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高中数学第一章计数原理练习（11套北师大版选修2-3）
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资料简介
习题课--二项式定理的应用
A组
1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于( )
A.11 B.10
C.9 D.8
解析:∵只有第5项的二项式系数最大,
∴+1=5.
∴n=8.
答案:D
2.的展开式中x2y3的系数是( )
A.-20 B.-5
C.5 D.20
解析:由已知,得
Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),
令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.
故选A.
答案:A
3.使(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
解析:由二项式的通项公式得Tr+1=3n-r,若展开式中含有常数项,则n-r=0,即n=r,所以n最小值为5.
答案:B
4.设函数f(x)=则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )
A.-20 B.20 C.-15 D.15
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解析:当x>0时,f(x)=-(n+2)·2n-1(n∈N+,n>2).
10.求证:1+2+22+…+(n∈N+)能被31整除.
证明∵1+2+22+…+
=-1=32n-1
=(31+1)n-1
=·31n+·31n-1+…+·31+-1
=31(·31n-1+·31n-2+…+),
显然·31n-1+·31n-2+…+为整数,
∴原式能被31整除.
B组
1.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy1,即x的取值范围为(1,+∞).
答案:D
2.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)2 0152 015除以8的余数为( )
A.1 B.3
C.5 D.7
解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+2 0162 014(-1)1+…+(-1)2 015,倒数两项和为2 015×2 016-1,其除以8的余数为7,因此2 0152 015除以8的余数是7.
答案:D
3.x8=a0+a1(x-1)+…+a8(x-1)8,则a7= .
解析:x8=[1+(x-1)]8=(x-1)+…+(x-1)7+(x-1)8,∴a7==8.
答案:8
4.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为 .
解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,
再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+…+a10,
两式相减,可得a1+a3+…+a9=.
答案:
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5.设的展开式的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为 .
解析:Tr+1=xr-3x2r=x3r-3,令r=1,得a=3,直线y=3x与曲线y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9),∴直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积
S=(3x-x2)dx=.
答案:
6.导学号43944021设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .
解析:由题意得a1==3,
∴n=3a;a2==4,
∴n2-n=8a2.
将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.
答案:3
7.求证:32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.
分析可将32n+2写成(8+1)n+1的形式,然后利用二项式定理展开,整理可得结果.
证明32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82+8+-8n-9
=8n+1+8n+…+82+(n+1)8+1-8n-9
=8n+1+8n+…+82
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=64(8n-1+8n-2+…+),
所以32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.
8.导学号43944022已知在二项式(axm+bxn)12中,a>0,b>0,mn≠0且2m+n=0.
(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?
(2)在(1)的条件下,求的取值范围.
解(1)设Tk+1=(axm)12-k·(bxn)k
=a12-kbkxm(12-k)+nk为常数项,
则有m(12-k)+nk=0,
即m(12-k)-2mk=0.
∵m≠0,∴k=4,∴它是第5项.
(2)∵第5项是系数最大的项,
∴
由①得,由②得,
∴.
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