资料简介
章末综合测评(四) 圆与方程
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点 A(－3,4,0)与点 B(2，－1,6)的距离是( )
A．2 43 B．2 21
C．9 D. 86
【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得：
|AB|＝ (－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝ 86.
【答案】 D
2．当圆 x2＋y2＋2x＋ky＋k2＝0 的面积最大时，圆心坐标是( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
【解析】 圆的标准方程得：(x＋1)2＋(y＋k
2)2＝1－3k2
4
，当半径的平方 1－3k2
4
取最大值为 1 时，圆的面积最大．∴k＝0，即圆心为(－1,0)．
【答案】 B
3．圆 O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0 与圆 O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0 的位置关
系是( )
A．相交 B．相离
C．内含 D．内切
【解析】 把圆 O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0 与圆 O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝
0 分别化为标准式为(x－2)2＋(y－3)2＝1 和(x－4)2＋(y－3)2＝9，两圆心间的距离 d
＝ (4－2)2＋(3－3)2＝2＝|r1－r2|，所以两圆的位置关系为内切，故选 D.
【答案】 D
4．(2016·葫芦岛高一检测)过点(2,1)的直线中，被圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 截得的
最长弦所在的直线方程为( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2
1＋2
＝x－1
2－1
，即 3x－y－5＝0，故选 A.
【答案】 A
5．已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关
系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
【解析】 由题意知点在圆外，则 a2＋b2＞1，圆心到直线的距离 d＝ 1
a2＋b2
＜1，故直线与圆相交．
【答案】 B
6．若 P(2，－1)为圆 C：(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程
是( )
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
【解析】 圆心 C(1,0)，kPC＝0－(－1)
1－2
＝－1，
则 kAB＝1，AB 的方程为 y＋1＝x－2，
即 x－y－3＝0，故选 D.
【答案】 D
7．圆心在 x 轴上，半径为 1，且过点(2,1)的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝1
B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得 a＝
2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.
【答案】 A
8．(2016·泰安高一检测)圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
【导学号：09960151】
A．36 B．18
C．6 2 D．5 2
【解析】 圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 的圆心为(2,2)，半径为 3 2，圆心到直
线 x＋y－14＝0 的距离为|2＋2－14|
2
＝5 2＞3 2，圆上的点到直线的最大距离与
最小距离的差是 2R＝6 2.
【答案】 C
9．过点 P(－2,4)作圆 O：(x－2)2＋(y－1)2＝25 的切线 l，直线 m：ax－3y＝0
与直线 l 平行，则直线 l 与 m 的距离为( )
A．4 B．2
C.8
5 D.12
5
【解析】 P 为圆上一点，则有 kOP·kl＝－1，而 kOP＝ 4－1
－2－2
＝－3
4
，
∴kl＝4
3.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l 与 m 的距离为
|20|
42＋(－3)2
＝4.
【答案】 A
10．一个几何体的三视图如图 1 所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该
几何体的四个顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，
(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是( )
图 1
A．(1,1,1) B．(1,1， 2)C．(1,1， 3) D．(2,2， 3)
【解析】 由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射
影是底面正方形的中心，高为 3，则第五个顶点的坐标为(1,1， 3)．故选 C.
【答案】 C
11．已知圆 C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1＝0 对称，
则圆 C2 的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2
【解析】 设点(－2,2)关于直线 x－y－1＝0 的对称点为 Q(m，n)，则Error!解
得 m＝3，n＝－3，所以圆 C2 的圆心坐标为(3，－3)，所以圆 C2 的方程为(x－3)2＋
(y＋3)2＝2，故选 D.
【答案】 D
12．(2016·台州高二检测)已知圆 O：x 2＋y2－4＝0，圆 C：x2＋y2＋2x－15＝
0，若圆 O 的切线 l 交圆 C 于 A，B 两点，则△OAB 面积的取值范围是( )
图 2
A．[2 7，2 15] B．[2 7，8]
C．[2 3，2 15] D．[2 3，8]
【解析】 S△OAB＝1
2|AB|·2＝|AB|，
设 C 到 AB 的距离为 d，
则|AB|＝2 42－d2，又 d∈[1,3]，
7≤42－d2≤15，所以 S△OAB＝|AB|∈[2 7，2 15]．
【答案】 A
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线
上)
13．已知 A(1,2,3)，B(5,6，－7)，则线段 AB 中点 D 的坐标为________．
【解析】 设 D(x，y，z)，由中点坐标公式可得 x＝1＋5
2
＝3，y＝2＋6
2
＝4，z
＝3－7
2
＝－2，所以 D(3,4，－2)．
【答案】 (3,4，－2)
14．以原点 O 为圆心且截直线 3x＋4y＋15＝0 所得弦长为 8 的圆的方程是
________．
【解析】 原点 O 到直线的距离 d＝ 15
32＋42
＝3，设圆的半径为 r，∴r2＝32＋
42＝25，∴圆的方程是 x2＋y2＝25.
【答案】 x2＋y2＝25
15．(2015·重庆高考)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处
的切线方程为________．
【解析】 ∵以原点 O 为圆心的圆过点 P(1,2)，
∴圆的方程为 x2＋y2＝5.
∵kOP＝2，∴切线的斜率 k＝－1
2.
由点斜式可得切线方程为 y－2＝－1
2(x－1)，
即 x＋2y－5＝0.
