资料简介
模块综合测评
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过点 A(3，－4)，B(－2，m)的直线 l 的斜率为－2，则 m 的值为( )
A．6 B．1
C．2 D．4
【解析】 由题意知 kAB＝ m＋4
－2－3
＝－2，∴m＝6.
【答案】 A
2．在 x 轴、y 轴上的截距分别是－2、3 的直线方程是( )
A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0
【解析】 由直线的截距式得，所求直线的方程为 x
－2
＋y
3
＝1，即 3x－2y＋6＝
0.
【答案】 C
3．已知正方体外接球的体积是 32
3 π，那么正方体的棱长等于( )
A．2 2 B.2 2
3
C.4 2
3 D.4 3
3
【解析】 设正方体的棱长为 a，球的半径为 R，则 4
3πR3＝32
3 π，∴R＝2.又∵
3a＝2R＝4，∴a＝4 3
3 .
【答案】 D
4．关于空间直角坐标系 Oxyz 中的一点 P(1,2,3)有下列说法：
①点 P 到坐标原点的距离为 13；②OP 的中点坐标为(1
2
，1，3
2)；
③与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
④与点 P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；
⑤与点 P 关于坐标平面 xOy 对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 点 P 到坐标原点的距离为 12＋22＋32＝ 14，故①错；②正确；
与点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点 P 关于坐标原点
对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选 A.
【答案】 A
5．如图 1，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中点，
若∠CMN＝90°，则异面直线 AD1 和 DM 所成角为( )
图 1
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】 因为 MN⊥DC，MN⊥MC，
所以 MN⊥平面 DCM.
所以 MN⊥DM.
因为 MN∥AD1，所以 AD1⊥DM.
【答案】 D
6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图 2 所示，则该几何体的表面积等于
( )图 2
A．8＋2 2 B．11＋2 2
C．14＋2 2 D．15
【解析】 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，
如图所示．
直角梯形斜腰长为 12＋12＝ 2，所以底面周长为 4＋ 2，侧面积为 2×(4＋
2)＝8＋2 2，两底面的面积和为 2×1
2
×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积
为 8＋2 2＋3＝11＋2 2.
【答案】 B
7．已知圆 x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0 和定点 P(1，－1)，若过点 P 的圆的切线有
两条，则 k 的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】 因为方程 x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0 表示一个圆，所以 4＋4－4k＞0，
所以 k＜2.由题意知点 P(1，－1)在圆外，所以 12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，
解得 k＞－2，所以－2＜k＜2.
【答案】 C
8．在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面
BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( )
A．30° B．45°C．60° D．90°
【解析】 如图，取 BC 的中点 E，连接 DE、AE、AD.依题设知 AE⊥平面
BB1C1C.故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角．设各棱长为 2，则 AE＝ 3
2
×2
＝ 3，DE＝1.
∵tan∠ADE＝AE
DE
＝ 3
1
＝ 3，
∴∠ADE＝60°，故选 C.
【答案】 C
9．(2015·开封高一检测)若 m、n 为两条不重合的直线，α、β 为两个不重合的
平面，则下列说法中正确的是( )
①若直线 m、n 都平行于平面 α，则 m、n 一定不是相交直线；
②若直线 m、n 都垂直于平面 α，则 m、n 一定是平行直线；
③已知平面 α、β 互相垂直，且直线 m、n 也互相垂直，若 m⊥α，则 n⊥β；
④若直线 m、n 在平面 α 内的射影互相垂直，则 m⊥n.
A．② B．②③
C．①③ D．②④
【解析】 对于①，m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面；
对于②，由线面垂直的性质定理可知，m 与 n 一定平行，故②正确；
对于③，还有可能 n∥β；对于④，把 m，n 放入正方体中，如图，取 A1B 为
m，B1C 为 n，平面 ABCD 为平面 α，则 m 与 n 在 α 内的射影分别为 AB 与 BC，
且 AB⊥BC.而 m 与 n 所成的角为 60°，故④错．因此选 A.【答案】 A
10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0)，B(0， 3)，C(2， 3)，则△ABC 外接
圆的圆心到原点的距离为( )
A.5
3 B. 21
3
C.2 5
3 D.4
3
【解析】
在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝
2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设 BC 的中点为 D，
点 E 为外心，同时也是重心．所以|AE|＝2
3|AD|＝2 3
3
，从而|OE|＝ |OA|2＋|AE|2＝
1＋4
3
＝ 21
3
，故选 B.
