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阶段通关训练(一)
(60 分钟 100 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 30 分)
1.已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 ( )
A.长方体 B.圆柱
C.四棱锥 D.四棱台
【解析】选 A.该几何体是长方体，如图所示.
2.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的
几何体是 ( )A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】选 D.如图以 AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底
的小圆锥.
3.已知△ABC 是边长为 2a 的正三角形，那么△ABC 的平面直观图△A′B
′C′的面积为 ( )
A. a2 B. a2 C. a2 D.
a2
【解析】选 C.直观图面积 S′与原图面积 S 具有关系：S′= S.因为
S△ABC= (2a)2= a2，所以 S△A′B′C′= × a2= a2.
【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为 2 的等腰直角三角形，如图
所示，则原三角形的面积是________.【解析】根据直观图和原图形的关系可知原图形的面积为×2 ×2=2
.
答案：2
4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( )
A. B. C. D.1
【解析】选 B.由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三棱锥
的高为 2，则 V=××1×1×2=..Com]
【补偿训练】已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示，
则该正三棱锥侧视图的面积是 ( )
A. B.6 C.8 D.6【解析】选 D.如图，根据三视图间的关系可得 BC=2 ，所以侧视图中
VA′= =2 ，所以三棱锥侧视图面积 S△VBC=×2
×2 =6，故选 D.
5.(2016·蚌埠高二检测)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π的半圆
面，则该圆锥的体积为 ( )
A. π B. π C. π D.
【解析】选 A.设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，由题意
解得 所以圆锥的高为 h= = ，V=πr2h=π×12× =
π.
6.(2016·雅安高二检测)设正方体的全面积为 24，那么其内切球的体积
是
( )
A. π B.π C.π D. π
【解析】选 B.正方体的全面积为 24，所以，设正方体的棱长为 a，6a2=24，
a=2，正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为 1，内
切球的体积：V=π.二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)
7.棱锥的高为 16，底面积为 512，平行于底面的截面面积为 50，则截得
的棱台的高为________.
【解题指南】根据面积比等于相似比的平方建立关于高的等式求解.
【解析】设棱台的高为 x，则有 = ，解之，得 x=11.
答案：11
8.(2016·绍兴高二检测)已知几何体的三视图(如图)，则该几何体的体
积为________，表面积为________.
【解析】根据三视图分析可知，该几何体为一底面边长为 2 的正四棱锥，
其高 h= = ，所以体积 V=×22× = ，表面积 S=4×
×2× +22=4 +4.
答案： 4 +4
9.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球
的表面积是________.
【解析】如图所示，由 V=Sh 得，S=4，即正四棱柱底面边长为 2.所以 A1O1= ，A1O=R= .
所以 S 球=4πR2=24π.
答案：24π
10.圆台的底面半径分别为 1 和 2，母线长为 3，则此圆台的体积为
________.
【 解 析 】 圆 台 的 高 h= =2 ， 所 以 体 积 V=
(R2+Rr+r2)h= π.
答案： π
三、解答题(共 4 小题，共 50 分)
11.(12 分)如图几何体上半部分是母线长为 5，底面圆半径为 3 的圆锥，
下半部分是下底面圆半径为 2，母线长为 2 的圆台，计算该几何体的表
面积和体积.【解析】圆锥侧面积为 S1= πrl=15 π，圆台的侧面积为 S2= π(r+r
′)l=10 π，圆台的底面面积为 S 底= πr ′ 2=4 π，所以表面积为：
S=S1+S2+S 底=15π+10π+4π=29π；圆锥的体积 V1=πr2h1=12π，圆台的
体积 V2=πh2(r2+rr′+r′2)= π，所以体积为：V=V1+V2=12π+
π.
12.(12 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图.
(1)试判断该几何体是什么几何体？
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积.
(3)求出该几何体的体积.
【解析】 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱
锥.
(2)该几何体的侧视图如图.其中 AB=AC，AD⊥BC，且 BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即 BC=
a，AD 是正六棱锥的高，即 AD= a，所以该平面图形的面积为·
a· a=a2.
(3)设这个正六棱锥的底面积是 S，体积为 V，
则 S=6× a2= a2，
所以 V=× a2× a=a3.
13.(13 分)如图所示，在四边形 ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，
CD=2 ，AD=2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及
体积.
【解析】S 表面=S 圆台底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2
×2
=(4 +60)π.
V=V 圆台-V 圆锥=π( +r1r2+ )h-π h′=π(25+10+4)×4-π×4×2= π.
14.(13 分)(2016·湖北实验中学高一检测)如图，△ABC 中，∠ACB=90
°，∠ABC=
30°，BC= ，在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上，半圆与
AC，AB 分别相切于点 C，M，与 BC 交于点 N)，将△ABC 绕直线 BC 旋转
一周得到一个旋转体.
(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小.
(2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积.
【解析】(1)连接 OM，则 OM⊥AB，
设 OM=r，则 OB= -r，
在△BMO 中，sin∠ABC= = =，
所以 r= ，所以 S=4πr2=π.
(2)因为△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC= ，
所以 AC=1，所以 V=V 圆锥-V 球=π×AC2×BC-πr3=π×12× -π = .
【能力挑战题】
(2016·葫芦岛高一检测)如图，一个圆锥的底面半径为 2cm，高为 6cm，
其中有一个高为 xcm 的内接圆柱.
(1)试用 x 表示圆柱的侧面积.
(2)当 x 为何值时，圆柱的侧面积最大.
【解题指南】(1)由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系
列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积.
(2)由(1)求出的圆柱侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出圆柱
侧面面积的最大值.
【解析】(1)设所求的圆柱的底面半径为 r，它的轴截面如图：
由图得，= ，即 r=2-，所以 S 圆柱侧=2πrx=2π x=4πx- x2.
(2)由(1)知当 x=- =3 时，这个二次函数有最大值为 6π，
所以当圆柱的高为 3cm 时，它的侧面积最大为 6πcm2.
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