资料简介
数学试卷
一、 单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 的内角 的对边分别为 ，若
A． B． C． D．
2. 为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为
100 的样本，
其中高一年级抽取 24 人，高二年级抽取 26 人．若高三年级共有学生 600 人，则该校学生总
人数为( )
A．900 B．1200 C．1500 D．1800
3. 某人在打靶中，连续射击 次，至多有一次中靶的对立事件是( )
A．至少有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．恰有一次中靶
4. 已知两个变量 、 之间具有线性相关关系， 次试验的观测数据如下：
经计算得回归方程 的系数 ，则 ( )
A． B． C． D．
5. 直线 与直线 平行，则两直线间的距离为( )
A． B． 或 C． D．
6. 已知某样本的容量为 50，平均数为 70，方差为 75．现发现在收集这些数据时，其中的
两个数据记
录有误，一个错将 80 记录为 60，另一个错将 70 记录为 90．在对错误的数据进行更正后，
重新求得样本的平均数为 ，方差为 ，则( )
A． B．
C． D．
7. P 是直线 上的一动点，过点 P 向圆 引切线，则切
线长的最小
值为( )
A． B． C．2 D．
8. 已知 的三个内角 的对边分别为 ，若 则
的最
小值等于( )
A． B． C． D．
二、 多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，选错或漏选不得分）
9. 下列说法正确的是( )
A．直线 必过定点
B．直线 在 轴上的截距为
C．直线 的倾斜角为 60°
D．过点 且垂直于直线 的直线方程为
10. 在 中，给出下列 个命题，其中正确的命题是( )
ABC∆ , ,CA B , ,a b c , 2, 3,sin ( )3A a b B
π= = = =
3 3 4 3 3 3
4
4 3
3
2
x y 4
x 3 4 5 6
y 5.2 3 4 5.4
ˆy bx a= + 0.7b = a =
45.0 45.0− 35.0− 35.0
2 6 0ax y+ + = 2( 1) 1 0x a y a+ − + − =
2 1− 2 6 5
5
3 5
5
x 2s
270, 75x s= < 270, 75x s= >
270, 75x s> < 270, 75x s< >
2 0x y+ − = 2 2C ( 2) ( 8) 4x y+ + − =：
2 2 2 3 2 2 2−
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 2sin sin 2sin ,A B C+ =
cosC
3
2
2
2
1
2
1
2
−
3 2( )y ax a a R= − + ∈ (3,2)
3 2y x= − y 2−
3 1 0x y+ + =
( 1,2)− 2 3 0x y− + = 2 0x y+ =
ABC∆ 4A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11. 以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B．从 1 名男同学和 2 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为
C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字 l，2，3，4，5，6）先后抛掷 2
次，观察向上的点数，则点数之和是 6 的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点
的距
离之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称
为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系 中， ， ，点
满足 ．设点
所构成的曲线为 ，下列结论正确的是( )
A． 的方程为
B．在 上存在点 ，使得 到点 的距离为
C．在 上存在点 ，使得
D．在 上存在点 ，使得
三、 填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 某产品分一、二、三级，其中只有一级品是正品．若生产中出现二级品的概率为 ，
出现三级
品的概率为 ，则出现正品的概率为______．
14. 已知 为正实数且 ，则 的最小值为______．
15. 在平面直角坐标系 中，已知过点 的圆 和直线 相切，且圆
心在直线
上，则圆 的标准方程为______．
16. 在平面直角坐标系 中，已知点 在圆 内，动直线
过点 且交
