资料简介
空间角和距离
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．直线 m 与平面 间距离为 d，那么到 m 与 距离都等于 2d 的点的集合是 （ ）
A．一个平面 B．一条直线 C．两条直线 D．空集
2．异面直线 a、b 所成的角为，a、b 与平面都平行，b平面，则直线 a 与平面所成的
角 （ ）
A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与不能相等．
3．在正方体 ABCD—ABCD中，BC与截面 BBDD 所成的角为 （ ）
A． 3
B． 4
C． 6
D．arctan2
4．在正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是 G1G2 及 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在沿 SE，
SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3 三点重合，重合后的点记为 G，
那么，在四面体 S－EFG 中必有 （ ）
A．SG⊥△EFG 所在平面 B．SD⊥△EFG 所在平面
C．GF⊥△SEF 所在平面 D．GD⊥△SEF 所在平面
5．有一山坡，它的倾斜角为 30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成 45°角，某人沿这条小
路向上走了 200 米，则他升高了 （ ）
A．100 2 米 B．50 2 米 C．25 6 米 D．50 6 米
6．已知三棱锥 D－ABC 的三个侧面与底面全等，且 AB＝AC＝ 3 ，BC＝2，则以 BC 为棱，以
面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的大小为 （ ）
A．arccos 3
3 B．arccos 3
1 C．
2
π D．
3
2π
7．正四面体 A—BCD 中 E、F 分别是棱 BC 和 AD 之中点，则 EF 和 AB 所成的角 （ ）
A．45 B．60 C．90 D．30
8．把∠A=60°，边长为 a 的菱形 ABCD 沿对角线 BD 折成 60°的二面角，则 AC 与 BD 的
距离为 （ ）
A．
4
3 a B．
4
3 a C．
2
3 a D．
4
6 a
9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的
是 （ ）
A．0＜α＜
6
B．
6
＜α＜
4
C．
4
＜α＜
3
D．
3
＜α＜
2
10．已知 A（1，1，1），B（－1，0 ，4），C（2 ，－2，3），则〈 AB ，CA 〉的大小为（ ）
A．
6
B．
6
5 C．
3
D．
3
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）
11．从平面外一点 P 引斜线段 PA 和 PB，它们与分别成 45和 30角，则APB 的最大值
是______最小值是_______
12．ABC 中ACB=90，PA平面 ABC，PA=2，AC=2 3 ，则平面 PBC 与平面 PAC，平
面 ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．
13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中， 90ABC ， 30BAC ，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝Ｐ
Ｃ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．
14．球的半径为 8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成 45°角，则这个
平面截球的截面面积为 ．
三、解答题（共计 76 分）
15．（本小题满分 12 分）已知 SA⊥平面 ABC，SA=AB，AB⊥BC，SB=BC，E 是 SC 的中点，
DE⊥SC 交 AC 于 D．
（1） 求证：SC⊥面 BDE；
（2）求二面角 E—BD—C 的大小．
16．（本小题满分 12 分）如图，点 P 为斜三棱柱 111 CBAABC 的侧棱 1BB 上一点， 1BBPM
交 1AA 于点 M ， 1BBPN 交 1CC 于点 N ．
(1) 求证： MNCC 1 ； (2) 在任意 DEF 中有余弦定理：
DFEEFDFEFDFDE cos2222 ．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三
棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
17．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，
SD 垂直于底面 ABCD，SB= 3 ．
（1）求证 BC SC；
（2）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小；
（3）设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与 SB 所成角的
大小．
18．（本小题满分 12 分）在直角梯形 ABCD 中，D=BAD=90,AD=DC=
2
1 AB=a,(如图一)将△ADC
