资料简介
2.2 切线长定理
1、教材分析
重点、难点分析
重点:切线长定理及其应用.切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、
角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节
的重点.
难点:与切线长定理有关的证明和计算问题.不仅应用切线长定理,还用到方程的知识,
是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来.
2、教法建议
本节内容需要一个课时.
(1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证明,并深刻剖析切线长定理的基本图形;
对重要的结论及时总结;
(2)在教学中,以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线,在
教师组织下,以学生为主体,活动式教学.
教学目标
1.理解切线长的概念,掌握切线长定理;
2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的
能力,培养数形结合的思想.
3.通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立科
学的学习态度.
教学重点:
切线长定理是教学重点
教学难点:
切线长定理的灵活运用是教学难点
教学过程设计:
(一)观察、猜想、证明,形成定理
1、切线长的概念.
如图,P 是⊙O 外一点,PA,PB 是⊙O 的两条切线,我们把线段 PA,PB 叫做点 P 到⊙O
的切线长.引导学生理解:切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线
段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
2、观察
利用 PPT 来展示 P 的位置的变化,观察图形的特征和各量之间的关系.
3、猜想
引导学生直观判断,猜想图中 PA 是否等于 PB.
4、证明猜想,形成定理.
猜想是否正确。需要证明.
组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线 OA,OB,要证明 PA=PB.
想一想:根据图形,你还可以得到什么结论?
∠OPA=∠OPB(如图),连接 AB,有 AD=BD 等.
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平
分两条切线的夹角.
5、归纳:
把前面所学的切线的 5 条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究(小组合作交流)
如图, PA,PB 是⊙O 的两条切线,A,B 为切点.直线 OP 交⊙O 于点 D,E,交 AB 于 C 要求:就你所知晓的几何知识,写出你认为正确的结论,小组交流,看哪个小组的结论
最多,用最简短的话语证明你的结论是正确的。
说明:对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基
础.
(二)应用、归纳、反思
例 1、已知:如图,P 为⊙O 外一点,PA,PB 为⊙O 的切线,A 和 B 是切点,PA=10,
∠P=500,F 是优弧 AB 上一点。
求:(1)∠AFB 的度数;
(2)如图,若 CD 是⊙O 的切线,切于点 E,求△PCD 的周长和∠COD 的度数。
分析:(1)中可以看出∠AFB 是⊙O 的圆周角,因此只要求出其对应的弧所对的圆心角的度
数就可以了,于是连接 OA,OB,运用切线的性质,有 OA⊥PA,OB⊥PB。由四边形的内角和
解决问题。
(2)添加的切线要与今天我们学习的切线长定理的基本图形结合起来,找出基本图形,运
用定理,就可以解决周长,同时知道 OC,OD 是相应的角平分线,那么∠COD 的度数出来了。
学生组织解题过程,在草稿纸上完成。
反思:教师引导学生分析过程,激发学生的学习兴趣,培养学生善于观察图形,从中找
出相应知识点,从而实现新旧知识衔接的能力.
例 2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等.
(学生运用所学的知识,对图形进行分析易得)
(分析和解题略)
反思:(1)例 2 事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.
(2)圆内接四边形的性质:对角互补.
提高练习:
如图,在⊿ABC 中,∠C=900, AC=8,AB=10,点 P 在 AC 上,AP=2,若⊙O 的圆心在线
段 BP 上,且⊙O 与 AB 、AC 都相切,求⊙O 的半径。方法(一)
分析:从已知条件和图形中我们能很快地找出切线长定理的基本图形来。
要求:同学们在图中标出相等关系的线段,注意构成等量关系的因素是什么。
设⊙O 与 AB 相切于 F,与 AC 相切于 E,⊙O 的半径为 r。连接 OE,OF,由
AC=8,AB=10,AP=2
有 CP=BC,从而∠BPC=450 ,OP= r,
由勾股定理知道:BP= ,所以 OB=
由切线长定理知道:AF=AE=2+r,
所以 BF=10-(2+r)=8-r
在直角三角形 OBF 中有( )2=r2+ (8-r)2
解得 r=1.
方法(二)
分析:从另外一个角度看问题:用三角形的面积可以重新构建数量关系,建立等式。
要求:注意本方法中的辅助线的添加。
设⊙O 与 AB 相切于 F,与 AC 相切于 E,⊙O 的半径为 r。连接 OE,OF,OA。
⊿ABP 的面积=⊿AOP 的面积+⊿ABO 的面积
有
即有 ,所以 r=1.
反思:在本题的解法中,同学们可以看出,通过不同的分析思路和观察的角度可以明显地得
到不同的解法,而且其繁简程度一目了然。然而由于本题综合性较强,学生在学习的过程中
被动接受的可能性大,在今后的练习设计中要更加注重难度的梯度和适当的铺垫。
2.课堂训练:
如图:⊙O 是以正方形 ABCD 一边 BC 为直径的圆,过 A 作 AF 与⊙O 相
切于点 E,交 CD 于点 F,若 AB=4,求 S△ADF.
(三)小结
1、提出问题学生归纳
(1)这节课学习的具体内容;
2
26 r226 −
r226 −
BCAPOFABAPOE ×=×+×
2
1
2
1
2
1
262
1)102(2
1 ××=+r (2)学习用的数学思想方法;
(3)应注意哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.
(四)布置作业
教学反思:
在整节课中对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明,并深刻剖析切线
长定理的基本图形;对重要的结论及时总结。尤其是切线长定理的基本图形研究环节学生
能充分利用已有的知识和新授内容结合,把切线长定理和圆的对称性紧密接合,体现了本
节课知识点的工具性。在例题的选择中注重了角度计算,长度计算和在具体情境中能准确地
找出并运用切线长定理来分析问题,解决问题。
在提高题的选择上,我的本意是能在平时教学中让学生接触中考题型,提供一题多解的证明
思路,激发学生的学习兴趣,但从学生的接受程度来看,显然是有点偏难了。通过本节课使
我充分地认识到:教学不能只从教师的知识水平和以往的教学实践来施行,更应该注重学生
的实际知识水平和能力状况。就构建主义的理论而言,学生只有对发生在最近发展区内的教
学内容效果是最显著的,如果梯度过大就失去了“脚手架”的作用了。
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