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中考数学复习《四边形问题重点精讲》专项练习（人教版有答案）
人教版数学中考复习《四边形问题重点精讲》专项练习含答案
资料简介
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正方形的计算和证明问题专项练习
1. 提出问题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；
类比探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在边AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
综合运用：
（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。
2. 如图1，点为正方形的中心。
（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连接，，，请依题意补全图1；
（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；
（3）如图2，点是中点，△是等腰直角三角形，是的中点，，，，△绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值。
3. 如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）。点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动。连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D。BD与y轴交于点E，连接PE。设点P运动的时间为t（s）。
（1）∠PBD的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）；
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（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值。
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正方形的计算和证明问题专项练习
参考答案
1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH。
∴∠HAO+∠OAD=90°。
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°。
∴∠HAO=∠ADO。
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH。
（2）EF=GH。理由如下：
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF。
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH。
∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴
∵EC=2
∴AF=1
过F作FP⊥BC于点P，
根据勾股定理得EF=，
∵FH∥EG，
∴
根据（2）知EF=GH，
∴FO=HO。
∴，
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，
∴阴影部分面积为。
2. 解：
（1）正确画出图形，如下图所示：
（2）延长交于点，交于点
∵为正方形的中心，
∴，∠＝90
∵绕点逆时针旋转90角得到
∴
∴∠＝∠＝90
∴∠＝∠
在△和△中，
，，∠＝∠，[来源:学科网]
∴△≌△
∴
∴∠＝∠
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∵∠+∠
∴∠+∠=90
∴⊥
（3）的最大值为
3. 解：（1）如图1，
由题意可得：AP=OQ=1×t=t
∴AO=PQ。
∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，[来源:学科网]
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°。
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°。
∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ。
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ。
在△BAP和△PQD中，
[来源:Z_xx_k.Com]
∴△BAP≌△PQD。
∴AP=DQ，BP=PD。
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°。
∵AP=t，
∴DQ=t。
∴点D坐标为（t，t）。
故答案为：45°，（t，t）。
（2）①若PB=PE，
则∠PBE=∠PEB=45°。
∴∠BPE=90°。
∵∠BPD=90°，
∴∠BPE=∠BPD。
∴点E与点D重合。
∴点Q与点O重合。
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与条件“DQ∥y轴”矛盾，
∴这种情况应舍去。
②若EB=EP，
则∠PBE=∠BPE=45°。
∴∠BEP=90°。
∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC。
在△POE和△ECB中，
∴△POE≌△ECB。
∴OE=BC，OP=EC。[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴OE=OC。
∴点E与点C重合（EC=0）。
∴点P与点O重合（PO=0）。
∵点B（﹣4，4），
∴AO=CO=4。
此时t=4。
③若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）。
∴AP=CE。
∵AP=t，
∴CE=t。
∴PO=EO=4﹣t。
∵∠POE=90°，
∴PE=
=（4﹣t）。
延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示。[来源:学|科|网]
在△FAB和△ECB中，
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∴△FAB≌△ECB。
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC。
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°。
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°。
∴∠FBP=∠EBP。
在△FBP和△EBP中，
∴△FBP≌△EBP。
∴FP=EP。
∴EP=FP=FA+AP=CE+AP。
∴EP=t+t=2t。
∴（4﹣t）=2t。
解得：t=4﹣4
∴当t为4秒或（4﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形。
（3）∵EP=CE+AP，
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE
=AO+CO
=4+4
=8。
∴△POE的周长是定值，该定值为8。
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