沿 AC 折起，使 D 到 D ．记面 AC D 为,面 ABC 为．面 BC D 为．
（1）若二面角AC为直二面角（如图二），求二面角BC的大小;
（2）若二面角AC为 60（如图三），求三棱锥 D ABC 的体积．
19．（本小题满分 14 分）如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB= 2 ，
AF=1，M 是线段 EF 的中点．
（1）求证 AM//平面 BDE；
（2）求二面角 ADFB 的大小；
（3）试在线段 AC 上确定一点 P，使得 PF 与 BC 所成的角是 60．
20．（本题满分 14 分）如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF
互相垂直．点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 aBNCM )20( a ．
（1）求 MN 的长；
（2）当 a 为何值时， MN 的长最小；
（3）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 的大小．
参考答案
一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A B C A A D D
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）
11．750 ,150 12．900 ,300 13． 35 14． 32
三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分）
15．(12 分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是 SC 的中点 ∴BE⊥SC ∵DE⊥SC∴SC⊥面 BDE
（2）解：由（1）SC⊥BD∵SA⊥面 ABC∴SA⊥BD∴BD⊥面 SAC∴∠EDC 为二面角 E-BD-C 的平面角
设 SA=AB=a,则 SB=BC= a2 ． ,2, aSCSBCRt 中在 ,30, 0 DCESACRt 中在
060, EDCDECRt 中在 ．
16．(12 分) (1) 证： MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC 111111 ,,// 平面 ；
(2) 解：在斜三棱柱 111 CBAABC 中，有 cos2 1111111111
222
AACCBBCCAACCBBCCAABB SSSSS ，
其中 为 平面 BBCC 11 与平面 AACC 11 所组成的二面角．
,1 PMNCC 平面 上 述 的 二 面 角 为 MNP , 在 PMN 中 ，
cos2222 MNPMNPNMNPNPM
MNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPM cos)()(2 11111
222222 ，
由于 1111 11111 ,, BBPMSCCMNSCCPNS AABBAACCBBCC ，
有 cos2 1111111111
222
AACCBBCCAACCBBCCAABB SSSSS ．
17．(12 分) （1）证法一：如，∵底面 ABCD 是正方形， ∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面 ABCD，∴DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影，
由三垂线定理得 BC⊥SC．
证法二：如图 1，∵底面 ABCD 是正方形， ∴BC⊥DC．∵SD⊥底面 ABCD，
∴SD⊥BC，又 DC∩SD=D，∴BC⊥平面 SDC，∴BC⊥SC．
（2）解：如图 2，过点 S 作直线 ,// ADl l 在面 ASD 上，
∵底面 ABCD 为正方形， lBCADl ,//// 在面 BSC 上，
l 为面 ASD 与面 BSC 的交线．
l ,,,, SClSDlSCBCADSD
∴∠CSD 为面 ASD 与面 BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一）
（3）解 1：如图 2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，
∴△SDA 是等腰直角三角形．又 M 是斜边 SA 的中点，
∴DM⊥SA．∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面 ASD，SA 是 SB 在面 ASD
上的射影．由三垂线定理得 DM⊥SB．
∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°．
解 2：如图 3，取 AB 中点 P，连结 MP，DP．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB，
DMP 是 异 面 直 线 DM 与 SB 所 成 的 角 ．
2
3
2
1 SBMP ， 又
,2
5)2
1(1,2
2 2 DPDM
∴在△DMP 中，有 DP2=MP2+DM2， 90DMP
∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°．
18．(12 分) 解：（1）在直角梯形 ABCD 中， 由已知 DAC 为等腰直角三角形，
