资料简介
章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的
位置关系
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若 a，b 是异面直线，直线 c∥a，则 c 与 b 的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．异面或相交
【解析】 根据空间两条直线的位置关系和公理 4 可知 c 与 b 异
面或相交，但不可能平行．
【答案】 D
2．下列说法不正确的是( )
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线
都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
【解析】 A、B、C 显然正确．易知过一条直线有无数个平面与
已知平面垂直．选 D.
【答案】 D
3．(2015·太原高二检测)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列
命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面
D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面
【解析】 对于 A，通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点
出发的三条棱两两垂直，故 A 错；对于 B，因为 l1⊥l2，所以 l1，l2 所
成的角是 90°，又因为 l2∥l3，所以 l1，l3 所成的角是 90°，所以 l1⊥l3，
故 B 对；对于 C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故 C 错；
对于 D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故 D 错．故选 B.
【答案】 B
4．设 a、b 为两条直线，α、β 为两个平面，则正确的命题是( )
【导学号：09960089】
A．若 a、b 与 α 所成的角相等，则 a∥b
B．若 a∥α，b∥β，α∥β，则 a∥b
C．若 a⊂α，b⊂β，a∥b，则 α∥β
D．若 a⊥α，b⊥β，α⊥β，则 a⊥b
【解析】 A 中，a、b 可以平行、相交或异面；B 中，a、b 可以
平行或异面；C 中，α、β 可以平行或相交．
【答案】 D
5 ． (2016· 山 西 山 大 附 中 高 二 检 测 ) 如 图 1 ， 在 正 方 体
ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为 AA1、AB、BB1、B1C1 的中点，
则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( )
图 1
A．45° B．60°C．90° D．120°
【解析】 如图，连接 A1B、BC1、A1C1，则 A1B＝BC1＝A1C1，
且 EF∥A1B、GH∥BC1，
所以异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 60°.
【答案】 B
6．设 l 为直线，α，β 是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β
B．若 l⊥α，l⊥β，则 α∥β
C．若 l⊥α，l∥β，则 α∥β
D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β
【解析】 选项 A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，
故选项 A 错误；选项 B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项 B
正确；选项 C，由条件应得 α⊥β，故选项 C 错误；选项 D，l 与 β 的位
置不确定，故选项 D 错误．故选 B.
【答案】 B
7．(2015·洛阳高一检测)如图 2，△ADB 和△ADC 都是以 D 为直
角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是( )
图 2
A．AD⊥平面 BDCB．BD⊥平面 ADC
C．DC⊥平面 ABD
D．BC⊥平面 ABD
【解析】 由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，所以 AD⊥平面 BDC，
又△ABD 与△ADC 均为以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 AB
＝AC，BD＝DC＝ 2
2
AB.
又∠BAC＝60°，所以△ABC 为等边三角形，故 BC＝AB＝ 2BD，
所以∠BDC＝90°，即 BD⊥DC.
所以 BD⊥平面 ADC，同理 DC⊥平面 ABD.
所以 A、B、C 项均正确．选 D.
【答案】 D
8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12，
底面对角线的长为 2 6，则侧面与底面所成的二面角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】 由棱锥体积公式可得底面边长为 2 3，高为 3，在底
面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，
根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为 tan θ＝ 3
(设 θ 为所求平面角)，所以二面角为 60°，选 C.
【答案】 C
9．将正方形 ABCD 沿 BD 折成直二面角，M 为 CD 的中点，则
∠AMD 的大小是( )
A．45° B．30°
C．60° D．90°【解析】 如图，设正方形边长为 a，作 AO⊥BD，则 AM＝
AO2＋OM2＝ ( 2
2 a)2＋(1
2a )2＝ 3
2
a，
又 AD＝a，DM＝a
2
，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.
【答案】 D
10．在矩形 ABCD 中，若 AB＝3，BC＝4，PA⊥平面 AC，且 PA＝
1，则点 P 到对角线 BD 的距离为( )
A. 29
2
B.13
5
C.17
5
D. 119
5
【解析】 如图，过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，连接 PE.
∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，
∴PA⊥BD，∴BD⊥平面 PAE，
∴BD⊥PE.
∵AE＝AB·AD
BD
＝12
5
，PA＝1，
∴PE＝ 1＋(12
5 )2＝13
5
.
【答案】 B
11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为9
4
，底面是边长为 3的正三角形．若 P 为底面 A1B1C1 的中
心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( )
【导学号：09960090】
A．75° B．60°
C．45° D．30°
【解析】 如图所示，P 为正三角形 A1B1C1 的中心，设 O 为△ABC
的中心，由题意知：PO⊥平面 ABC，连接 OA，则∠PAO 即为 PA 与
平面 ABC 所成的角．
在正三角形 ABC 中，AB＝BC＝AC＝ 3，
则 S＝ 3
4
×( 3)2＝3 3
4
，
VABCA1B1C1＝S×PO＝9
4
，∴PO＝ 3.
