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2019年高中数学第二章概率同步练习（共7套北师大版选修2-3）
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2019高中数学第二章概率练习（共7套）北师大版选修2_3
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资料简介
§3 条件概率与独立事件
A组
1.设A与B是相互独立事件,则下列命题正确的是( )
A.A与B是对立事件
B.A与B是互斥事件
C.不相互独立
D.A与是相互独立事件
解析:若A与B是相互独立事件,则A与也是相互独立事件.
答案:D
2.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙、丙去北京旅游的概率分别为.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A. B. C. D.
解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为.因此,他们不去北京旅游的概率分别为,所以,至少有1人去北京旅游的概率为P=1-.
答案:B
3.
如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
解析:方法一 由题意知K,A1,A2正常工作的概率分别为P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,
∵K,A1,A2相互独立,
∴A1,A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96.
- 8 -
∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A2)+P(A1)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864.
方法二 A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P()=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,故系统正常工作的概率为P(K)[1-P()]=0.9×0.96=0.864.
答案:B
4.已知A,B,C是三个相互独立事件,若事件A发生的概率为,事件B发生的概率为,事件C发生的概率为,则A,B,C均未发生的概率为 .
解析:A,B,C均未发生的概率为P()=.
答案:
5.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,二人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,试预测二人命中同色区域的概率为 .
解析:同命中红色区域的概率为,
同命中黄色区域的概率为,
同命中蓝色区域的概率为,
∴二人命中同色区域的概率为.
答案:
6.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.
- 8 -
(1)求该选手顺利通过三轮考核的概率;
(2)该选手在选拔中回答两个问题被淘汰的概率是多少?
解(1)设“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件记为Ai(i=1,2,3),且它们相互独立.
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
设“该选手顺利通过三轮考核”为A事件,
则P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=.
(2)因为回答2个问题被淘汰即第一轮答对,第二轮答错,概率是P=.
7.某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生之间是否选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08,只选甲和乙的概率为0.12,至少选一门的概率为0.88,用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
(1)求学生小张选修甲的概率;
(2)记“函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A,求事件A的概率;
(3)求ξ的分布列.
解(1)由题意知,学生小张三门选修课一门也不选的概率为1-0.88=0.12.
设学生小张选修甲、乙、丙三门选修课的概率分别为x,y,z.
则解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
(2)若函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数,则ξ=0,当ξ=0时,表示小张选修了三门功课或三门功课都不选.所以P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.24,故事件A的概率为0.24.
(3)依题意知ξ=0,2,所以ξ的分布列为
ξ
0
2
P
0.24
0.76
8.导学号43944034甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
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(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布.
解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.
(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)=.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)
=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)=,
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.
所以X的分布列为
X
2
3
4
5
P
B组
1.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
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解析:设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,P(A)=,B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,P(B)=.
则P(AB)=P(A)P(B)=.
答案:A
2.一个盒子中有20个大小、形状、质地相同的小球,其中5个红的,5个黄的,10个绿的,从盒子中任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是( )
A. B. C. D.
解析:记A:取的球不是红球.B:取的球是绿球.则P(A)=,P(AB)=,∴P(B|A)=.
答案:C
3.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是( )
A. B. C. D.
解析:设事件A发生的概率为x,事件B发生的概率为y,则由题意得(1-x)(1-y)=,x(1-y)=(1-x)y,联立解得x=,故事件A发生的概率为.
答案:D
4.把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次,事件A={第一次出现正面},事件B={第二次出现正面},则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
解析:P(A)=,P(AB)=,
- 8 -
所以P(B|A)=.故选A.
答案:A
5.箱子里有除颜色外都相同的5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:因为每次取出黑球时都放回,所以在取到白球以前,每次取出黑球的概率都是,在第4次取球后停止表示前3次取出的都是黑球,第4次才取出白球,故所求概率为.
答案:B
6.某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则使用寿命超过1年的该元件还能继续使用1年的概率为 .
解析:设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”,B为“该元件的使用寿命超过2年”,则P(A)=0.6,P(B)=0.3,易知P(AB)=P(B)=0.3,
于是P(B|A)==0.5.
答案:0.5
7.根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率;
(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率.
解记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,则由题意得A与B,A与与B,都是相互独立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,
则C=AB.
∴P(C)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,则D=B.
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∴P(D)=P(B)=P()·P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3.
(3)方法一:记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,则事件E包括B,A,AB,且它们彼此为互斥事件.
∴P(E)=P(B+A+AB)
=P(B)+P(A)+P(AB)
=0.5×0.6+0.5×0.4+0.5×0.6=0.8.
方法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.
∴P(E)=1-P()=1-(1-0.5)×(1-0.6)=0.8.
8.导学号43944035设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的分布列.
解记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2.
B表示事件:甲需使用设备.
C表示事件:丁需使用设备.
D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.
(1)D=A1·B·C+A2··C+A2B.
P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,
所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)
=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)
=0.31.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=P(·A0·)
=P()P(A0)P()
=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)
=0.06.
- 8 -
P(X=1)=P(B·A0··A0·C+·A1·)
=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()·P(A1)P()
=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25.
P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,
P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25.
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)
=1-0.06-0.25-0.25-0.06
=0.38.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.06
0.25
0.38
0.25
0.06
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