资料简介
解直角三角形
课题 解直角三角形
教学
目标
1、 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养
学生分析问题、解决问题的能力．
2、 掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.
3、 比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
4、 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
难点
重点
1.理解坡比、仰角、俯角的概念
2.利用三角函数、边角关系、勾股定理解直角三角形
课
堂
教
学
过
程
过
程
【知识要点一：直角三角形的边角关系】
1. 三边关系： （勾股定理）
2. 三角关系：一直角，两锐角互余
3. 边角关系：若∠A 是 Rt△ABC 的一个锐角，则有
sin A = ，cos A = ，tan A =
例题讲解
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.
（1）已知 c 和 a，则 sinA＝________，sinB＝________.
（2）已知 a 和∠A，则 b＝________，c＝_________.
例 1 图 例 2 图
例 2 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度 BC＝10 m，∠B＝36°，则中柱 AD(D 为
底边中点)的长是（ ）
A. 5sin 36°m B. 5cos 36°m C. 5tan 36°m D. 10tan 36°m
例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2 5，sinB＝
5
5 .P 为 BC 上一动点，PD∥AB，
PD 交 AC 于点 D，连结 AP.
222 cba =+
斜边
的对边A∠
斜边
的邻边A∠
的邻边
的对边
A
A
∠
∠（1）求 AC，BC 的长.
（2）设 PC 的长为 x，△ADP 的面积为 y，问：当 x 为何值时，y 最大？最大值为多少？
【变式训练】
1. 如图，在一个房间内，有一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离 MA 为 a(m)，
此时梯子的倾斜角为 75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地
面的垂直距离 NB 为 b(m)，梯子的倾斜角为 45°，则这间房子的宽 AB 为（ ）
A.
a＋b
2 m B.
a－b
2 m C. b(m) D. a(m)
第 1 题 第 2 题
2. 如图，山脚下西端 A 处与东端 B 处相距 800(1＋ 3)m，小军和小明同时分别从 A 处和 B
处向山顶 C 匀速行走.已知山的西端的坡角是 45°，东端的坡角是 30°，小军的行走速度为
2
2 m/s.若小明与小军同时到达山顶 C 处，则小明的行走速度是_________.
3. 在△ABC 中，点 P 从点 B 开始出发向点 C 运动.在运动过程中，设线段 AP 的长为 y，线段
BP 的长为 x(如图①)，而 y 关于 x 的函数图象如图②所示，Q(1， 3)是函数图象上的最低
点.请仔细观察图①，②，解答下列问题：
（1）请直接写出 AB 边的长和 BC 边上的高线 AH 的长.
（2）求∠B 的度数.
（3）若△ABP 为钝角三角形，求 x 的取值范围.
【知识要点二：坡比】
例题讲解
例 1 如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为 12 m，斜面坡度为 1∶2，则斜坡 AB 的长
为_______m.
例 1 图 例 2 图
例 2 如图，长 4 m 的楼梯 AB 的倾斜角∠ABD 为 60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建
造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为 45°，则调整后的楼梯 AC 的长为（ ）
A. 2 3 m B. 2 6 m C. (2 3－2)m D. (2 6－2)m
例 3 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高 BC 是 10 m，AH＝10 m，为了方便使
行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面 DC 的倾斜角∠BDC＝30°.若新坡面
下 D 处与建筑物之间需留下至少 3 m 宽的人行道，问：该建筑物是否需要拆除(参考数据： 2
≈1.414， 3≈1.732)？
坡比：i = l
h = tan a【变式训练】
1. 如图，在平地 MN 上用一块 10 m 长的木板 AB 搭了一个斜坡，并用两根支柱 AC，AD 支撑.
其中 AC⊥AB，AD⊥MN，且 AC＝7.5 m，则斜坡 AB 的坡度是（ ）
A. 3∶5 B. 4∶5 C. 3∶4 D. 4∶3
第 1 题 第 2 题
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝15°，且 AD＝BD，则由图可知 75°的正切值为
（ ）
A. 2 3 B. 2＋ 3 C. 5＋ 3 D. 不能确定
3. 某校门前正对一条公路，车流量较大，为便于学生安全通过，特建一座人行天桥.如图是
这座天桥的引桥部分示意图，上桥通道由两段互相平行的楼梯 AB，CD 和一段平行于地面的
平台 BC 构成.已知∠A＝37°，天桥高度 DH 为 5.1m，引桥水平跨度 AH 为 8.3m.
（1）求水平平台 BC 的长度.
（2）若两段楼梯 AB∶CD＝10∶7，求楼梯 AB 的水平宽度 AE 的长.
(参考数据：sin37°≈
3
5，cos37°≈
4
5，tan37°≈
3
4.)
4. 如图，在△ABC 中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝
1
8.
（1）求 BC 的长.
（2 ）利用此图形求 tan 15 °的值( 精确到 0.1 ，参考数据： 2≈1.4 ， 3≈1.7 ， 5
≈2.2).
