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章末综合测评(四) 圆与方程 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是(  ) A.2 43 B.2 21 C.9 D. 86 【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得: |AB|= (-3-2)2+(4+1)2+(0-6)2= 86. 【答案】 D 2.当圆 x2+y2+2x+ky+k2=0 的面积最大时,圆心坐标是(  ) A.(0,-1) B.(-1,0) C.(1,-1) D.(-1,1) 【解析】 圆的标准方程得:(x+1)2+(y+k 2)2=1-3k2 4 ,当半径的平方 1-3k2 4 取最大值为 1 时,圆的面积最大.∴k=0,即圆心为(-1,0). 【答案】 B 3.圆 O1:x2+y2-4x-6y+12=0 与圆 O2:x2+y2-8x-6y+16=0 的位置关 系是(  ) A.相交 B.相离 C.内含 D.内切 【解析】 把圆 O1:x2+y2-4x-6y+12=0 与圆 O2:x2+y2-8x-6y+16= 0 分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1 和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离 d = (4-2)2+(3-3)2=2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选 D. 【答案】 D 4.(2016·葫芦岛高一检测)过点(2,1)的直线中,被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的 最长弦所在的直线方程为(  ) A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0 C.x+3y-5=0 D.x-3y+1=0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程,得y+2 1+2 =x-1 2-1 ,即 3x-y-5=0,故选 A. 【答案】 A 5.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关 系是(  ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 【解析】 由题意知点在圆外,则 a2+b2>1,圆心到直线的距离 d= 1 a2+b2 <1,故直线与圆相交. 【答案】 B 6.若 P(2,-1)为圆 C:(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程 是(  ) A.2x-y-5=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.x-y-3=0 【解析】 圆心 C(1,0),kPC=0-(-1) 1-2 =-1, 则 kAB=1,AB 的方程为 y+1=x-2, 即 x-y-3=0,故选 D. 【答案】 D 7.圆心在 x 轴上,半径为 1,且过点(2,1)的圆的方程是(  ) A.(x-2)2+y2=1 B.(x+2)2+y2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-2)2=1 【解析】 设圆心坐标为(a,0),则由题意可知(a-2)2+(1-0)2=1,解得 a= 2.故所求圆的方程是(x-2)2+y2=1. 【答案】 A 8.(2016·泰安高一检测)圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是(  ) 【导学号:09960151】 A.36 B.18 C.6 2 D.5 2 【解析】 圆 x2+y2-4x-4y-10=0 的圆心为(2,2),半径为 3 2,圆心到直 线 x+y-14=0 的距离为|2+2-14| 2 =5 2>3 2,圆上的点到直线的最大距离与 最小距离的差是 2R=6 2. 【答案】 C 9.过点 P(-2,4)作圆 O:(x-2)2+(y-1)2=25 的切线 l,直线 m:ax-3y=0 与直线 l 平行,则直线 l 与 m 的距离为(  ) A.4 B.2 C.8 5 D.12 5 【解析】 P 为圆上一点,则有 kOP·kl=-1,而 kOP= 4-1 -2-2 =-3 4 , ∴kl=4 3.∴a=4,∴m:4x-3y=0,l:4x-3y+20=0.∴l 与 m 的距离为 |20| 42+(-3)2 =4. 【答案】 A 10.