【答案】 x＋2y－5＝0
16．若 x，y∈R，且 x＝ 1－y2，则y＋2
x＋1
的取值范围是________．
【解析】 x＝ 1－y2⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设 P(x，y)是半圆上的
点，则y＋2
x＋1
表示过点 P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线 QA 的斜率为
k，则它的方程为 y＋2＝k(x＋1)．从而由 |k－2|
k2＋1
＝1，解得 k＝3
4.又 kBQ＝3，∴所
求范围是[3
4
，3].
【答案】 [3
4
，3]
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤)
17．(本小题满分 10 分)求经过两点 A(－1,4)，B(3,2)且圆心在 y 轴上的圆的方
程．
【解】 法一：∵圆心在 y 轴上，
设圆的标准方程是 x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆经过 A、B 两点，
∴Error!∴Error!
所以圆的方程是 x2＋(y－1)2＝10.
法二：线段 AB 的中点为(1,3)，
kAB＝ 2－4
3－(－1)＝－1
2
，
∴弦 AB 的垂直平分线方程为 y－3＝2(x－1)，
即 y＝2x＋1.
由Error!得(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径 r 为
(0＋1)2＋(1－4)2＝ 10，
∴所求圆的方程为 x2＋(y－1)2＝10.
18．(本小题满分 12 分)如图 3 所示，BC＝4，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的坐标是( 3
2
，1
2
，0)，点 D 在平面 yOz 上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求 AD
的长度．
图 3
【解】 由题意得 B(0，－2,0)，C(0,2,0)，设 D(0，y，z)，在 Rt△BDC 中，∠DCB
＝30°，
∴|BD|＝2，|CD|＝2 3，∴z＝ 3，2－y＝3，
∴y＝－1，∴D(0，－1， 3)．
又∵A( 3
2
，1
2
，0)，
∴|AD|＝ ( 3
2 )2＋(1
2
＋1)2＋(－ 3)2＝ 6.
19．(本小题满分 12 分)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x＋(m
＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论 m 为何值时，直线和圆恒相交于两点；
(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时的方程．
【解】 (1)证明：由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，
得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0.
解Error!得Error!
∴直线 l 恒过定点 A(3,1)．又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，
∴(3,1)在圆 C 的内部，故直线 l 与圆 C 恒有两个公共点．
(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时，有 l⊥AC，由 kAC＝－1
2
，得 l 的方程为
y－1＝2(x－3)，即 2x－y－5＝0.
20．(本小题满分 12 分)点 A(0,2)是圆 x2＋y2＝16 内的定点，B，C 是这个圆上
的两个动点，若 BA⊥CA，求 BC 中点 M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲
线．【解】 设点 M(x，y)，因为 M 是弦 BC 的中点，故 OM⊥BC.
又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝1
2|BC|＝|MB|.
∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即 42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为 x2＋y2－2y
－6＝0，
即 x2＋(y－1)2＝7.
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以 7为半径的圆．
21．(本小题满分 12 分)如图 4 所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交
于 E 点，定点 A，C 的坐标分别是 A(－2,3)，C(2,1)．
图 4
(1)求以线段 AC 为直径的圆 E 的方程；
(2)若 B 点的坐标为(－2，－2)，求直线 BC 截圆 E 所得的弦长．
【解】 (1)AC 的中点 E(0,2)即为圆心，
半径 r＝1
2|AC|＝1
2 42＋(－2)2＝ 5，
所以圆 E 的方程为 x2＋(y－2)2＝5.
(2)直线 BC 的斜率 k＝1－(－2)
2－(－2)＝3
4
，
其方程为 y－1＝3
4(x－2)，即 3x－4y－2＝0.
点 E 到直线 BC 的距离为 d＝|－8－2|
5
＝2，所以 BC 截圆 E 所得的弦长为 2
5－22＝2.
22.(本小题满分 12 分)如图 5，已知圆 C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点 A(0,6)．
(1)求圆心在直线 y＝x 上，经过点 A，且与圆 C 相外切的圆 N 的方程；(2)若过点 A 的直线 m 与圆 C 交于 P，Q 两点，且圆弧 PQ 恰为圆 C 周长的1
4
，
求直线 m 的方程． 【导学号：09960152】
图 5
【解】 (1)由 x2＋y2＋10x＋10y＝0，
化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.
所以圆 C 的圆心坐标为 C(－5，－5)，
又圆 N 的圆心在直线 y＝x 上，
所以当两圆外切时，切点为 O，设圆 N 的圆心坐标为(a，a)，
则有 (a－0)2＋(a－6)2＝ (a－0)2＋(a－0)2，
解得 a＝3，
所以圆 N 的圆心坐标为(3,3)，半径 r＝3 2，
故圆 N 的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
(2)因为圆弧 PQ 恰为圆 C 周长的1
4
，所以 CP⊥CQ.
所以点 C 到直线 m 的距离为 5.
当直线 m 的斜率不存在时，点 C 到 y 轴的距离为 5，直线 m 即为 y 轴，所以
此时直线 m 的方程为 x＝0.
当直线 m 的斜率存在时，设直线 m 的方程为 y＝kx＋6，
即 kx－y＋6＝0.
所以|－5k＋5＋6|
1＋k2
＝5，解得 k＝48
55.
所以此时直线 m 的方程为 48
55x－y＋6＝0，
即 48x－55y＋330＝0，
故所求直线 m 的方程为 x＝0 或 48x－55y＋330＝0.
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