资料简介
数学必修五-综合练习一
A 组题（共 100 分）
一．选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知△ABC 中，a＝4，b＝4 3 ，∠A＝30°，则∠B 等于( )
A．30° B．30°或 150°
C．60° D．60°或 120°
2．在△ABC 中，已知 b＝4 3 ，c＝2 3 ，∠A＝120°，则 a 等于( )
A．2 21 B．6
C．2 21 或 6 D．2 3615
3．已知△ABC 中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC 的面积为( )
A．9 B．18
C．9 3 D．18 3
4．在△ABC 中，若 00 30,6,90 BaC ，则 bc 等于（ ）
A．1 B． 1 C． 32 D． 32
5．在△ABC 中，sinA＞sinB 是 A＞B 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。
6．在△ABC 中，若∠B＝30°，AB＝2 3 ，AC＝2，则△ABC 的面积是________．
7．在△ABC 中，若 b＝2csinB，则∠C＝________．
8．设△ABC 的外接圆半径为 R，且已知 AB＝4，∠C＝45°，则 R＝________．
9．在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2( 3 ＋1)，那么△ABC 的面积为________．
三．解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10．在△ABC 中，已知 2b ，c=1， 45B ，求 a，A，C．（12 分）
11．在△ABC 中，求证： )coscos( a
A
b
Bca
b
b
a （13 分）
12．△ABC 中，D 在边 BC 上，且 BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求 AC 的
长及△ABC 的面积．（16 分）
B 组题（共 100 分）
四．选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
13．有一长为 1 公里的斜坡，它的倾斜角为 20°，现要将倾斜角改为 10°，则坡底要伸
长（ ）
A. 1 公里 B. sin10°公里
C. cos10°公里 D. cos20°公里
14．已知在△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( )
A．135° B．90°
C．120° D．150°
15．在△ABC 中，已知三边 a、b、c 满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C 等于( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
16．已知△ABC 中，a∶b∶c＝1∶ 3 ∶2，则 A∶B∶C 等于( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1
C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
17．已知△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则 k 的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(-∞，0)
C．(-
2
1 ，0) D．(
2
1 ，＋∞)
五．填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。
18．已知△ABC 中，A＝60°，最大边和最小边是方程 x2-9x＋8＝0 的两个正实数根，那
么 BC 边长是________．
19．在△ABC 中，已知 a＝7，b＝8，cosC＝
14
13 ，则最大角的余弦值是________．
20．已知△ABC 的面积为
2
3 ，且 b＝2，c＝ 3 ，则∠A＝________．
21．在△ABC 中，若 AB＝ 5 ，AC＝5，且 cosC＝
10
9 ，则 BC＝________．
六．解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．化简
4cos4sin1
4cos4sin1
23．在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a，b 是方程 02322 xx 的两个根，且
1cos2 BA 。求：(1)角 C 的度数； (2)AB 的长度。
24．在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直
线成 15°方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的 4 倍，问
按这样布置，游击手能否接着球？
C 组题（共 50 分）
七．选择或填空题：本大题共 2 题。
25．若三角形中有一个角为 60°，夹这个角的两边的边长分别是 8 和 5，则它的内切圆半
径等于________，外接圆半径等于________．
26．在△ABC 中，| AB |＝3，| AC |＝2，AB 与 AC 的夹角为 60°，则| AB - AC |＝________；
| AB ＋ AC |＝________．
八．解答题：本大题共 2 小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
27．在△ABC 中，若 BACBA coscossinsinsin .
(1)判断△ABC 的形状；
(2)在上述△ABC 中，若角 C 的对边 1c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。
28．一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的
速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走
私船,缉私艇应沿北偏东 45 的方向去追,.求追及所需的时间和 角的正弦值.
