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资料简介
- 1 -
高考抽象函数技巧全总结
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 的问题感到困难，学
好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵
活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式：
1.换元法：即用中间变量 表示原自变量 的代数式，从而求出 ，这也
是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例 1：已知 ,求 .
解：设 ,则 ∴ ∴
2.凑合法：在已知 的条件下，把 并凑成以 表示的代
数式，再利用代换即可求 .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例 2：已知 ，求
解：∵ 又∵
∴ ，(| |≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关
系式中的未知系数。
例 3． 已知 二次实函数，且 +2 +4,求 .
解:设 = ，则
= 比较系数得
∴
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例 4.已知 = 为奇函数,当 >0 时, ,求
( )f x
x ( )f x
( ) 2 11
xf xx
= ++ ( )f x
1
x ux
=+ 1
ux u
= −
2( ) 2 11 1
u uf u u u
−= + =− −
2( ) 1
xf x x
−= −
( ( )) ( )f g x h x= ( )h x ( )g u
( )f x
3
3
1 1( )f x xx x
+ = + ( )f x
2 2
2
1 1 1 1 1( ) ( )( 1 ) ( )(( ) 3)f x x x x xx x x x x
+ = + − + = + + −
1 1| | | | 1| |x xx x
+ = + ≥
2 3( ) ( 3) 3f x x x x x= − = − x
( )f x 2( 1) ( 1)f x f x x+ + − = x ( )f x
( )f x 2ax bx c+ +
2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f x f x a x b x c a x b x c+ + − = + + + + + − + − +
2 22 2 2( ) 2 4ax bx a c x x+ + + = + +
2( ) 4
1 32 1 , 1,2 22 2
a c
a a b c
b
+ =
= ⇒ = = =
=
21 3( ) 2 2f x x x= + +
y ( )f x x ( ) lg( 1)f x x= + ( )f x- 2 -
解:∵ 为奇函数，∴ 的定义域关于原点对称，故先求 0,∴ ,
∵ 为奇函数，∴ ∴当
x > 0 f x( ) > 0
∴ − >f x x( )2 1 0
f x f x x x( ) [( ) ]2 2 1 1= − +- 12 -
为增函数，
令 ，则
又令
得
，
故 为奇函数，
，
上的值域为
二. 求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在
定义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意
函数定义域的作用。
例 3 已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，
满足 ，试确定 的取值范围。
解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数，
在 上是减函数，
由 得 。
（1）当 时，
，不等式不成立。
（2）当 时，
= − + >f x x f x f x( ) ( ) ( )2 1 1 1
∴ f x( )
y x= − f f x f x( ) ( ) ( )0 = + −
x y= = 0
f ( )0 0=
∴ − = −f x f x( ) ( )
f x( )
∴ = − =f f( ) ( )1 1 2 f f( ) ( )− = − = −2 2 1 4
∴ −f x( ) [ ]在 ，2 1 [ ]−4 2，
f
f x( ) −1 1，
f a f a( ) ( )− − −
∴ − >f x x( )2 1 2
f x x( )2 1 2 0− − >
∴ = − +
= − + − >
∴ >
f x f x x x
f x x f x f x
f x f x
( ) [( ) ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 1 1
2 1 1 1
2 1
2
f x( )
f f f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 2 1 2 3 1 4 5= + = + − = − =
∴ =
∴ − − < =
− − <
∴− < <
f
f a a f
a a
a
( )
( ) ( )
1 3
2 2 3 1
2 2 1
1 3
2
2
，
即
f a a( )2 2 2 3− − < { }a a|− < 1 x > 0 0 1< 0 − 1
f f x f x( ) ( ) ( )0 1= ⋅ − =
∴ − = >f x f x( ) ( )
1 1
∴ < 1 m n，
f m n f m f n( ) ( ) ( )+ = ⋅ m n≠ f m f n( ) ( )≠
f ( )0 1=
f x( )
{ }A x y f x f y f= ⋅ f x x( )2 1 1− > x1 0≥ f x( )1 1>
x1 0< − > − >x f x1 10 1， ( ) f f x f x( ) ( ) ( )0 1 1= ⋅ −
∴ = − >
= − ⋅ >
∴
f x f x
f x f x x f x f x
f x R
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
2 2 1 1 1
1 0
在 上为增函数。
f x f y f( ) ( ) ( )2 2 1⋅ < x y2 2 1 1+ < ( )
f ax by c( )+ + = 1 ax by c+ + = 0
y ( )a b x acx c b2 2 2 2 22 0+ + + − < A B = ∅
∴ = − + − …
x y， x y= = 0 y x= −
f f f
f x f x
f
f x f x
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0 0
0
0 0+ =
+ − =
⇒ =
− = −
f x( )
− < < f x( ) ( )在 ，−1 0 f x( )
f n n( )1
3 12 + +
=
+ + −
= +
+ −
+
+
+
−
+
f
n n
f n n
n n
(
( )( )
)
( )
( )( )
1
1 2 1
1
1
1
2
1 1
1
1
2- 18 -