圆 于 两点，若 的面积的最大值为 20，则实数 的取值范围是_____．
四、 解答题（本题共 6 小题，共 70 分）
17. （本小题满分 10 分）
已知直线 ．
（1） 求直线 关于直线 对称的直线 的方程；
（2） 求直线 关于点 对称的直线方程．
02.0
01.0
A B< sin sinA B< sin sinA B< A B<
A B> 1 1
tan 2 tan 2A B
> A B< 2 2cos cosA B>
1
3
2
3
5
36
1
2
,A B
( 1)λ λ ≠
xOy ( 2,0)A − (4,0)B P
1
2
PA
PB
= P
C
C 2 2( 4) 9x y+ + =
C D D (1,1) 3
C M 2MO MA=
C N 2 2 4NO NA+ =
,a b 1a b+ = 4 1
a b
+
xOy ( 2, 1)M − − C - 1 0x y + =
2 y x= C
xOy (3,0)P 2 2C ( ) ( 2) 40x m y− + − =：
P
C ,A B ABC∆ m
: 2 2 0l x y+ − =
1 : 2l y x= − l 2l
l (1,1)A18. （本小题满分 12 分）
在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1） 求 的大小；
（2） 若 ， ，求 的面积 ．
19. （本小题满分 12 分）
高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间
为：
．其中 成等差数
列且 ．
物理成绩统计如表．（说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分）
分组
频数 6 9 20 10 5
（1） 根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；
（2） 若数学成绩不低于 140 分的为“优”，物理成绩不低于90 分的为“优”，已知本班
中至少有一
个“优”的同学总数为6 人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2 人，求两人恰好均为
物理成绩“优”的概率．
20. （本小题满分 12 分）
（1） 已知 ，求 的最大值及取最大值时 的值；
（2） 若对一切 ，均有 成立，求实数 的取值范
围．
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos 2a B c b= +
A
4 13a = 12c = ABC∆ S
9[80, 0) ,
[90,100), [100,110), [110,120), [120,130), [130,140), [140,150] , ,a b c
2c a=
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
0 1x< < (1 )x x− x
1x > 2 2 8 ( 2) 15x x m x m− − ≥ + − − m21. （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 中，已知直线 与圆 相
切．
（1） 直线 过点 且截圆 所得的弦长为 ，求直线 的方程；
（2） 已知直线 与圆 交于 两点， 是圆上异于 的任意一点，且直线
与 轴
相交于 点，判断点 、 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，
说明理由．
22. （本小题满分 12 分）
“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，
该摩天轮
的半径为 6（单位： ），游客在乘坐舱 升到上半空鸟瞰伦敦建筑 ，伦敦眼与建筑
之间的距离 为 12（单位： ），游客在乘坐舱 看建筑 的视角为 ．
（1） 当乘坐舱 在伦敦眼的最高点 时，视角 ，求建筑 的高度；
（2） 当游客在乘坐舱 看建筑 的视角 为 时，拍摄效果最好．若在伦敦眼上可
以拍摄到效
果最好的照片，求建筑 的最低高度．
（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为 ）
xOy 3 10 0x y− − = 2 2 2: ( 0)O x y r r+ = >
l (2,1) O 2 6 l
3y = O ,A B P ,A B
,AP BP y
,M N M N
10m P BC
AB 10m P BC θ
P D 30θ = ° BC
P BC θ 45°
BC
135m答案
一、 单项选择题
1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7.C 8.C
二、 多项选择题
9.ABD 10.ABD 11.BCD 12.BD
三、 填空题
13. 0.97 14.9 15. 16.
