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高中数学第二章圆锥曲线与方程练习（8套北师大版选修1-1）
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2019高中数学第二章圆锥曲线与方程练习（8套）北师大版选修1-1
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资料简介
3.1 双曲线及其标准方程
1.在方程mx2-my2=n中,若mn0)的一个焦点,则b= .
解析:由题意知c=2,a=1,b2=c2-a2=3.又b>0,所以b=.
答案:
7.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 .
解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn0,b>0).
由=0,得PF1⊥PF2.
根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,
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即|PF1|2+|PF2|2=20.
根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2,得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,
所以双曲线方程为-y2=1.
答案:-y2=1
9.导学号01844023双曲线C与椭圆=1有相同焦点,且经过点(,4).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积.
解(1)椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),
设双曲线的方程为=1,
则a2+b2=32=9.①
又双曲线经过点(,4),所以=1,②
解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=-27(舍去),
所以所求双曲线C的方程为=1.
(2)由双曲线C的方程,知a=2,b=,c=3.
设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4,
平方得m2-2mn+n2=16.①
在△F1PF2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos 120°=m2+n2+mn=36.②
由①②得mn=,
所以△F1PF2的面积为S=mnsin 120°=.
10.导学号01844024设双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.
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解法一设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知c2=36-27=9,c=3.
又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,
于是有
解得
所以双曲线的标准方程为=1.
解法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3),
所以2a=||=4,
即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,
所以双曲线的标准方程为=1.
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