抽象函数问题分类解析
我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频
出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，
求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。
1. 求定义域
这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于
中的 x 这一特性，问题就会迎刃而解。
例 1. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是
___。
分析：因为 相当于 中的 x，所以 ，解得
或 。
例 2. 已知 的定义域为 ，则 的定义域
是______。
分析：因为 及 均相当于 中的 x，所以
= + + −
+
= + − +
∴ + + + + +
= − + − + + + − +
= − +
< + < ∴ + <
f n f n
f n f n
f f f n n
f f f f f n f n
f f n
n f n
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
1
2
1
1
1
2
1
5
1
11
1
3 1
1
2
1
3
1
3
1
4
1
1
1
2
1
2
1
2
0 1
2 1 1
2 0
2
，
…
…
，
∴ − + >
∴ + + + + + >
f f n f
f f f n n f
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
5
1
11
1
3 1
1
22… 。
f g x[ ( )] g x( ) f x( )
y f x= ( ) ( ]−∞，1 y f x= −[log ( )]2
2 2
log ( )2 2x2 − f x( ) log ( )2
2 2 1x − ≤
2 2< ≤x − ≤ < −2 2x
f x( ) (0 )，1 y f x a f x a a= + + − ≤( ) ( )(| | )1
2
x a+ x a− f x( )
0 1
0 1
1
1
< + <
< − <
⇒ − < < −
< < +
x a
x a
a x a
a x a- 19 -
(1)当 时，则
(2)当 时，则
2. 判断奇偶性
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。
例 3. 已知 的定义域为 R，且对任意实数 x，y 满足 ，
求证： 是偶函数。
分析：在 中，令 ，
得
令 ，得
于是
故 是偶函数。
例 4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数
是偶函数。
证明：设 图象上任意一点为 P（ ）
与 的图象关于原点对称，
关于原点的对称点 在 的图象上，
又
即对于函数定义域上的任意 x 都有 ，所以 是偶函数。
3. 判断单调性
− ≤ ≤1
2 0a x a a∈ − +( )，1
0 1
2
< ≤a x a a∈ −( )，1
f x( ) f x( )−
f x( ) f xy f x f y( ) ( ) ( )= +
f x( )
f xy f x f y( ) ( ) ( )= + x y= = 1
f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0= + ⇒ =
x y= = −1 f f f f( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0= − + − ⇒ − =
f x f x f f x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − ⋅ = − + =1 1
f x( )
y f x f x= ≠( )( ( ) )0 y f x= − ( )
y f x= ( )
y f x= ( ) x y0 0，
y f x= ( ) y f x= − ( )
∴ P x y( )0 0， ( )− −x y0 0， y f x= − ( )
∴− = − −
∴ = −
y f x
y f x
0 0
0 0
( )
( )
y f x0 0= ( )
∴ − =f x f x( ) ( )0 0
f x f x( ) ( )− = y f x= ( )- 20 -
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问
题迅速获解。
例 5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为 5，那么 在
区间 上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图 1，易知选 B。
图 1
例 6. 已知偶函数 在 上是减函
数，问 在 上是增函数还是减函数，
并证明你的结论。
分析：如图 2 所示，易知 在 上
是增函数，证明如下：
任取
因为 在 上是减函数，所以 。
又 是偶函数，所以
，
从而 ，故 在 上是增函
数。
图 2
4. 探求周期性
这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原
型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。
例 7. 设函数 的定义域为 R，且对任意的 x，y 有
，并存在正实数 c，使 。试问 是否
为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条
f x( ) [ ]3 7， f x( )
[ ]− −7 3，
−5 −5
−5 −5
f x( ) (0 )， + ∞
f x( ) ( )−∞，0
f x( ) ( )−∞，0
x x x x1 2 1 20 0< < ⇒ − > − >
f x( ) (0 )， + ∞ f x f x( ) ( )− < −1 2
f x( )
f x f x f x f x( ) ( ) ( ) ( )− = − =1 1 2 2，
f x f x( ) ( )1 2< f x( ) ( )−∞，0
f x( )
f x y f x y f x f y( ) ( ) ( ) ( )+ + − = ⋅2 f c( )2 0= f x( )
y x= cos
y
5
O
-7 -3 3 7 x
-5
y
O x- 21 -
件，且 ，猜测 是以 2c 为周期的周期函数。
故 是周期函数，2c 是它的一个周期。
5. 求函数值
紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过
程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
例 8. 已知 的定义域为 ，且 对一切正实数 x，y 都
成立，若 ，则 _______。
分析：在条件 中，令 ，得
，
又令 ，
得 ，
例 9. 已知 是定义在 R 上的函数，且满足： ，
，求 的值。
分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，
于是
，
cos
π
2 0= f x( )
