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专题 5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 【考纲解读与核心素养】 1.了解角、角度制与弧度制的概念,掌握弧度与角度的换算. 2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义. 3.本节涉及所有的数学核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4.高考预测: (1)三角函数的定义; (2)扇形的面积、弧长及圆心角; (3)在大题中考查三角函数的定义,主要考查:一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值;二 是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标. 5.备考重点: (1) 理解三角函数的定义; (2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式. 【知识清单】 知识点 1.象限角及终边相同的角 1.(1)任意角的分类: ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 终边与角 α 相同的角可写成 α+k·360°(k∈Z). 2.弧度制: ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=l r,l 是以角 α 作为圆心角时 所对圆弧的长,r 为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值l r与所取的 r 的大小无关,仅与角的大小有关. 3.弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度. 若一个角的弧度数为 α,角度数为 n,则 α rad=(180α π )°,n°=n· π 180 rad. 知识点 2.三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义:设 α 是一个任意角,角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 (1)点 P 的纵坐标叫角 α 的正弦函数,记作 sin α=y; (2)点 P 的横坐标叫角 α 的余弦函数,记作 cos α=x; (3)点 P 的纵坐标与横坐标之比叫角 α 的正切函数,记作 tan α=y x.它们都是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的函数. 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为: 正弦函数 y=sinx,x∈R; 余弦函 数 y=cosx,x∈R; 正切函数 y=tanx,x≠ π 2+kπ(k∈Z). 2.三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点 3.扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式 在半径为 r 的圆中,弧长为 l 的弧所对的圆心角大小为 α,则|α|=l r,变形可得 l=|α|r,此公式称为弧长公式, 其中 α 的单位是弧度. (2)扇形面积公式 由圆心角为 1 rad 的扇形面积为πr2 2π=1 2r2,而弧长为 l 的扇形的圆心角大小为l r rad,故其面积为 S=l r×r2 2=1 2 lr,将 l=|α|r 代入上式可得 S=1 2lr=1 2|α|r2,此公式称为扇形面积公式. (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 名称 角度制 弧度制 弧长公式 l=nπr 180 l=__|α|r__ 扇形面积公式 S=nπr2 360 S= |α| 2 r2 = 1 2lr  注意事项 r 是扇形的半径,n 是圆心角的角度 数 r 是扇形的半径,α 是圆心角的弧度 数,l 是弧长 【典例剖析】 高频考点一 象限角及终边相同的角 【典例 1】(2019·乐陵市第一中学高三专题练习)如果 ,那么与 终边相同的角可以表示为    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得,与 终边相同的角可以表示为 . 故选 B. 【规律方法】 象限角的两种判断方法 (1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. (2)转化法:先将已知角化为 k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角 α,再由角 α 终边所在的象限判断已知角是第几象限角. 【变式探究】 若角 是第二象限角,试确定 , 的终边所在位置. 【答案】角 的终边在第三象限或第四象限或 轴的负半轴上, 的终边在第一象限或第三象限. 【解析】∵角 是第二象限角,∴ , (1) , ∴ 角 的终边在第三象限或第四象限或 轴的负半轴上. (2) ,当 时, ∴ , ∴ 的终边在第一象限. 当 时, ∴ , ∴ 的终边在第三象限. 综上所述, 的终边在第一象限或第三象限. 【总结提升】 象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 (1)象限角: 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360° 查看更多

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