一个几何体的三视图如图 1 所示,正视图和侧视图都是等边三角形,该 几何体的四个顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0), (0,2,0),则第五个顶点的坐标可能是(  ) 图 1 A.(1,1,1) B.(1,1, 2)C.(1,1, 3) D.(2,2, 3) 【解析】 由三视图知,该几何体为正四棱锥,正四棱锥的顶点在底面的射 影是底面正方形的中心,高为 3,则第五个顶点的坐标为(1,1, 3).故选 C. 【答案】 C 11.已知圆 C1:(x+2)2+(y-2)2=2,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称, 则圆 C2 的方程为(  ) A.(x+3)2+(y-3)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-2)2+(y+2)2=2 D.(x-3)2+(y+3)2=2 【解析】 设点(-2,2)关于直线 x-y-1=0 的对称点为 Q(m,n),则Error!解 得 m=3,n=-3,所以圆 C2 的圆心坐标为(3,-3),所以圆 C2 的方程为(x-3)2+ (y+3)2=2,故选 D. 【答案】 D 12.(2016·台州高二检测)已知圆 O:x 2+y2-4=0,圆 C:x2+y2+2x-15= 0,若圆 O 的切线 l 交圆 C 于 A,B 两点,则△OAB 面积的取值范围是(  ) 图 2 A.[2 7,2 15] B.[2 7,8] C.[2 3,2 15] D.[2 3,8] 【解析】 S△OAB=1 2|AB|·2=|AB|, 设 C 到 AB 的距离为 d, 则|AB|=2 42-d2,又 d∈[1,3], 7≤42-d2≤15,所以 S△OAB=|AB|∈[2 7,2 15]. 【答案】 A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线 上) 13.已知 A(1,2,3),B(5,6,-7),则线段 AB 中点 D 的坐标为________. 【解析】 设 D(x,y,z),由中点坐标公式可得 x=1+5 2 =3,y=2+6 2 =4,z =3-7 2 =-2,所以 D(3,4,-2). 【答案】 (3,4,-2) 14.以原点 O 为圆心且截直线 3x+4y+15=0 所得弦长为 8 的圆的方程是 ________. 【解析】 原点 O 到直线的距离 d= 15 32+42 =3,设圆的半径为 r,∴r2=32+ 42=25,∴圆的方程是 x2+y2=25. 【答案】 x2+y2=25 15.(2015·重庆高考)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点 P 处 的切线方程为________. 【解析】 ∵以原点 O 为圆心的圆过点 P(1,2), ∴圆的方程为 x2+y2=5. ∵kOP=2,∴切线的斜率 k=-1 2. 由点斜式可得切线方程为 y-2=-1 2(x-1), 即 x+2y-5=0. 【答案】 x+2y-5=0 16.若 x,y∈R,且 x= 1-y2,则y+2 x+1 的取值范围是________. 【解析】 x= 1-y2⇔x2+y2=1(x≥0),此方程表示半圆,如图,设 P(x,y)是半圆上的 点,则y+2 x+1 表示过点 P(x,y),Q(-1,-2)两点直线的斜率.设切线 QA 的斜率为 k,则它的方程为 y+2=k(x+1).从而由 |k-2| k2+1 =1,解得 k=3 4.又 kBQ=3,∴所 求范围是[3 4 ,3]. 【答案】 [3 4 ,3] 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 10 分)求经过两点 A(-1,4),B(3,2)且圆心在 y 轴上的圆的方 程. 【解】 法一:∵圆心在 y 轴上, 设圆的标准方程是 x2+(y-b)2=r2. ∵该圆经过 A、B 两点, ∴Error!∴Error! 所以圆的方程是 x2+(y-1)2=10. 法二:线段 AB 的中点为(1,3), kAB= 2-4 3-(-1)=-1 2 , ∴弦 AB 的垂直平分线方程为 y-3=2(x-1), 即 y=2x+1. 由Error!得(0,1)为所求圆的圆心. 由两点间距离公式得圆半径 r 为 (0+1)2+(1-4)2= 10, ∴所求圆的方程为 x2+(y-1)2=10. 18.(本小题满分 12 分)如图 3 所示,BC=4,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是( 3 2 ,1 2 ,0),点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°,求 AD 的长度. 