又 AO＝ 3
3
× 3＝1，
∴tan ∠PAO＝PO
AO
＝ 3，∴∠PAO＝60°.
【答案】 B
12．正方体 ABCDA1B1C1D1 中，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂
足为点 H.以下结论中，错误的是( )
A．点 H 是△A1BD 的垂心
B．AH⊥平面 CB1D1
C．AH 的延长线经过点 C1D．直线 AH 和 BB1 所成的角为 45°
【解析】 因为 AH⊥平面 A1BD，
BD⊂平面 A1BD，
所以 BD⊥AH.又 BD⊥AA1，且 AH∩AA1＝A.
所以 BD⊥平面 AA1H.又 A1H⊂平面 AA1H.
所以 A1H⊥BD，
同理可证 BH⊥A1D，
所以点 H 是△A1BD 的垂心，A 正确．
因为平面 A1BD∥平面 CB1D1，
所以 AH⊥平面 CB1D1，B 正确．
易证 AC1⊥平面 A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面
垂直，所以 AC1 和 AH 重合．故 C 正确．
因为 AA1∥BB1，所以∠A1AH 为直线 AH 和 BB1 所成的角．
因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故 D 错误．
【答案】 D
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在
题中的横线上)
13．设平面 α∥平面 β，A、C∈α，B、D∈β，直线 AB 与 CD 交于
点 S，且点 S 位于平面 α，β 之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则 SD＝
________.
【解析】 由面面平行的性质得 AC∥BD，AS
BS
＝CS
SD
，解得 SD＝9.
【答案】 914．如图 3，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E
是 SA 上一点，当点 E 满足条件：________时，SC∥平面 EBD.
图 3
【解析】 当 E 是 SA 的中点时，
连接 EB，ED，AC.
设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 EO.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴点 O 是 AC 的中点．
又 E 是 SA 的中点，
∴OE 是△SAC 的中位线．
∴OE∥SC.
∵SC⊄平面 EBD，OE⊂平面 EBD，
∴SC∥平面 EBD.
【答案】 E 是 SA 的中点
15．如图 4 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 AA1
和 AB 上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN 等于________．
图 4【解析】 ∵B1C1⊥平面 A1ABB1，
MN⊂平面 A1ABB1，
∴B1C1⊥MN，又∠B1MN 为直角，
∴B1M⊥MN，而 B1M∩B1C1＝B1.
∴MN⊥平面 MB1C1，又 MC1⊂平面 MB1C1，
∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.
【答案】 90°
16．已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，
点 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点，则
①棱 AB 与 PD 所在直线垂直；
②平面 PBC 与平面 ABCD 垂直；
③△PCD 的面积大于△PAB 的面积；
④直线 AE 与直线 BF 是异面直线．
以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
【解析】 由条件可得 AB⊥平面 PAD，
∴AB⊥PD，故①正确；
若平面 PBC⊥平面 ABCD，由 PB⊥BC，
得 PB⊥平面 ABCD，从而 PA∥PB，这是不可能的，故②错；S△PCD
＝1
2
CD·PD，S△PAB＝1
2
AB·PA，
由 AB＝CD，PD>PA 知③正确；
由 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点，
可得 EF∥CD，又 AB∥CD，
∴EF∥AB，故 AE 与 BF 共面，④错．
【答案】 ①③
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分 10 分)如图 5 所示，已知△ABC 中，∠ACB＝
90°，SA⊥平面 ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面 SBC.
图 5
【证明】 ∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC.
又∵SA⊥平面 ABC，
∴SA⊥BC，∵SA∩AC＝A，
∴BC⊥平面 SAC，∴BC⊥AD.
又∵SC⊥AD，SC∩BC＝C，
∴AD⊥平面 SBC.
18．(本小题满分 12 分)如图 6，三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面
垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点 D 是 AB 的中点．
图 6
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面 CDB1.
【证明】 (1)∵C1C⊥平面 ABC，∴C1C⊥AC.
∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又 BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面 BCC1B1，
而 B1C⊂平面 BCC1B1，
∴AC⊥B1C.
(2)连接 BC1 交 B1C 于 O 点，连接 OD.如图，∵O，D 分别为 BC1，
AB 的中点，∴OD∥AC1.又 OD⊂平面 CDB1，AC1⊄平面 CDB1.∴AC1∥
平面 CDB1.
