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大题规范练(四)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S满足S＝[c2－(a－b)2]．
(1)求cos C；
(2)若c＝4，且2sin Acos C＝sin B，求b的长．
解：(1)由S＝[c2－(a－b)2]＝[－(a2＋b2－c2)＋2ab]＝－abcos C＋ab，又S＝absin C，于是absin C＝－abcos C＋ab，即sin C＝2(1－cos C)，结合sin2C＋cos2C＝1，可得5cos2C－8cos C＋3＝0，解得cos C＝或cos C＝1(舍去)，故cos C＝.
(2)由2sin Acos C＝sin B结合正、余弦定理，可得2·a·＝b，即(a－c)(a＋c)＝0，解得a＝c，又c＝4，所以a＝4，由c2＝a2＋b2－2abcos C，得42＝42＋b2－2×4×b，解得b＝.
2．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；
(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值．
解：(1)取AB的中点O，连接OD，OB1.
因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.
又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD，
因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD.
由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1.
又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1.
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(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题设知B1(0,0，)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)．
则＝(0,1，－)，＝(2,2,0)，＝(－1,0，)．
设平面ACC1A1的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，即x＋y＝0，－x＋z＝0，可取m＝(，－，1)．
设直线B1D与平面ACC1A1所成角为θ，故cos〈，m〉＝＝－.则sin θ＝.
∴直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值为.
3．(本小题满分12分)2017年1月6日，国务院法制办公布了《未成年人网络保护条例(送审稿)》，条例禁止未成年人在每日的0：00至8：00期间打网游，强化网上个人信息保护，对未成年人实施网络欺凌，构成犯罪的，将被依法追究刑事责任．为了解居民对实施此条例的意见，某调查机构从某社区内年龄(单位：岁)在[25,55]内的10 000名居民中随机抽取了100人，获得的所有样本数据按照年龄区间[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55]进行分组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表．
(1)完成抽取的这100人的频率分布直方图，并估计这100人的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从这10 000名居民中任选4人进行座谈，求至多有1人的年龄在[50,55]内的概率；
(3)若按分层抽样的方法从年龄在区间[25,40)，[40,45)内的居民中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数为X，求X的分布列与数学期望.
分组
持赞同意见的人数
占本组的频率
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[25,30)
4
0.80
[30,35)
8
0.80
[35,40)
12
0.80
[40,45)
19
0.95
[45,50)
24
0.80
[50,55]
17
0.85
解：(1)根据题意可得年龄在[25,30)内的人数为＝5，其频率为＝0.05；年龄在[30,35)内的人数为＝10，其频率为＝0.1；年龄在[35,40)内的人数为＝15，其频率为＝0.15；年龄在[40,45)内的人数为＝20，其频率为＝0.2；年龄在[45,50)内的人数为＝30，其频率为＝0.3；年龄在[50,55]内的人数为＝20，其频率为＝0.2.作出频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图估计这100人的平均年龄为
×0.05＋×0.1＋×0.15＋×0.2＋×0.3＋×0.2＝1.375＋3.25＋5.625＋8.5＋14.25＋10.5＝43.5.
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(2)由(1)知随机抽取的这100人中，年龄在[25,50)内的人数为80，年龄在[50,55]内的人数为20，任选1人，其年龄恰在[50,55]内的频率为＝，将频率视为概率，故从这10 000名居民中任选1人，其年龄恰在[50,55]内的概率为，设“从这10 000名居民中任选4人进行座谈，至多有1人的年龄在[50,55]内”为事件A，则P(A)＝C××＋C××＝.
(3)由(1)得年龄在[25,40)内的人数为30，年龄在[40,45)内的人数为20，则分层抽样的抽样比为30∶20＝3∶2，故从年龄在[25,40)内的居民中抽取6人，从年龄在[40,45)内的居民中抽取4人，则抽取的3人的年龄在[40,45)内的人数X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4．(本小题满分12分)设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.
解：(1)解法一：由已知A(a,0)，F(c,0)，设B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，则D，
∵B，F，D三点共线，∴∥，又＝(c－x0，－y0)，＝，
∴－y0(c－x0)＝－y0·，
∴a＝3c，从而e＝.
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解法二：设直线BF交AC于点D，连接OD，由题意知，OD是△CAB的中位线，
∴ODAB，∴∥，
∴△OFD∽△AFB.
∴＝，解得a＝3c，从而e＝.
(2)证明：∵F的坐标为(1,0)，
∴c＝1，从而a＝3，∴b2＝8.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
设直线l的方程为x＝ny＋1，
由⇒(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
其中M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．
∴直线AM的方程为＝，
∴P，同理Q，
从而·＝·
＝64＋
＝64＋
＝64＋＝0.
∴FP⊥FQ，即以PQ为直径的圆恒过点F.
5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋aln x(a＞0)．
(1)若a＝1，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＞.
解：(1)a＝1时，f(x)＝x2－x＋ln x，f′(x)＝x－1＋，f′(1)＝1，f(1)＝－，∴y－＝x－1，即y＝x－.
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∴f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为2x－2y－3＝0.
(2)f′(x)＝x－1＋＝(a＞0)．
①若a≥，x2－x＋a≥0，f′(x)≥0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若0＜a＜，由x2－x＋a＞0得0＜x＜或x＞；由x2－x＋a＜0得＜x＜.
∴f(x)在上单调递减，在和上单调递增．
综上，当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜时，f(x)在上单调递减，
在和上单调递增．
(3)由(2)知0＜a＜时，f(x)存在两个极值点x1，x2，
且x1，x2是方程x2－x＋a＝0的两个根，∴x1＋x2＝1，x1·x2＝a.
∴f(x1)＋f(x2)＝x－x1＋aln x1＋x－x2＋aln x2＝(x1＋x2)2－x1·x2－(x1＋x2)＋aln(x1·x2)
＝－a－1＋aln a
＝aln a－a－.
令g(x)＝xln x－x－，则g′(x)＝ln x＜0.
∴g(x)在上单调递减，
∴g(x)＞g＝.
∴f(x1)＋f(x2)＞.
请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)．以O为极点，x
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轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的普通方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝5，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)因为圆C的参数方程为(φ为参数)，所以圆心C的坐标为(0,2)，半径为2，圆C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋(y－2)2＝4，得圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
设P(ρ1，θ1)，则由，解得ρ1＝2，θ1＝.
设Q(ρ2，θ2)，则由，
解得ρ2＝5，θ2＝.
所以|PQ|＝3.
7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.
(1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；
(2)若a＋b＝1，对∀a，b∈(0，＋∞)，＋≥3f(x)恒成立，求x的取值范围．
解：(1)由已知，得f(x)＝
作函数f(x)的图象如图所示．
(2)∵a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．
∴＋≥3(|2x－1|－|x＋1|)恒成立，
∴|2x－1|－|x＋1|≤3，
结合图象知－1≤x≤5.
∴x的取值范围是[－1,5]．
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