四、 解答题（本大题共 6 题，共 70 分）
17. （本小题满分 10 分）
【解析】
（1）由 解得交点 P(2，0)．………………………………………1 分
在 l1 上取点 M(0，－2)，
M 关于 l 的对称点设为 N(a，b)，
则 ，
解得 ．………………………………………………………………………………4
分
则 ，
又直线 l2 过点 P(2，0)，
所以直线 l2 的方程为 7x－y－14＝0．…………………………………………………………5
分
（2）直线 l 关于点 A(1，1)对称的直线和直线 l 平行，
所以设所求的直线方程为 x＋2y＋m＝0．……………………………………………………7
分
在 l 上取点 B(0，1)，则点 B(0，1)关于点 A(1，1)的对称点 C(2，1)必在所求的直线上，
所以 ，所以 m＝－4，
即所求的直线方程为 x＋2y－4＝0．……………………………………………...………… 10
分
18.（本小题满分 12 分）
( ) ( )2 21 2 2x y+ + + = ( 3, 1] [7,9)− −
2
2 2 0
y x
x y
= −
+ − =
22 2 02 2
1 2( ) 12
a b
b
a
− + ⋅ − = + − ⋅ = −
12 14( , )5 5N
2
14 05 712 25
lk
−
= =
−
2 2 1 0m+ × + =【解析】
（1）因为 ，
由正弦定理可得， ，
由三角形内角和定理和诱导公式可得，
，
代入上式可得， ，
所以 ．………………………………………………………………4 分
因为 ，所以 ，即 ．…………………………………5 分
由于 ，所以 ．……………………………………………………………6 分
（2）因为 ， ， 所以由余弦定理 ，
得 ，
解得 或 （舍）. ……………………………………………….………………10 分
所以 .……………………….………………… 12 分
19.（本小题满分 12 分）
【解析】
（1）由于 ，
解得 ，…………………………..…………………………3
分
故数学成绩的平均分
（分）………………………………………………………………….………………6
分
（2）数学成绩为“优”的同学有 4 人，物理成绩为“优”有 5 人，
因为至少有一个“优”的同学总数为 6 名同学，故两科均为“优”的人数为 3 人.
…………………………………………………………………………………………………...8 分
设两科均为“优”的同学为 ，物理成绩不是“优”的同学为 B，
则从 4 人中随机抽取 2 人的所有情况有：
，
符合题意的情况有： ，
故两人恰好均为物理成绩“优”的概率 .…………………….……………………12 分
20.（本小题满分 12 分）
【解析】
（1）因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等
号成立．所以当 时， 取最大值是 ．…………..……………5 分
2 cos 2a B c b= +
2sin cos 2sin sinA B C B= +
sin sin( ( )) sin( )C A B A Bπ= − + = + sin cos cos sin= +A B A B
2sin cos 2sin cos 2cos sin sinA B A B A B B= + +
2cos sin sin 0A B B+ =
sin 0B > 2cos 1 0A+ = 1cos 2A = −
0 A π< < 2
3A = π
4 13a = 12c = 2
3A = π 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2208 144 2 12 cos 3b b
π= + − ×
4b = 16b = −
1 1 2sin 4 12sin 12 32 2 3S bc A
π= = × × =
2 0.052,a b c+ + = 2 ,a c b+ = 2c a=
0.008,a = 0.012,b = 0.016c =
85 0.04 95 0.12 105 0.16 115 0.2 125 0.24 135 0.16 145 0.08x = × + × + × + × + × + × + ×
117.8=
1 2 3, ,A A A
1 2 ,A A 1 3,A A 2 3,A A 1 ,AB 2 ,A B 3A B
1 2 ,A A 1 3,A A 2 3A A
3 1
6 2P = =
0 1x< < 2(1 ) 1(1 ) [ ]2 4
x xx x
+ −− ≤ = 1x x= − 1
2x =
1
2x = (1 )x x− 1
4（2）不等式可等价转化为 对 恒成立，
即 对 恒成立，
设 ，则 ……………………………………...………7 分
，………..…9
分
因为 ，所以 ，所以
（当且仅当 等号成立），所以 ................................................................... 11 分