∴ 45,2 CABaAC , 过 C 作 CH⊥AB，由 AB=2 a ，
可推得 AC=BC= .2a ∴ AC⊥BC ．取 AC 的中点 E，连结 ED ，
则 ED ⊥AC 又 ∵ 二面角 ACa 为直二面角，
∴ ED ⊥ 又 ∵ BC 平面 ∴ BC⊥ ED ∴ BC⊥ a ，而 aCD ，
∴ BC⊥ CD ∴ CAD 为二面角 BC 的平面角．
由于 45 CAD ， ∴二面角 BC 为 45 ．
（2）取 AC 的中点 E，连结 ED ，再过 D 作 OD ，垂足为 O，连结 OE．
∵ AC⊥ ED ， ∴ AC⊥OE ∴ EOD 为二面角 ACa 的平面角，
∴ EOD 60 ． 在 OEDRt 中， aACED 2
2
2
1 ，
∴
ODSV ABCABCD 3
1
ODBCAC
2
1
3
1 aaa 4
6226
1 .12
6 3a
19．（14 分）解法一: (1)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵O、M 分别是
AC、EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形 AOEM 是平行四边形，
∴AM∥OE．∵ OE 平面 BDE， AM 平面 BDE，∴AM∥平面 BDE．
(2)在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥DF 于 S，连结 BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD，
,AAFAD ∴AB⊥平面 ADF，∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影，
由三垂线定理得 BS⊥DF．∴∠BSA 是二面角 A—DF—B 的平面角．
在 RtΔASB 中， ,2,3
6 ABAS
∴ ,60,3tan ASBASB ∴二面角 A—DF—B 的大小为 60º．
（3）设 CP=t（0≤t≤2）,作 PQ⊥AB 于 Q，则 PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF， AAFAB ，∴PQ⊥平面 ABF， QE 平面 ABF，
∴PQ⊥QF．在 RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ．
图1
图 2
图3
A
B
C
D
E
F
N
M
P
Q
∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴ ).2(2
2 tPQ 又∵ΔPAF 为直角三
角形，∴ 1)2( 2 tPF ，∴ ).2(2
221)2( 2 tt 所以 t=1 或 t=3(舍去),即点 P 是 AC 的中点．
解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系．
设 NBDAC ，连接 NE， 则点 N、E 的坐标分别是（ )0,2
2,2
2 、（0,0,1）,
∴ )1,2
2,2
2( NE , 又点 A、M 的坐标分别是
)0,2,2( ,（ )1,2
2,2
2
∴ AM =（ )1,2
2,2
2 ∴ AMNE 且 NE 与
AM 不共线，∴NE∥AM．又∵ NE 平面 BDE， AM
平面 BDE，∴AM∥平面 BDF．
（2）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ,AAD ∴AB⊥平面 ADF．
∴ AB )0,0,2( 为平面 DAF 的法向量．
∵ DBNE =（ )1,2
2,2
2 · )0,2,2( =0，
∴ NFNE =（ )1,2
2,2
2 · )0,2,2( =0 得
DBNE ， NFNE ，∴NE 为平面 BDF 的法向量．
∴cos< NEAB = 2 1 ∴AB 与 NE 的夹角是 60º．即所求二面角 A—DF—B 的大小是 60º． （3）设 P(t,t,0)(0≤t≤ 2 )得 PF ),1,2,2( tt ∴ BC =（ 2 ，0，0） 又∵PF 和 BC 所成的角是 60º．∴ 21)2()2( 2)2( 60cos 22 tt t 解得 2 2t 或 2 23t （舍去），即点 P 是 AC 的中点． 20．(14 分) 解：（1）作 MP ∥ AB 交 BC 于点 P ，NQ ∥ AB 交 BE 于点 Q ，连结 PQ ，依题意可得 MP ∥ NQ ，且 MP NQ ， 即 MNQP 是平行四边形∴ MN PQ 由已知 aBNCM ， 1 BEABCB ∴ 2 BFAC 又 21 aCP ， 21 aBQ ， 即 2 aBQCP ∴ MN PQ 22)1( BQCP 22 ) 2 () 2 1( aa 2 1)2 2( 2 a )20( a （2）由（Ⅰ）， MN 2 1)2 2( 2 a ,所以，当 2 2a 时， MN 2 2 即 M 、 N 分别移动到 AC 、 BF 的中点时， MN 的长最小，最小值为 2 2 ． （3）取 MN 的中点 G ，连结 AG 、 BG ，∵ ANAM ， BNBM ， G 为 MN 的中点 ∴ AG ⊥ MN ， BG ⊥ MN ，∠ AGB 即为二面角 的平面角,又 AG BG 4 6 ，所以，由余 弦定理有 3 1 4 6 4 62 14 6 4 6 cos 22 , 故所求二面角 3 1arccos
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