【答案】 B
11．(2016·重庆高一检测)已知 P(x，y)是直线 kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA
是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的一条切线，A 是切点，若 PA 长度的最小值为 2，则 k 的
值是( )
【导学号：09960153】
A．3 B. 21
2
C．2 2 D．2
【解析】 圆 C：x2＋y2－2y＝0 的圆心是(0,1)，半径是 r＝1，
∵PA 是圆 C：x2＋y2－2y＝0 的一条切线，A 是切点，PA 长度的最小值为 2，
∴圆心到直线 kx＋y＋4＝0 的最小距离为 5，
由点到直线的距离公式可得 |1＋4|
k2＋1
＝ 5，
∵k＞0，∴k＝2，故选 D.【答案】 D
12．(2016·德州高一检测)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得
BD＝a，则三棱锥 DABC 的体积为( )
A. 2
12 a3 B.a3
12
C. 2
4 a3 D.a3
6
【解析】 取 AC 的中点 O，如图，
则 BO＝DO＝ 2
2 a，
又 BD＝a，所以 BO⊥DO，又 DO⊥AC，
所以 DO⊥平面 ACB，
VDABC＝1
3S△ABC·DO
＝1
3
×1
2
×a2× 2
2 a＝ 2
12 a3.
【答案】 A
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线
上)
13．已知两条平行直线的方程分别是 2x＋3y＋1＝0，mx＋6y－5＝0，则实数 m
＝________.
【解析】 由于两直线平行，所以2
m
＝3
6
≠ 1
－5
，∴m＝4.
【答案】 4
14．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶
直立时，水的高度与桶的高度的比为________．
【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为 R，高为 h，桶直立时，水的高度为 x.
横放时水桶底面在水内的面积为(1
4πR2－1
2R2)，水的体积为V 水＝(1
4πR2－1
2R2)h.
直立时水的体积不变，则有 V 水＝πR2x，
∴x∶h＝(π－2)∶4π.
【答案】 (π－2)∶4π
15．已知一个等腰三角形的顶点 A(3,20)，一底角顶点 B(3,5)，另一顶点 C 的
轨迹方程是________．
【解析】 设点 C 的坐标为(x，y)，
则由|AB|＝|AC|得
(x－3)2＋(y－20)2
＝ (3－3)2＋(20－5)2，
化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225.
因此顶点 C 的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．
【答案】 (x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)
16．(2015·湖南高考)若直线 3x－4y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝r2(r>0)相交于 A，B 两
点，且∠AOB＝120°(O 为坐标原点)，则 r＝__________.
【解析】 如图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，则|OD|＝ 5
32＋(－4)2
＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即 r＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤)
17．(本小题满分 10 分)直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2 且 l1 与
l2 的距离为 5，求 l1，l2 的方程．
【解】 若直线 l1，l2 的斜率都不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程为 x＝5，此时 l1，l2 之间距离为 5，符合题意；
若 l1，l2 的斜率均存在，设直线的斜率为 k，由斜截式方程得直线 l1 的方程为 y
＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0，
由点斜式可得直线 l2 的方程为 y＝k(x－5)，即 kx－y－5k＝0，在直线 l1 上取点
A(0,1)，则点 A 到直线 l2 的距离 d＝ |1＋5k|
1＋k2
＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝
12
5 .
∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0，l2 的方程为 12x－5y－60＝0.
综上知，满足条件的直线方程为
l1：x＝0，l2：x＝5 或 l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
18．(本小题满分 12 分)已知圆 C1：x2＋y2－4x＋2y＝0 与圆 C2：x2＋y2－2y－4
＝0.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程．
【导学号：09960154】
【解】 (1)证明：圆 C1：x2＋y2－4x＋2y＝0 与圆 C2：x2＋y2－2y－4＝0 化为
标准方程分别为圆 C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5 与圆 C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标
分别为 C1(2，－1)与 C2(0,1)，半径都为 5，故圆心距为 (2－0)2＋(－1－1)2＝2 2，
又 0
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