 5} ．
【解答】已知圆 2 2
1 : 8C x y 与圆 2 2
2 : 2 0C x y x y a 相交于 A 、 B 两点，
则 AB 所在直线的方程为 2 8 0x y a ，
若圆 1C 上存在点 P ，使得 ABP 为等腰直角三角形，分 2 种情况讨论：
① P 为直角顶点，则 AB 为圆 1C 的直径，
即直线 2 8 0x y a 经过圆 1C 的圆心 1C ，必有 8 0a ，解可得 8a ；
② A 或 B 为直角顶点，则点 1C 到直线 AB 的距离 2 2 2 2 22 2d r ，
则有 |8 | 2
4 1
ad
，解可得 8 2 5a 或8 2 5 ，
综合可得： a 的取值的集合为{8 ，8 2 5 ，8 2 5} ；
故答案为：{8 ，8 2 5 ，8 2 5} ．6
四、解答题（本小题共 6 小题，共 70 分）
17.已知函数 2 2( ) cos 2 3sin cos sin .f x x x x x Rx
（1） 求函数 ( )f x 的最小正周期
（2） 求函数 ( )f x 的单调递增区间
【解答】
2 2 2 2( ) cos 2 3sin cos sin =cos sin 2 3sin cos
=cos2x+ 3sin 2 2sin(2 )6
f x x x x x x x x x
x x
（1）函数 ( )f x 的最小正周期为 2
2T
（2）令 2 2 2 .k2 6 2k x k Z
解得 ,3 6k x k k Z
函数 ( )f x 的单调递增区间
3 6k k k Z
， ，
18.已知直线 1l ： 2 1 0x y ， 2l ： 2 8 0.ax y a 1 2/ /l l
（1）求 a 的值
（2）已知圆C 与直线 2l 相切于点 A ，且点 A 的横坐标-2，圆心C 在直线 1l 上，求圆的标
准方程
【解答】（1） 1 2/ /l l 则 2 8
2 1 1
a a 所以 4a
（2） 2l 2 6 0.x y 所以点 A ( 2, 2)
圆C 与直线 2l 相切于点 A ，则
1
1 1
2AC
l
k k
直线 AC 的方程为 12 ( 2)2y x ，联立 1l 2 1 0x y 得 (0, 1)C
(0, 1)C 到 2l 距离为 5r
圆的标准方程 2 2( 1) 5x y 7
19．如图所示，在一条海防警戒线上的点 A 、 B 、 C 处各有一个水声监测点， B 、 C 两点
到点 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米．某时刻，B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号，
8 秒后 A 、 C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米 / 秒．
（1）设 A 到 P 的距离为 x 千米，用 x 表示 B ， C 到 P 的距离，并求 x 的值；
（2）求 P 到海防警戒线 AC 的距离
【解答】（1）依题意，有 PA PC x ， 1.5 8 12PB x x ．
在 PAB 中，
2 2 2 2 2 220 ( 12) 3 3220cos 2 2 20 5
PA AB PB x x xAB PAB PA AB x x
同理，在 PAB 中，
2 2 2 2 2 250 2550cos 2 2 50
PA AC PC x xAC PAC PA AC x x
cos cosPAB PAC ，
3 32 25
5
x
x x
解之，得 31x ．
（2）【求距离引高】作 PD AC 于 D ，在 ADP 中，
由 25cos 31PAD 得 2 4 21sin 1 cos 31PAD PAD
4 21sin 31 4 2131PD PA APD
答：静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 124 千米．8
20．已知圆 E 经过 ( 1,0)M ， (0,1)N ， 1(2P ， 3)2
三点．
（1）求圆 E 的方程；
（2）若过点 (2,2)C 作圆 E 的两条切线，切点分别是 A ， B ，求直线 AB 的方程．
【解答】（1）根据题意，设圆 E 的圆心 E 坐标为 ( , )a b ，半径为 r ，
则有
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( 1)
( 1)
1 3( ) ( )2 2
a b r
a b r
a b r
，解可得
0
0
1
a
b
r
，
则圆 E 的方程为 2 2 1x y ；
【当然也可直接抓住三角形 MNP 为以 MPN 为直角的直角三角形直接求出圆的方程】
（2）根据题意，【即求公共弦】
过点 (2,2)C 作圆 E 的两条切线，切点分别是 A ， B ，
设以 C 为圆心， PA 为半径为圆为圆 C ，其半径为 R ，
则有 2 2| | | | 7R PA CO r ，
则圆 C 的方程为 2 2( 2) ( 2) 7x y ，即 2 2 4 4 1 0x y x y ，
又由直线 AB 为圆 E 与圆 C 的公共弦所在的直线，则有
2 2
2 2
1
4 4 1 0
x y
x y x y
，
解可得 2 2 1 0x y ，