参考答案
A 组题
一．选择题：
A
B
C
北
东
1．D 分析：由正弦定理得，
B
b
A
a
sinsin
，
∴ sinB＝
2
3sin
a
Ab ，
∴ ∠B＝60°或∠B＝120°．
2．A 分析：由余弦定理得:a2＝b2＋c2-2bccosA＝48＋12-2×4 3 ×2 3 ×(-
2
1 )＝84，
∴ a＝2 21 ．
3．C 分析：∵ ∠A＝30°，∠B＝120°，
∴ ∠C＝30°，∴ BA＝BC＝6，
∴ S△ABC＝
2
1 ×BA×BC×sinB＝
2
1 ×6×6×
2
3 ＝9 3 ．
4．C
5．C 分析：A＞B a＞b 2RsinA＞2RsinB sinA＞sinB．
二．填空题：
6．2 3 或 3 分析：sinC＝
2
3
2
30sin32 ，于是，∠C＝60°或 120°，故∠A＝
90°或 30°，由 S△ABC＝
2
1 ×AB×AC×sinA，可得 S△ABC＝2 3 或 S△ABC＝ 3 ．
7．30°或 150°分析：由 b＝2csinB 及正弦定理
C
c
B
Bc
C
c
B
b
sinsin
sin2
sinsin
得 ，
∴ sinC＝
2
1 ，∴ ∠C＝30°或 150°．
8．2 2 分析：∵ c＝2RsinC，∴ R＝ 22sin2
C
c ．
9．6＋2 3 分析：∵
B
b
A
a
sinsin
，
∴
45sin)6045180sin(
)13(2 b ，
∴ b＝4．
∴ S△ABC＝
2
1 absinC＝6＋2 3 ．
三．解答题：
10．a＝ 6 2
2
，A＝105°，C＝30°
11．将
ac
bcaB 2cos
222 ，
bc
acbA 2cos
222 代入右边即可。
12．1．在△ABC 中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝ 3 ．
在△ACD 中，AD2＝( 3 )2＋12－2× 3 ×1×cos150o＝7，∴AC＝ 7 ．
∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝
2
1 ×1×3×sin60o＝ 34
3 ．
B 组题
13．A
14．C 分析：由 sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7 知三角形的三边之比为 a∶b∶c＝3∶5∶7，
最大的边为 c，∴ 最大的角为∠C．由余弦定理得
cosC＝
2
1
532
)7()5()3( 222
kk
kkk ，
15．D 分析：由(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，得 a2＋2ab＋b2-c2＝3ab
∴
2
1
2
222
ab
cba ，∴ cosC＝60°
16．A 分析：由正弦定理得，
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
，
∴ sinA∶sinB∶sinC＝1∶ 3 ∶2＝
2
1 ∶
2
3 ∶1，
∴ A∶B∶C＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．
17．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．
18． 57 分析：∵ A＝60°，∴ 最大边和最小边所夹的角为 A，AB、AC 为 x2-9x＋
8＝0 的两个正实数根，则 AB＋AC＝9，AB×AC＝8
∴ BC2＝AB2＋AC2-2×AC×AB×cosA
＝(AB＋AC)2-2×AC×AB×(1＋cosA)
＝92-2×8×
2
3 ＝57
19．-
7
1 分析：先由 c2＝a2＋b2-2abcosC 求出 c＝3，∴ 最大边为 b，最大角为 B，
∴ cosB＝
7
1
2
222
ac
bca ．
A
B D C2 1
20．60°或 120° 分析：∵ S△ABC＝
2
1 bcsinA，∴
2
3 ＝
2
1 ×2× 3 sinA，∴ sinA＝
2
3 。
21．4 或 5 分析：设 BC＝x，则 5＝x2＋25-2·5·x·
10
9 ，即 x2-9x＋20＝0，解得 x＝4
或 x＝5
22．原式=
2cot
2sin2cos2sin
2cos2cos2sin
)2sin21(2cos2sin21
12cos22cos2sin21
2
2
2
2
23．解：（1）
2
1coscoscos BABAC C＝120°
（2）由题设：
32
2
ba
ab
120cos2cos2 22222 abbaCBCACBCACAB
10232 2222 abbaabba
10 AB
24．不能
C 组题
25． 3 3
37 分析：设 60°的角的对边长为 x，外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，
则 x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴ x＝7
∵ 7＝2Rsin60°，∴ R＝
3
37
∵ S△ABC＝
2
1 ×8×5×sin60°＝
2
1 ×r×(8＋5＋7)，∴ r＝ 3
26． 7 19 分析：由三角形法则知
| AB - AC |2＝| BC |2
＝| AB |2＋| AC |2-2| AB |·| AC |·cosA
＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7
∴ | AB - AC |＝ 7
类似地由平行四边形及余弦定理可知
| AB ＋ AC |2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19
∴ | AB ＋ AC |＝ 19
27. 解：（1）由 BACBA coscossinsinsin
可得 12sin2 2 C 0cos C 即 C＝90°
△ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形
（2）内切圆半径 cbar
2
1
1sinsin2
1 BA
2
12
2
1
4sin2
2
A
内切圆半径的取值范围是
2
12,0
28．解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在 B 处追上, 则有
120cos240)10(12)14(.120,10,14 222 xxxACBxBCxAB ,
.14
35
28
120sin20sin,20,28,2
BCABx
所以所需时间 2 小时, .14
35sin
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