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中考数学复习《四边形问题重点精讲》专项练习（人教版有答案）
人教版数学中考复习《四边形问题重点精讲》专项练习含答案
资料简介
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平行四边形的计算和证明问题专项练习
1. 已知抛物线经过A（2，0）。设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。
（1）求b的值，及点P、点B的坐标；
（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由。
2. 如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点。
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；
（3）若P是轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P。
（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；
（2）若，，求∠APE的度数。
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平行四边形的计算和证明问题专项练习
参考答案[来源:学_科_网]
1. 解：（1）由于抛物线经过A（2，0），[来源:学科网ZXXK]
所以，解得.
所以抛物线的解析式为. （*）
将（*）配方，得，
所以顶点P的坐标为（4，-2）
令y=0，得，
解得，所以点B的坐标为（6，0）。
（2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形。
理由如下：
设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得
解得
所以直线PB的解析式为.
又直线OD的解析式为
所以直线PB∥OD.
设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得
解得.如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形.
设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，所以
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所以直线BD的解析式为，
解方程组 得
所以D点的坐标为（2,2）
（3）符合条件的点M存在.验证如下：
过点P作x轴的垂线，垂足为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM, ∠PAM=∠BAM,AB=AP，可得△AMP≌△AMB。因此存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.
2. 解：（1）设抛物线解析式为
∵抛物线过点
∴
∴
抛物线解析式为
∵，∴
（2）如图，连接BC、BM、CM，作MD⊥轴于点D
∵
=
=
（3）存在这样的点Q。
①当Q点在轴下方时，作QE⊥轴于点E
∵AC∥PQ且AC=PQ，∴OC=EQ=3
由 解得：（舍）
∴
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②当Q点在轴上方时，作QF⊥轴于点F
∵AC∥PQ且AC=PQ ∴Rt△OAC≌Rt△FPQ
∴OC=FQ=3
由 解得：
∴ 或
综上，满足条件的Q点坐标为或或
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
3. 解：（1）如下图，∠APE= 45 °。
（2）解法一：如图1，将AE平移到DF，连接BF，EF。
图1
则四边形AEFD是平行四边形。
∴AD∥EF，AD=EF。
∵，，
∴ ，。
∴ 。
∵ ∠C=90°，
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∴ 。
∴ ∠C=∠BDF。
∴ △ACD∽△BDF。
∴ ，∠1=∠2。
∴ 。
∵ ∠1+∠3=90°，
∴ ∠2+∠3=90°。
∴ BF⊥AD 。
∴ BF⊥EF。[来源:学科网ZXXK]
∴ 在Rt△BEF中，。
∴ ∠APE=∠BEF =30°。
解法二：如图2，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF。
图2
则四边形ACDF是平行四边形。
∵ ∠C=90°，
∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°。
∵ 在Rt△AEF中，，
在Rt△BDF中，，
∴ 。
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°。
∴ ∠AFD=∠EFB。
又∵ ，
∴ △ADF∽△EBF。 [来源:学§科§网]
∴ ∠4=∠5。
∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，
∴ ∠APE=∠3=30°。
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