图 3 【解】 由题意得 B(0,-2,0),C(0,2,0),设 D(0,y,z),在 Rt△BDC 中,∠DCB =30°, ∴|BD|=2,|CD|=2 3,∴z= 3,2-y=3, ∴y=-1,∴D(0,-1, 3). 又∵A( 3 2 ,1 2 ,0), ∴|AD|= ( 3 2 )2+(1 2 +1)2+(- 3)2= 6. 19.(本小题满分 12 分)已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m +1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 为何值时,直线和圆恒相交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程. 【解】 (1)证明:由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0, 得(2x+y-7)m+x+y-4=0. 解Error!得Error! ∴直线 l 恒过定点 A(3,1).又∵(3-1)2+(1-2)2=5<25, ∴(3,1)在圆 C 的内部,故直线 l 与圆 C 恒有两个公共点. (2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时,有 l⊥AC,由 kAC=-1 2 ,得 l 的方程为 y-1=2(x-3),即 2x-y-5=0. 20.(本小题满分 12 分)点 A(0,2)是圆 x2+y2=16 内的定点,B,C 是这个圆上 的两个动点,若 BA⊥CA,求 BC 中点 M 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲 线.【解】 设点 M(x,y),因为 M 是弦 BC 的中点,故 OM⊥BC. 又∵∠BAC=90°,∴|MA|=1 2|BC|=|MB|. ∵|MB|2=|OB|2-|OM|2, ∴|OB|2=|MO|2+|MA|2,即 42=(x2+y2)+[(x-0)2+(y-2)2],化简为 x2+y2-2y -6=0, 即 x2+(y-1)2=7. ∴所求轨迹为以(0,1)为圆心,以 7为半径的圆. 21.(本小题满分 12 分)如图 4 所示,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交 于 E 点,定点 A,C 的坐标分别是 A(-2,3),C(2,1). 图 4 (1)求以线段 AC 为直径的圆 E 的方程; (2)若 B 点的坐标为(-2,-2),求直线 BC 截圆 E 所得的弦长. 【解】 (1)AC 的中点 E(0,2)即为圆心, 半径 r=1 2|AC|=1 2 42+(-2)2= 5, 所以圆 E 的方程为 x2+(y-2)2=5. (2)直线 BC 的斜率 k=1-(-2) 2-(-2)=3 4 , 其方程为 y-1=3 4(x-2),即 3x-4y-2=0. 点 E 到直线 BC 的距离为 d=|-8-2| 5 =2,所以 BC 截圆 E 所得的弦长为 2 5-22=2. 22.(本小题满分 12 分)如图 5,已知圆 C:x2+y2+10x+10y=0,点 A(0,6). (1)求圆心在直线 y=x 上,经过点 A,且与圆 C 相外切的圆 N 的方程;(2)若过点 A 的直线 m 与圆 C 交于 P,Q 两点,且圆弧 PQ 恰为圆 C 周长的1 4 , 求直线 m 的方程. 【导学号:09960152】 图 5 【解】 (1)由 x2+y2+10x+10y=0, 化为标准方程:(x+5)2+(y+5)2=50. 所以圆 C 的圆心坐标为 C(-5,-5), 又圆 N 的圆心在直线 y=x 上, 所以当两圆外切时,切点为 O,设圆 N 的圆心坐标为(a,a), 则有 (a-0)2+(a-6)2= (a-0)2+(a-0)2, 解得 a=3, 所以圆 N 的圆心坐标为(3,3),半径 r=3 2, 故圆 N 的方程为(x-3)2+(y-3)2=18. (2)因为圆弧 PQ 恰为圆 C 周长的1 4 ,所以 CP⊥CQ. 所以点 C 到直线 m 的距离为 5. 当直线 m 的斜率不存在时,点 C 到 y 轴的距离为 5,直线 m 即为 y 轴,所以 此时直线 m 的方程为 x=0. 当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y=kx+6, 即 kx-y+6=0. 所以|-5k+5+6| 1+k2 =5,解得 k=48 55. 所以此时直线 m 的方程为 48 55x-y+6=0, 即 48x-55y+330=0, 故所求直线 m 的方程为 x=0 或 48x-55y+330=0. 查看更多

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