f x c c f x c c f x c f c
f x c f x
f x c f x c f x
[( ) ] [( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ + + + − = + =
∴ + = −
∴ + = − + =
2 2 2 2 2 2 2 0
2
f x( )
f x( ) R+ f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = +
f ( )8 4= f (2) =
f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = + x y= = 4
f f f f( ) ( ) ( ) ( )8 4 4 2 4 4= + = =
∴ =f ( )4 2
x y= = 2
f f f(4) (2) (2)= + = 2
∴ =f (2) 1
f x( ) f x f x f x( )[ ( )] ( )+ − = +2 1 1
f ( )1 1997= f (2001)
f x( ) f x( ) ≠ 1
f x f x
f x( ) ( )
( )
+ = +
−2 1
1
f x f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ = + +
− + =
+ +
−
− +
−
= −4 1 2
1 2
1 1
1
1 1
1
1- 22 -
所以
故 是以 8 为周期的周期函数，从而
6. 比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后
利用其单调性使问题获解。
例 10. 已知函数 是定义域为 R 的偶函数， 时， 是增函数，若
， ，且 ，则 的大小关系是_______。
分析： 且 ，
又 时， 是增函数，
是偶函数，
故
7. 讨论方程根的问题
例 11. 已知函数 对一切实数 x 都满足 ，并且 有
三个实根，则这三个实根之和是_______。
分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。
又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根
关于直线 对称，所以 ，故 。
8. 讨论不等式的解
求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
例 12. 已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数 x，不等式
恒成立，求 k 的值。
f x f x f x( ) ( ) ( )+ = − + =8 1
4
f x( )
f f f(2001) ( ) ( )= × + = =8 250 1 1 1997
f x( ) x < 0 f x( )
x1 0< x2 0> | | | |x x1 2< f x f x( ) ( )− −1 2，
x x1 20 0< >， | | | |x x1 2<
∴ < − < ⇒ − < 0)试求 f(t)的表达式
②满足 f(t)=t 的所有整数 t 能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理
由
③若 t 为自然数且 t≥4 时, f(t) ≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求 m 的最大值.
2．已知函数 f(x)= , 且 f(x),g(x) 定义域都是 R, 且 g(x)>0, g(1)
=2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R)
求证：①f(x)是 R 上的增函数
②当 n N,n≥3 时,f(n)>
解: ①设 x1>x2
g(x)是 R 上的增函数, 且 g(x)>0
g(x1) > g(x2) >0
g(x1)+1 > g(x2)+1 >0
> >0
- >0
f(x1)- f(x2)= - =1- -(1- )
= - >0
f(x1) >f(x2)
∴
1)(
1)(
+
−
xg
xg
∈
1+n
n
∴
∴
1)(
2
2 +xg 1)(
2
1 +xg
∴
1)(
2
2 +xg 1)(
2
1 +xg
∴
1)(
1)(
1
1
+
−
xg
xg
1)(
1)(
2
2
+
−
xg
xg
1)(
2
1 +xg 1)(
2
2 +xg
1)(
2
2 +xg 1)(
2
1 +xg
∴- 29 -
f(x)是 R 上的增函数
② g(x) 满足 g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 且 g(x)>0
g(n)=[ g(1)]n=2n
当 n N,n≥3 时, 2n>n
f(n)= ＝1- ， ＝1-
2n＝（1+1）n＝1+n+…+ +…+n+1>2n+1
2n+1>2n+2
< ,即 1- >1-
当 n N,n≥3 时,f(n)>
3．设 f1(x) f2(x)是(0,+∞)上的函数,且 f1(x)单增,设
f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+∞)上的任意两相异实数 x1, x2
恒有| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|
①求证：f (x)在(0,+∞)上单增.
②设 F(x)=x f (x), a>0、b>0.
求证：F(a+b)> F(a)+F(b) .
①证明:设 x1>x2>0
f1(x) 在(0,+∞)上单增
f1(x1)－ f1(x2)>0
| f1(x1)－ f1(x2)|= f1(x1)－ f1(x2)>0
| f1(x1)－ f1(x2)| >| f2(x1)－ f2(x2)|
f1(x2)- f1(x1) f1(x2)+ f2(x2)
f(x1)> f(x2)
f (x)在(0,+∞)上单增
② F(x)=x f (x), a>0、b>0
a+b>a>0,a+b>b>0
F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)
∴
∴
∈
∴
12
12
+
−
n
n
12
2
+n 1+n
n
1
1
+n
i
nC
∴
∴
12
2
+n 1
1
+n 12
2
+n 1
1
+n∴ ∈
1+n
n
∴
∴
∴
∴
- 30 -
f (x)在(0,+∞)上单增
F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)
4．函数 y＝f(x)满足
①f(a+b)＝f (a)·f (b)，②f(4)＝16, m、n 为互质整数，n≠0
求 f( )的值
f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f2(0)
f(0) =0 或 1.若 f(0)=0 则 f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(矛盾)
f(1)=1
f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16
f(1)=f2( )≥0
f(1)=2.仿此可证得 f(a)≥0.即 y=f(x)是非负函数.