【知识要点三：仰角、俯角】
例 1 如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为 α，AC＝7 m，则树高 BC 为（ ）
A. 7sinα m B. 7cosα m C. 7tanα m D.
7
tanα m
例 1 图 例 2 图
例 2 如图，一艘渔船由西往东航行，在点 A 处测得海岛 C 位于它的北偏东 60°方向，前进 40
海里到达点 B 处，此时测得海岛 C 位于它的北偏东 30°方向，则海岛 C 到航线 AB 的距离 CD
是（ ）
A. 20 海里 B. 40 海里 C. 20 3海里 D. 40 3海里
例 3 如图，身高 1.6 m 的小明为了测量学校旗杆 AB 的高度，在平地上 C 处测得旗杆顶端 A 的
仰角为 30°，沿 CB 方向前进 3 m 到达 D 处，在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 45°，求旗杆
AB 的高度(参考数据： 3≈1.7， 2≈1.4).
【变式训练】
1. 如图，某飞机处于点 C 的正上方 A 处，此时飞行高度 AC＝1200 m，从飞机上看地平面指挥
台 B 的俯角 α＝43°，则飞机 A 与指挥台 B 之间的距离为________ (精确到 1 m，参考数据：
sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93).
第 1 题 第 2 题
2. 如图，张三同学在 C 处测得塑像底部 B 处的俯角为 18°48′，测得塑像顶部 A 处的仰角
为 45°，点 D 在观测点 C 正下方的地面上.若 CD＝10 m，则此塑像的高 AB 约为________ (参
考数据：tan 71°12′≈2.9).
3. 如图，上午 9 时，海检船位于 A 处，观测到某港口城市 P 位于海检船的北偏西 67.5°方
向.海检船以 21 海里/时的速度向正北方向行驶，下午 2 时海检船到达 B 处，这时观测到城
市 P 位于海检船的南偏西 36.9°方向，求此时海检船所在 B 处与城市 P 的距离(参考数据：
sin36.9°≈
3
5，tan36.9°≈
3
4，sin67.5°≈
12
13，tan67.5°≈
12
5 ).
【综合例题讲解】
例 1 如图所示是某一公路路基的设计简图，等腰梯形 ABCD 表示它的横断面.原计划设计的坡
角为∠A＝22°37′，坡长 AD＝6.5 m.现考虑到由于经济的发展，短期内车流量会增加，需
增加路面宽度，故改变原设计方案，将图中(一)、(二)两块分别补到上部(三)、(四)的位置，
使横断面 EFGH 为等腰梯形，重新设计后路基的坡角为 32°，全部工程的土方数不变.请你计
算：重新设计后，路面宽将增加多少米(参考数据：sin22°37′≈
5
13，cos22°37′≈
12
13，
tan22°37′≈
5
12，tan32°≈
5
8)？
例 2 如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的点 A 处发现海中东北方向的点 B 处有人求救，
便立即派三名救生员前去营救.1 号救生员从点 A 处直接跳入海中，2 号救生员沿岸边(岸边
看成是直线)向前跑到点 C 处，再跳入海中，3 号救生员沿岸边向前跑 300 m 到离点 B 处最近
的点 D 处，再跳入海中.救生员在岸上跑的速度都是 6 m/s，在水中游泳的速度都是 2 m/s.若
点 B 在点 C 的北偏东 30°方向上，三名救生员同时从点 A 处出发，请说明谁先到达营救地点
B(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7).
例 3 如图，台风中心位于点 P 处，并沿东北方向 PQ 移动，已知台风移动的速度为 30 km/h，
受影响区域的半径为 200 km，B 市位于点 P 的北偏东 75°方向上，距离 P 点 320 km 处.
（1）说明本次台风会影响 B 市.
（2）求这次台风影响 B 市的时间.
例 4 如图，信号塔 PQ 座落在坡度 i=1：2 的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太
阳光线与水平线成 60°角时，测得信号塔 PQ 落在斜坡上的影子 QN 长为 米，落在
警示牌上的影子 MN 长为 3 米，求信号塔 PQ 的高.（结果不取近似值）
【课后作业】
1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AB＝4，sinA＝
3
5，则斜边上的高线长为（ ）
52A.
12
5 B.
16
5 C.
48
25 D.
64
25
2. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶 BC 宽 10 m，坝高 BE 为 12 m，斜坡 AB 的坡
度 i＝1∶1.5，则坝底 AD 的长为（ ）
A. 26 m B. 28 m C. 30 m D. 46 m
第 2 题 第 3 题
3. 如图，在高为 2 m，坡比为 1∶ 3的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（ ）
A.4 m B.6 m C.4 2 m D.(2＋2 3)m
4. 如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A，B 两个观测站，已知 AB＝2 km，从 A 站测得船 C 在北
偏东 45°方向，从 B 站测得船 C 在北偏东 22.5°方向，则船 C 离海岸线 l 的距离(即 CD 的
长)为（ ）
A. 4 km B. (2＋ 2)km C. 2 2km D. (4－ 2)km
第 4 题 第 5 题
5. 如图，线段 AB，CD 分别表示甲，乙两幢楼的高，AB ⊥ BD，CD⊥BD．从甲楼顶部 A 测得
乙楼顶 C 的仰角 α=3 0°，乙楼底部 D 的俯角 β=60°，已知甲楼的高 AB=24 米，则乙楼高 CD
为_______米．
6. 如图，无人机于空中 A 处探测到目标 B，D，从无人机 A 上看目标 B，D 的俯角分别为 30
°，60°，无人机的飞行高度 AC 为 60 m，随后无人机从 A 处继续飞行 30 3m 到达 A′处.（1）求 A，B 之间的距离.
（2）求从无人机 A′上看目标 D 的俯角的正切值.
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