则 AB 的方程为： 2 2 1 0x y ．9
21.已知函数 ( ) sin( )( 0f x x ，| | )2
满足下列 3 个条件中的 2 个条件：
①函数 ( )f x 的周期为 ；
②
6x 是函数 ( )f x 的对称轴；
③ ( ) 04f 且在区间 ( 6
， )2
上单调．
（1）请指出这二个条件，并求出函数 ( )f x 的解析式；
（2）若 [0x ， ]3
，求函数 ( )f x 的值域．
【解答】（1）由题意知选择①②；
由函数 ( )f x 的周期为 ，得 2 2 ；
又
6x 是函数 ( )f x 的对称轴，所以 2 6 2 k ， k Z ；
解得
6 k ， k Z ；
又| | 2
，所以
6
；
所以 ( ) sin(2 )6f x x ．
（2） [0x ， ]3
时， 2 [6 6x ， 5 ]6
，
所以 1sin(2 ) [6 2x ，1]，
所以函数 ( )f x 在 [0x ， ]3
内的值域是 1[2
，1]．10
（1）若 2AMk ， 1
2ANk ，求 AMN 的面积；
（2）过点 (3 3P ， 5) 作圆 O 的两条切线，切点分别记为 E ， F ，求 PE PF
；
（3）若 2AM ANk k ，求证：直线 MN 过定点．
【解答】（1）由题知，得直线 AM 的方程为 2 4y x ，
直线 AN 的方程为 1 12y x ，
所以，圆心到直线 AM 的距离 | 4 |
5
d ，所以 16 4 52 4 5 5AM ，
由中位线定理知， 8 5
5AN ，
由题知 1AM ANk k ，所以 AN AM ， 1 4 5 8 5 16
2 5 5 5S ．
（2） 2 2| | (3 3) ( 5) 4 4 3PE ， 2 2(3 3) ( 5) 2 13PO ，
所以 4 3 2 3cos
2 13 13
OPE ．
所以 2 22 3 11cos 2cos 1 2( ) 1 1313
FPE OPE ，
所以 2 11 528| | | | cos (4 3) 13 13PE PF PE PF EPF
（3）【法一：暴力求解】
证明：由题设直线 AM 的方程 1( 2)y k x ，直线 AN 的方程为
1
2 ( 2)y xk
．
联立方程 1
2 2
( 2)
4
y k x
x y
，得 2 2
1 1( 2)[(1 ) 2 2] 0x k x k ，
得 2x 或
2
1
2
1
2 2
1
kx k
，
2
1 1
2 2
1 1
2 2 4( , )1 1
k kM k k
，同理，
2
1 1
2 2
1 1
2 8 8( , )4 4
k kN k k
，
22.如图，在直角坐标系 xOy 中，圆O: x2 y2 4 与 x 轴负半轴交于点 A ，过点 A 的直线 AM ，
AN 分别与圆 O 交于 M ， N 两点．微信添加小优老师（sq18205016873），获取更多！
11
直线 MN 为
1 1
2 2 2
1 1 1 1
2 22 2
1 11 1
2 2
1 1
4 8
8 1 4 2 8( )2 2 2 84 4
1 4
k k
k k k ky xk kk k
k k
．
即
2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
8 3 2 8( )4 2 4
k k ky xk k k
，得 1 1 1
2 2 2
1 1 1
3 2 3 2( )2 2 2 3
k k ky x xk k k
，
直线 MN 恒过定点 2( ,0)3
．
【法二：利用特殊位置确定定点再证明】
1°当直线 MN 斜率不存在，即 2,.2 ANAM kk 时，此时直线 MN 过定点 2( ,0)3
．
2°当直线 MN 斜率存在，
设直线 AM 的方程 ( 2)y k x ，则直线 AN 的方程为 2 ( 2)y xk
，
所以，联立方程 2 2
( 2)
4
y k x
x y
，得 2 2( 2)[(1 ) 2 2] 0x k x k ，
得 2x 或
2
2
2 2
1
kx k
，
所以
2
2 2
2 2 4( , )1 1
k kM k k
，同理
2
2 2
2 8 8( , )4 4
k kN k k
，设 2( ,0)3
为点 D 【即证斜率相等】
所以 2
2 2 2
2
4
41
2 2 4 8 261
DM
k
k kkk k k k
k
，同理 2 2DN
kk k
，
所以 DN DMk k ，所以直线 MN 过定点 2( 3
， 0)
【法三：设而不求】
1°当直线 MN 斜率不存在，即 2,.2 ANAM kk 时，此时直线 MN 过定点 2( ,0)3
．
2°当直线 MN 斜率存在，直接设直线 MN 的方程为 mkxy
要证明直线过定点，即求 k 和 m 的关系
设 2211 ,,, yxNyxM ， 2AM ANk k
则 022222
0
2
0
2
2
1
1
2
2
1
1
x
mkx
x
mkx
x
y
x
y ①
联立
422 yx
mkxy ，求出 2121 xxxx 和 代入①，即可求出 km 3
2
直线 MN 的方程为 kxkkxymkxy
3
2
3
2 ，直线 MN 过定点 2( ,0)3
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