资料简介
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小题提速练(一)
(满分80分,押题冲刺,45分钟拿下客观题满分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={0,1,2},N={x|-1≤x≤1,x∈Z},则M∩N为( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.{0,1} D.∅
解析:选C.N={-1,0,1},故M∩N={0,1}.
2.已知复数z=(b∈R)的实部和虚部相等,则|z|=( )
A.2 B.3
C.2 D.3
解析:选D.令=-b-3i,解得b=3故|z|=3.
3.“log2(2x-3)<1”是“x>”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A.log2(2x-3)<1,化为0<2x-3<2,解得<x<.∴“log2(2x-3)<1”是“x>”的充分不必要条件.
4.函数y=x2+ln|x|的图象大致为( )
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解析:选A.∵f(x)为偶函数,故排除B,C,当x→0时,y→-∞,故排除D,或者根据当x>0时,y=x2+ln x为增函数,故排除D.
5.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Acos ωx的图象,只需将函数y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析:选B.由图象知A=2,=-=,
∴T=π,ω=2,f(x)=2cos(2x+φ),将代入得
cos=1,-π<φ<0,
∴φ=-,f(x)=2cos=2cos 2,故可将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象.
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6.圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值为( )
A.8 B.9
C.16 D.18
解析:选B.由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以+=(a+b)=5++≥5+4=9,当且仅当=,即2a=b时取等号,故选B.
7.已知变量x,y满足:则z=()2x+y的最大值为( )
A. B.2
C.2 D.4
解析:选D.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示:
设m=2x+y得y=-2x+m,平移直线y=-2x+m,由图象可知当直线y=-2x+m经过点A时,直线y=-2x+m的截距最大,此时m最大.
由,解得即A(1,2),代入目标函数m=2x+y得m=2×1+2=4.
即目标函数z=()2x+y的最大值为zmax=()4=4.故选D.
8.如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数),若输入的m,n分别为495,135,则输出的m=( )
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A.0 B.5
C.45 D.90
解析:选C.该程序框图是求495与135的最大公约数,由495=135×3+90,135=90×1+45,90=45×2,所以495与135的最大公约数是45,所以输出的m=45,故选C.
9.在[-2,2]上随机地取两个实数a,b,则事件“直线x+y=1与圆(x-a)2+(y-b)2=2相交”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:选A.如图,由已知基本事件空间Ω={(a,b)|},为图中正方形内及边界上的点,事件“直线x+y=1与圆(x-a)2+(y-b)2=2相交”为A==,为图中阴影部分上的点(不含正方形内的虚线段).
所以P(A)===.
10.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.π+2+ B.π+
C.π+2+ D.2π+2+
解析:选C.由该几何体的三视图可知,该几何体是一个组合体,左边是底面半径为1、高为、母线长为2的半圆锥,右边是底面为等腰三角形(底边为2、高为2)、高为的三棱锥.所以此组合体左边的表面积S左=S左底面+S左侧面=π×12+π×1×2=π,
组合体右边的侧面是两个全等的三角形(其中三角形的三边分别为2,,),
设长为的边所对的角为α,
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则cos α==,所以sin α=,
则S右侧面=×2×××2=,
所以该几何体右边的表面积S右=S右底+S右侧面=×2×2+=2+,
故S表面积=π+2+,故选C.
11.已知O为坐标原点,F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点,A,B分别为双曲线C的左、右顶点,P为双曲线C上的一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于M,与y轴交于点E,直线BM与y轴交于点N,若|OE|=3|ON|,则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.3
解析:选C.因为PF⊥x轴,所以设M(-c,t).
则A(-a,0),B(a,0),AE的斜率k=,则AE的方程为y=(x+a),令x=0,则y=,即E,BN的斜率k=-,则BN的方程为y=-(x-a),令x=0,则y=,即N,因为|OE|=3|ON|,所以3=,即=,则3(c-a)=a+c,即c=2a,则离心率e==2.故选C.
12.设函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的零点个数为( )
A.2 B.4
C.6 D.12
解析:选A.①当x≤0时,y=f(f(x))-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1,令x-1=0,则x=1,显然与x≤0矛盾,所以当x≤0时,y=f(f(x))-1无零点.
②当x>0时,分两种情况:当x>1时,log2x>0,y=f(f(x))-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1,
令log2(log2x)-1=0,得log2x=2,解得x=4;
当0<x≤1时,log2x≤0,y=f(f(x))-1=f(log2x)-1=2-1=x-1,令x
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-1=0,解得x=1.
综上,函数y=f(f(x))-1的零点个数为2.故选A.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分;共20分)
13.函数f(x)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(x)>0的解集为________.
解析:由已知f(x)为二次函数且对称轴为y轴,
∴-=0,a≠0,即b=2a,∴f(x)=ax2-4a.
再根据函数在(0,+∞)单调递增,可得a>0.
令f(x)=0,求得x=2或x=-2,故由f(x)>0,可得x<-2或x>2,故解集为{x|x<-2或x>2}.
答案:{x|x<-2或x>2}
14.现有一半球形原料,若通过切削将该原料加工成一正方体工件,则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________.
解析:设该球半径为R,正方体边长为a,由题意得当正方体体积最大时a2+=R2,
∴R=,∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为:
==.
答案:
15.有下列各式:1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,…,则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为:________.
解析:观察各式左边为的和的形式,项数分别为:3,7,15,故可猜想第n个式子中应有2n+1-1项,不等式右边分别写成,,故猜想第n个式子中应为,按此规律可猜想此不等式的一般形式为:
1+++…+>(n∈N*).
答案:1+++…+>(n∈N*)
16.已知向量a,b,c,满足|a|=4,|b|=2,〈a·b〉=,(c-a)·(c-b)=-1,则|c-a|的最大值为________.
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解析:如图,设=a,=b,=c,以OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系,
∵|a|=4,|b|=2,a与b的夹角为,则A(4,0),B(2,2),设C(x,y),
∵(c-a)·(c-b)=-1,∴x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心,1为半径的圆,|c-a|表示点A,C的距离,即圆上的点与A(4,0)的距离,因为圆心到A的距离为,所以|c-a|的最大值为+1.
答案:+1
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