所以 ，所以实数 的取值范围是 ．…………………………………………12 分
21.（本小题满分 12 分）
【解析】
∵直线 x﹣3y﹣10=0 与圆 O：x2+y2=r2（r＞0）相切，
∴圆心 O 到直线 x﹣3y﹣10=0 的距离为 r= ．………………….……………1 分
（1）记圆心到直线 l 的距离为 d，∴d= ．……………………………..………2 分
当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 的方程为 x=2，满足题意；…………………………...……3 分
当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y﹣1=k（x﹣2），即 kx﹣y+（1﹣2k）=0．
∴ ，解得 k=﹣ ，此时直线 l 的方程为 3x+4y﹣10=0．………………5 分
综上，直线 l 的方程为 x=2 或 3x+4y﹣10=0；………………………………………………6 分
（2）点 M、N 的纵坐标之积为定值 10．…………………………………………………… 7 分
设 P（x1，y1），
∵直线 y=3 与圆 O 交于 A、B 两点，不妨取 A（1，3），B（﹣1，3），
∴直线 PA、PB 的方程分别为 y﹣3= ，y﹣3= ．
令 x=0，得 M（0， ），N（0， ）， ………………………………………9 分
则 （*）．
∵点 P（x1，y1）在圆 C 上，∴ ，即 ，
代入（*）式，得 为定值．………………………………12 分
22.（本小题满分 12 分）
【解析】
（1）当乘坐舱 在伦敦眼的最高点 时， ，此时 ，即
，所以 ．在等腰三角形 中， ．…….…1 分
2 4 7 ( 1)x x m x− + ≥ − 1x >
2 4 7
1
x xm x
− +≤ − 1x >
( )2 4( 17) 1
x xx xg x
− += − > min( )m g x≤
2 24 7 [( 1) 1] 4[( 1) 1] 7 4( ) ( 1) 21 ( 1) ( 1)
x x x xg x xx x x
− + − + − − + += = = − + −− − −
1x > 1 0x − > 4 4( 1) 2 2 ( 1) 2 2( 1) 1x xx x
− + − ≥ − − =− −
3x = min( ) 2g x =
2m ≤ m ( ,2]−∞
10 10
1 9
=
+
10 6 2− =
2
1 2 2
1
kd
k
−= =
+
3
4
( )1
1
3 11
y xx
− −− ( )1
1
3 11
y xx
− ++
1 1
1
3
1
x y
x
−
−
1 1
1
3
1
x y
x
+
+
2 2
1 1 1 1 1 1
2
1 1 1
3 3 9
1 1 1M N
x y x y x yy y x x x
− + −⋅ = ⋅ =− + −
2 2
1 1 10x y+ = 2 2
1 110y x= −
( )2 2
1 1
2
1
9 10
101M N
x x
y y x
− −
⋅ = =−
P D 30BDC θ∠ = = ° 12AD AB= =
45ABD∠ = ° 105BCD∠ = ° ABD 12 2BD =由正弦定理得 ，所以
．
所以建筑 的高度为 （单位： ）．……………………………………… 5 分
（2）设建筑 的高度为 （单位： ），建立如图所示的直角坐标系，
圆 ，
由 正 弦 定 理 可 知 ， 所 以 ， 即 的 外 接 圆 的 半 径 为
．
由图可知 的外接圆的圆心坐标为 ，……………………………………7 分
所以点 在圆 上，
而点 又在圆 上，
所以 ，解得
．.............................................................................................11
分
答：建筑 的最低高度为 （单位： ）时，可以拍摄到效果最好的照
片．
…………………………………………………………………………………………………12 分
sin105 sin30
BD BC=° °
12 2 12 3 12
6 22 4
BC = = −
+×
BC 12 3 12− 10m
BC h 10m
2 2: ( 6) 36M x y+ − =
2sin 45
h R=°
2
2R h= PBC∆
2
2R h=
PBC∆ 12 ,2 2
h h −
P
2 2 2
: 12 , 122 2 2
h h hN x y x − + + − = ≤
P 2 2: ( 6) 36M x y+ − =
2 22 26 12 6 62 2 2 2
h hh h − ≤ − + − ≤ +
24(3 2) 24(3 2)
7 7h
− +≤ ≤
BC 24(3 2)
7
− 10m
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