f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)
f(-a)=
n∈N*时 f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-n
f(1)=f( + +…+ )=fn( )=2
f( )=
f( )=[f( )]m=
5．定义在（-1，1）上的函数 f (x)满足
① 任意 x、y∈（-1，1）都有 f(x)+ f(y)＝f ( )，②x∈（-1，0）时，
有 f(x) >0
1) 判定 f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由
2) 判定 f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明
3) 求证：f ( )＝f ( )－f ( )
∴
n
m
∴
∴
2
1
∴
∴
)(
1
af
n
1
n
1
n
1
n
1
∴
n
1 n
1
2
∴
n
m
n
1 n
m
2
xy
yx
+
+
1
13
1
2 ++ nn 1
1
+n 2
1
+n- 31 -
或 f ( )+f ( )+…+f ( )> f ( ) (n∈N*)
解:1) 定义在（-1，1）上的函数 f (x)满足任意 x、y∈（-1，1）
都有 f(x)+ f(y)＝f ( ),则当 y=0 时, f(x)+ f(0)＝f(x)
f(0)=0
当-x=y 时, f(x)+ f(-x)＝f(0)
f(x)是（-1，1）上的奇函数
2) 设 0>x1>x2>-1
f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=
0>x1>x2>-1 ,x∈（-1，0）时，
有 f(x) >0,1-x1 x2>0, x1-x2>0
>0
即 f(x)在（-1，0）上单调递增.
3) f ( )=f( )
=f( )=f( )
=f( )-f( )
f ( )+f ( )+…+f ( )
=f( )-f( )+f( )-f( )+f( )+…+f( )-f( )
= f( ) -f( )=f( )+f(- )
x∈（-1，0）时，有 f(x) >0
f(- )>0, f( )+f(- )>f( )
∴
5
1
11
1
13
1
2 ++ nn 2
1
xy
yx
+
+
1
∴
∴
)1(
21
21
xx
xxf −
−
∴ )1(
21
21
xx
xxf −
−
13
1
2 ++ nn 123
1
2 −++ nn
)2)(1(
11
)2)(1(
1
++−
++
nn
nn
2
1
1
11
2
1
1
1
+•+−
+−+
nn
nn
1
1
+n 2
1
+n
5
1
11
1
13
1
2 ++ nn
2
1
3
1
3
1
4
1
4
1
1
1
+n 2
1
+n
2
1
2
1
+n 2
1
2
1
+n
∴
2
1
+n 2
1
2
1
+n 2
1- 32 -
即 f ( )+f ( )+…+f ( )> f ( )
1)
6．设 f (x)是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x=1 对称, 对任意 x1、x2
[0,1
2]都有 f (x1+ x2)＝f(x1) ·f(x2), 且 f(1)=a>0.
①求 f (1
2)及 f (1
4);
②证明 f(x)是周期函数
③记 an=f(2n+ 1
2n), 求 (lnan)
解: ①由 f (x)= f (x
2 + x
2)=[f(x)]2 0,f(x)
a= f(1)=f(2n· 1
2n)=f( 1
2n+ 1
2n+…+ 1
2n)＝[f ( 1
2n)]2
解得 f ( 1
2n)=
f (1
2)= ,f (1
4)= .
② f(x)是偶函数,其图像关于直线 x=1 对称,
f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).
f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x).
f(x)是以 2 为周期的周期函数.
③ an=f(2n+ 1
2n)= f ( 1
2n)=
(lnan)= =0
7． 设 是定义在 R 上的恒不为零的函数，且对任意 x、y
∈R 都有
f(x+y)＝f(x)f(y)
①求 f(0)，
②设当 xf(0)证明当 x>0 时 01
①求证 f(x)是 R 上的增函数
②若 f(4)＝5，解不等式 f(3x2-x-2)0 时，f(x) >0 且 f(2)=3
①试判断 f(x)的奇偶性和单调性
②当θ∈[0, ]时, f(cos2θ－3)+ f(4m－2mcosθ)对所有的θ均成立,求 n1
实数的取值范围
3.f (n)是定义在 N 上且取值为整数的严格单增函数，m、n 互质时 f(m·n)＝f
(m)·f (n)
若 f(19)＝19，求 f(f(19) ·f(98))的值
4. f (x)定义域为 R，对任意 x1、x2 R 都有 f (x1+ x2)＝f(x1)+ f(x2)， 且 x>0
时，f(x)
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