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中考数学复习《四边形问题重点精讲》专项练习（人教版有答案）
人教版数学中考复习《四边形问题重点精讲》专项练习含答案
资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
菱形和矩形的计算与证明问题专项练习
1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）。
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标。
2. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，证明BE=EF。
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请你判断（1）中的结论： .
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
图1 图2 图3
3. 在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点。
（1）依题意补全图形；
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备用图
（2）求证：；
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菱形和矩形的计算与证明问题专项练习
参考答案
1. 解：（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），
根据题意得：，解得：，
则二次函数的表达式是：y=﹣﹣x+1；
（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M、P点的坐标分别是（x，﹣x+1），（x，0）。
∴MN=PN﹣PM
=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）
=﹣x2﹣x
=﹣（x+）2+，
则当x=﹣时，MN的最大值为；
（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，
由于BC∥MN，
即MN=BC，且BC=MC，
即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，
解得：x=1，或x=-3（不合题意，舍去）
故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分。
2. （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
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∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；
（2）结论：成立.
过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF；
（3）结论成立.
证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
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∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE=GE ，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF。
3.（1）补全图形，如图1所示。
图1 图2
（2）方法一：
证明：连接BE，如图2。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC。
，
∵∠DCB=60°。
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴。
。
由菱形的对称性可知，
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，
。
。
。
∵∠FBC=50°，
。
。
在与中，
∴≌。
。
方法二：
证明：连接BE，设BG与EC交于点H，如图3。
图3
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC。
，
。
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴。
。
由菱形的对称性可知，
，。
，
。
在与中，
∴≌。
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