19．(本小题满分 12 分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如
图 7 所示，P 是正方形 ABCD 对角线的交点，G 是 PB 的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面 AGC；
②证明：面 PBD⊥面 AGC.
图 7
【解】 (1)该几何体的直观图如图所示：(2)证明：①连接 AC，BD 交于点 O，连接 OG，因为 G 为 PB 的
中点，O 为 BD 的中点，所以 OG∥PD.
②连接 PO，由三视图知，PO⊥平面 ABCD，所以 AO⊥PO.
又 AO⊥BO，所以 AO⊥平面 PBD.
因为 AO⊂平面 AGC，
所以平面 PBD⊥平面 AGC.
20．(本小题满分 12 分)(2016·济宁高一检测)如图 8，正方形 ABCD
和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝
1.
图 8
(1)求证：AF∥平面 BDE；
(2)求证：CF⊥平面 BDE.
【导学号：09960091】
【证明】 (1)如图，设 AC 与 BD 交于点 G.因为 EF∥AG，且 EF＝1，
AG＝1
2
AC＝1，
所以四边形 AGEF 为平行四边形．
所以 AF∥EG.
因为 EG⊂平面 BDE，AF⊄平面 BDE，
所以 AF∥平面 BDE.
(2)连接 FG，
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，
∴四边形 CEFG 为平行四边形，
又∵CE＝EF＝1，∴▱CEFG 为菱形，
∴EG⊥CF.
在正方形 ABCD 中，AC⊥BD.
∵正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，
∴BD⊥平面 CEFG.∴BD⊥CF.
又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面 BDE.
21．(本小题满分 12 分)(2015·山东高考)如图 9，三棱台 DEFABC
中，AB＝2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点．
图 9(1)求证：BD∥平面 FGH；
(2)若 CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面 BCD⊥平面 EGH.
【解】 (1)证法一：连接 DG，CD，设 CD∩GF＝M，连接 MH.
在三棱台 DEFABC 中，AB＝2DE，G 为 AC 的中点，可得 DF∥GC，
DF＝GC，所以四边形 DFCG 为平行四边形，则 M 为 CD 的中点．又
H 为 BC 的中点，所以 MH∥BD.又 MH⊂平面 FGH，BD⊄平面 FGH，
所以 BD∥平面 FGH.
证法二：在三棱台 DEFABC 中，由 BC＝2EF，H 为 BC 的中点，
可得 BH∥EF，BH＝EF，所以四边形 BHFE 为平行四边形，可得
BE∥HF. 在 △ABC 中 ， G 为 AC 的 中 点 ， H 为 BC 的 中 点 ， 所 以
GH∥AB.又 GH∩HF＝H，所以平面 FGH∥平面 ABED.因为 BD⊂平面
ABED，所以 BD∥平面 FGH.
(2)连接 HE.
因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点，
所以 GH∥AB.
由 AB⊥BC，得 GH⊥BC.
又 H 为 BC 的中点，
所以 EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形 EFCH 是平行四边形．
所以 CF∥HE.
又 CF⊥BC，所以 HE⊥BC.
又 HE，GH⊂平面 EGH，HE∩GH＝H，
所以 BC⊥平面 EGH.
又 BC⊂平面 BCD，所以平面 BCD⊥平面 EGH.
22．(本小题满分 12 分)(2016·重庆高一检测)如图 10 所示，ABCD
是正方形，O 是正方形的中心，PO⊥底面 ABCD，底面边长为 a，E
是 PC 的中点．
图 10
(1)求证：PA∥平面 BDE；平面 PAC⊥平面 BDE；
(2)若二面角 EBDC 为 30°，求四棱锥 PABCD 的体积．
【解】 (1)证明：
连接 OE，如图所示．
∵O、E 分别为 AC、PC 的中点，
∴OE∥PA.
∵OE⊂平面 BDE，PA⊄平面 BDE，
∴PA∥平面 BDE.
∵PO⊥平面 ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形 ABCD 中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面 PAC.又∵BD⊂平面 BDE，∴平面 PAC⊥平面 BDE.
(2)取 OC 中点 F，连接 EF.
∵E 为 PC 中点，
∴EF 为△POC 的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥平面 ABCD，
∴EF⊥平面 ABCD.
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.
∴∠EOF 为二面角 EBDC 的平面角，
∴∠EOF＝30°.
在 Rt△OEF 中，
OF＝1
2
OC＝1
4
AC＝ 2
4
a，
∴EF＝OF·tan 30°＝ 6
12
a，∴OP＝2EF＝ 6
6
a.
∴VPABCD＝1
3
×a2× 6
6
a＝ 6
18
a3.
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